1、1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1抛物线y22px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径2y2ax的焦点坐标为，准线方程为x.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请
2、在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()1(2015陕西)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该
3、抛物线焦点坐标为()A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案B解析由于抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题意得1，p2，焦点坐标为，故选B.2已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A1 B2 C4 D8答案A解析由抛物线的定义，可得|AF|x0，|AF|x0，x0x0，x01.3已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于()A2 B2 C4 D2答案B解析设抛物线方程为y22px，则点M(2，2)焦点，点M到该抛物线焦点的距离为3，24p9，解得
4、p2(负值舍去)，故M(2，2)|OM|2.4(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y22px (p0)，或x22py (p0)将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.5已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_答案解析A(2,3)在抛物线y22px的准线上，2，p4，y28x，设直线AB的方程为xm(y3)2，将与y28x联立，即得y28my24m160，则(8m)24(24m16)0，即2m23m20
5、，解得m2或m(舍去)，将m2代入解得即B(8,8)，又F(2,0)，kBF.题型一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部，如图设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2)引申探究将本例中点A的坐标改为(3,4)，求|PA|PF|的最小值解当P、A、F共线时，|PA|PF|最小，
6、|PA|PF|AF| .思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径(1)设抛物线x212y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|BF|_.(2)设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_答案(1)8(2)4解析(1)分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|BF|AM|B
7、N|2|PQ|8.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y答案D解析1的离心率为2，2，即4，3，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.故C2的方程为x216y.命题点2抛物线的几何性质例3过抛物线y24x的
8、焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_答案解析由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：y1y2p2，x1x2；为定值；以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明由已知得抛物线焦点坐标为(，0)由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)设AB
9、的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点若0，则k_.答案2解析抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1
10、x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5(2014浙江)如图，已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3.(1)若|PF|3，求点M的坐标；(2)求ABP面积的最大值解(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2)由3得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1
11、，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以AB的中点M的坐标为(2k,2k2m)，由3，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以由x4y0，得k2m.由0，k20，得f，所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离
12、等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解已知过点M的直线l与抛物线y22px (p0)交于A，B两点，且3，其中O为坐标原点(1)求p的值；(2)当|AM|4|BM|最小时，求直线l的方程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xmy.联立消去x得y22pmyp20.y1y22pm，y1y2p2.3，x1x2y1y23.又x1x2，p23p24.p0，p2.(2)由抛物线定义，得|AM|x1x11，|BM|x2x21，|AM|4|BM|x14x25259，当且仅当x14x2时取等号将x14x2代入
13、x1x21，得x2(负值舍去)将x2代入y24x，得y2，即点B.将点B代入xmy1，得m.直线l的方程为xy1，即4xy40.7直线与圆锥曲线问题的求解策略典例(15分)(2014山东)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标；ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由规范解答解(1)由题意知F(，0)设D(t,0)(t0
14、)，则FD的中点为(，0)因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.4分(2)由(1)知F(1,0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)，故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意得0，得b.6分设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的
15、方程为x1，过点F(1,0)，所以直线AE过定点F(1,0)9分由知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1.因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)，直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4.13分则ABE的面积S416，当且仅当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.15分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与
16、系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况温馨提醒(1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化(3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率方法与技巧1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2与y22px (p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式
17、，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx (m0)或x2my(m0)2抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|x|或|PF|y|.失误与防范1求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程2注意应用抛物线的定义解决问题3直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式A组专项基础训练(时间：40分钟)1已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线
18、x2y24x50相切，则p的值为()A2 B1 C. D.答案A解析曲线的标准方程为(x2)2y29，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x，由抛物线的准线与圆相切得23，解得p2，故选A.2已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2答案B解析y22px的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x
19、，其准线方程为x1.3已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A4 B4 Cp2 Dp2答案A解析若焦点弦ABx轴，则x1x2，所以x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk(x)，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.所以y1y2p2.故4.4(2015浙江)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B. C. D.答案A解析由图形可知，BC
20、F与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.5(2014课标全国)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|等于()A. B6 C12 D7答案C解析焦点F的坐标为，方法一直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y，即yx，代入y23x，得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y
21、2)，则x1x2，所以|AB|x1x2p12，故选C.方法二由抛物线焦点弦的性质可得|AB|12.6已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A、B两点，若ABF为等边三角形，则p_.答案6解析由题意知B，代入方程1得p6.7.如图，过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_答案y23x解析如图，分别过A、B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，连接A1F，则AA1
22、F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x.8已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_答案xy10解析依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y1x2，即xy10.9.如图，已知抛物线y22px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程解设直线OA的方程为ykx，k0，则直线O
23、B的方程为yx，由得x0或x.A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得得k664，即k24.则p2.又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.10抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m.所
24、以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.B组专项能力提升(时间：30分钟)11(2015四川)设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4) C(2,3) D(2,4)答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则相减得(y1y2)(y1y2)
25、4(x1x2)，当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，如图x1x2，则有2，即y0k2，由CMAB得，k1，y0k5x0,25x0，x03，即M必在直线x3上，将x3代入y24x，得y212，2y02，点M在圆上，(x05)2yr2，r2y412416，又y44，4r216，2r4.故选D.12已知抛物线y2x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3 C. D.答案B解析如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m0，n0)上的点(2，a)到焦点F距离为3.(1)求抛物线的方程；(2)设
26、动直线l与抛物线相切于点A，且与准线相交于B，问在坐标平面内是否存在定点D，使得以AB为直径的圆恒过定点D？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由解(1)由条件知1，即p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)设动直线l方程为xtyb (显然t0)，则点B，由消去x得y24(tyb)，16t216b0，得bt2，故可设点A坐标为(t2,2t)，设D(m，n)，则(mt2，n2t)，因为D在以AB为直径的圆上，所以ADBD，所以0，即(mt2，n2t)0，化简整理，得(1m)t23nt(m2mn22)0，所以当且仅当m1，n0时，上式对任意tR恒成立即存在D(1,0)，使得以AB为直径的圆恒过
27、点D.15(2015福建)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切方法一(1)解由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切方法二(1)解同方法一(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20.从而r.又直线GB的方程为2x3y20.所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切