1、22用函数模型解决实际问题新课程标准解读核心素养理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具数学建模地震是一种常见的自然灾害，它的强度一般用里氏震级来表示里氏震级是一种以发生地震时产生的水平位移作为判断标准的地震震级标度，共分9个等级，地震越大，震级的数字也越大震级每增加一级，通过地震释放的能量约增加32倍里氏震级的计算公式是MLlg，其中A0是距震中100 km处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，单位是m；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100 km处接收到的地震波的最大振幅，单位是m.问题如果知道了相关数据，那么如何计算震级呢？知识点几类常见的函数模型A函数模型函
2、数解析式一次函数模型f(x)kxb(k，b为常数，k0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)分段函数模型y对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对
3、模型进行修正1某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y录用人数，y代表面试人数若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用的人数为()A15B40C25 D130解析：选C令y60，若4x60，则x1510，不合题意；若2x1060，则x25，满足题意；若1.5x60，则x40100，不合题意故拟录用人数为25.2某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)p02，其中p0为t0时的污染物数量又测得当t0，30时，污染物数量的变化率是10ln 2，则p(60)()A150毫克/升 B300毫克/升C
4、150ln 2毫克/升 D300ln 2毫克/升解析：选C因为当t0，30时，污染物数量的变化率是10ln 2，所以10ln 2，所以p0600ln 2，因为p(t)p02，所以p(60)600ln 222150ln 2(毫克/升)3某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到_只答案：300分段函数模型的应用例1(链接教科书第137页例5)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：g)与时间t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后每毫升血液中的含药量y
5、与时间t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 g时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间解(1)当0t1)，常形象地称之为指数爆炸2对数函数模型：能用对数函数表示的函数模型叫对数函数模型对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a1)，函数值增大的速度越来越慢提醒(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型；(2)平均增长(或减少)率问题的表示：ya(1p%)x(或ya(1p%)x) 跟踪训练如图所示，桶中的水按一定规律流入桶中，已知开始时桶中有a升水，桶是空的，t分钟后桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y1aent(其中n是常数，e是自然对数的底
6、数)假设在5分钟时，桶和桶中的水恰好相等求：(1)桶中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)在多少分钟时，桶中的水是升解：(1)桶中的水是从桶中流出的水，而桶开始时的水是a升，桶中剩余的水满足y1aent，桶中的水y2与t的函数关系式是y2aaent.(2)t5时，y1y2，ae5naae5n，解得2e5n1，nln 2.y1aet.当y1时，有aet，解得t15.在15分钟时，桶中的水是升.建立拟合函数模型解决实际问题例3某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售单价P(x)(单位：元)与时间x(单位：天，
7、1x30，xN)的函数关系满足P(x)1(k为正常数)该商品的日销售量Q(x)(单位：个)与时间x的部分数据如下表所示：x10202530Q(x)110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：Q(x)axb；Q(x)a|x25|b；Q(x)abx；Q(x)alogbx.请你根据表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入f(x)(单位：元)的最小值解(1)依题意知第10天该商品的日销售收入为P(10)Q(10)110121，解得k1.(2)由题
8、中的数据，知随着时间的变化，该商品的日销售量有增有减，而均为单调函数，故最合适的函数模型为Q(x)a|x25|b.从表中数据可得即解得故Q(x)125|x25|(1x30，xN)(3)由(2)知Q(x)125|x25|所以f(x)P(x) Q(x)当1x25时，yx在区间1，10上单调递减，在区间10，25)上单调递增，所以当x10时，f(x)取得最小值，且f(x)min121；当25x30时，yx单调递减，所以当x30时，f(x)取得最小值，且f(x)min124.综上所述，当x10时，f(x)取得最小值，且f(x)min121.故该商品的日销售收入f(x)的最小值为121元建立拟合函数与预
9、测的基本步骤 跟踪训练某纪念章从2020年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：yaxb；yax2bxc；yalogbx.(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格解：(1)随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中yaxb和yalogbx显然都是单调函数，不满足题意，选取yax2bxc.(2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)
10、代入yax2bxc中，得解得a，b10，c126.yx210x126(x20)226，当x20时，y有最小值ymin26.故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元1某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据，则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的计算机数量y与x之间的关系的是()第x天12345被感染的计算机数量y(台)10203981160Ay10xBy5x25x10Cy52x Dy10log2x10解析：选C考虑第5天，经计算A选项得50，B选项得110，D选项小于40，均与实际被感染数量差距很大，而C选项利用函数模型y52x得到的
11、前5天的数据与实际的数据差距较小故选C.2把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(单位：)，空气的温度是T0(单位：)，经过t分钟后物体的温度T(单位：)可由公式TT0(T1T0)e0.25t求得把温度是90 的物体放在10 的空气中冷却t分种后，物体的温度是50 ，那么t的值约等于(参考数据：ln 31.099，ln 20.693)()A1.78 B2.77C2.89 D4.40解析：选B由题意可知5010(9010)e0.25t，整理得e0.25t，即0.25tln ln 20.693，解得t2.77.3我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰某地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土
12、地面积每年平均比上年减少10%.已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积(万平方公里)为()A70.94 B70.95C70.96 D70.97解析：选C设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y，则y7(110%)n，故2025年的沙漠化土地面积为70.96.4(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 20.301，lg 30.477)()A6 B9C8 D7解析：选BC设经过n次过滤，产品达到市场要求，则，即，由nlg lg 20，即n(lg 2lg 3)(1lg 2)，得n7.4.
