1、2实际问题中的函数模型21实际问题的函数刻画新课程标准解读核心素养在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律数学建模爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.问题五期后的本利和是多少？知识点实际问题的函数刻画1在现实世界中，事物之间存在着广泛
2、的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式2函数模型是应用最广泛的数学模型之一许多实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质，使问题得到解决通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到
3、数据，再通过数据拟合得到的1某地为了改善生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万公顷，以后每年比上年增加1万公顷，每年植树的公顷数y(单位：万公顷)是时间x(单位：年)的函数，这个函数的图象是下图中的()解析：选A由题意知该一次函数的图象必过(1，0.5)和(2，1.5)两点，故排除B、C、D.2为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：每户每月用水量水价不超过12 m3的部分3元/m3超过12 m3但不超过18 m3的部分6元/m3超过18 m3的部分9元/m3若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为()A20 m3B18
4、m3C15 m3 D14 m3解析：选C设用水量为x m3，水费为y元，(1)当0x12时，y3x，令3x54可得x18(舍)；(2)当120)表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用ybx(b0)表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系把x1，y0.65代入式，得0.65a(14)22，解得a0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y0.15(x4)22来表示把x4，y1代入式，解得b0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y0.25x来表示设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，
5、xB万元，纯利润为W万元，得即W0.150.152.6.故当xA3.2时，W取得最大值，约为4.1，此时，xB8.8.即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元.已知函数模型的实际应用问题例3(链接教科书第136页例4)灌满水的热水瓶放在室内，如果瓶内水原来的温度是1 ，室内气温是0 ，t min后，水的温度可由公式0(10)ekt求得，其中，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ，1 h后又测得瓶内水温变为98 .已知某种茶叶必须用不低于85 的水冲泡，现用这个热水瓶在早上六点灌满100 的水
6、，问：能否在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶？(假定该地白天室温为20 )解根据题意，有9820(10020)e60k，整理得e60k，利用计算器，算得k0.000 42.故2080e0.000 42t.从早上六点到这一天的中午十二点共经过6 h，即360 min.当t360时，2080e0.000 4236089.因为89 85 ，所以能在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案具体解题步骤为：第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型，了解变量的含义，若模
7、型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定；第二步，求解数学模型，利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答；第三步，转译成实际问题的解 跟踪训练某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为_解析：设每小时的油耗(所需要的汽油量)为y L，由题意可得y，当x120时，y11.5，11.5，解得k100，y.要使每小时的油耗不超过9 L，则9，即x2145x4
8、5000，解得45x100，又60x120，可得60x100，故当每小时的油耗不超过9 L时，x的取值范围为60，100答案：60，1001某数学小组进行社会实践调查，了解到雪花桶装水经营部在为定价发愁进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？()A每桶8.5元B每桶9.5元C每桶10.5元 D每桶11.5元解析：选D根据表格可知销售单价每增加1元，日均销售就减少4
9、0桶设每桶水的价格为(6x)元，公司日利润为y元，则y(6x5)(48040x)20040x2440x280(0x12)，当x5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大2据调查，某存车处(只存放自行车和电动车)在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元若该天自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()Ayx400(0x400)Byx800(0x400)Cyx400(0x400)Dyx800(0x400)解析：选D因为自行车存车量为x辆次，所以电动车存车量为(400x)辆次，所以yx2(400x)x800(0x400)，故选D.3通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是Mlg Alg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍解析：当M7时，7lg Alg A0lg ，107，AA0107，当M5时，5lg Alg A0lg ，105，AA0105，从而可得7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍答案：100