1、2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2015衡阳县校级四模）设xZ，集合A为偶数集，若命题p：xZ，2xA，则p（） A xZ，2xA B xZ，2xA C xZ，2xA D xZ，2xA【考点】： 全称命题；命题的否定【专题】： 规律型【分析】： 根据全称命题的否定是特称命题进行判断【解析】： 解：全称命题的否定是特称命题，p：xZ，2xA故选：D【点评】： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2（5分）（2015衡阳县校级四模）设集合A=1，2，3，
2、B=4，5，C=x|x=ba，aA，bB，则C中元素的个数是（） A 3 B 4 C 5 D 6【考点】： 集合中元素个数的最值【专题】： 规律型【分析】： 根据集合C的元素关系确定集合C即可【解析】： 解：A=1，2，3，B=4，5，aA，bB，a=1，或a=2或a=3，b=4或b=5，则x=ba=3，2，1，4，即B=3，2，1，4故选：B【点评】： 本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础3（5分）关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），且：x2x1=15，则a=（） A B C D 【考点】： 一元二次不等式的解法【专题】： 计算题；
3、不等式的解法及应用【分析】： 利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可【解析】： 解：因为关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a，x1x2=8a2，又x2x1=15，24可得（x2x1）2=36a2，代入可得，152=36a2，解得a=，因为a0，所以a=故选：A【点评】： 本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力4（5分）已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（） A 6（1310） B C 3（1310） D 3（1+310）【考点】： 等比数列的前n项和【专题】：
4、 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解析】： 解：3an+1+an=0数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选C【点评】： 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5（5分）（2015衡阳县校级四模）已知a0且a1，函数y=logax，y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（） A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据指数函数和对数的函数的单调性，和一次函数的纵截距所得的a的范
5、围是否一致故可判断【解析】： 解：当0a1，y=logax，y=ax均为减函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标小于1，当a1，y=logax，y=ax均为增函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标大于于1，观察图象知，A，B，D均错，只有C正确故选：C【点评】： 本小题主要考查，一次函数，对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想属于基础题6（5分）（2015衡阳县校级四模）定义运算=adbc，若函数f（x）=在（，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（） A （2，+） B 2，+） C （，2） D （，2【考点】： 二次函数的性质【专题】： 新定义【分析】： 先根据新定义化简函数解
6、析式，然后求出该函数的单调减区间，然后使得（，m）是减区间的子集，从而可求出m的取值范围【解析】： 解：，=（x1）（x+3）2（x）=x2+4x3=（x+2）27，f（x）的单调递减区间为（，2），函数在（，m）上单调递减，（，m）（，2），即m2，实数m的取值范围是m2故选D【点评】： 本题主要考查求二次函数的性质的应用，以及新定义，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于基础题7（5分）（2015衡阳县校级四模）已知f（x）=cosx，则f（）+f（）=（） A B C D 【考点】： 导数的运算【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 根据导数的运算法则，求导，然后导入值计算即可【
7、解析】： 解：f（x）=cosx，则f（x）=，f（）+f（）=cos=，故选：D【点评】： 本题考查了导数的运算法则，属于基础题8（5分）（2015衡阳县校级四模）已知，b=log3，则a，b，c大小关系为（） A abc B bca C cab D c=ab【考点】： 对数值大小的比较【专题】： 计算题【分析】： 利用指数与对数的运算性质，确定a，b，c 的值的范围，然后推出结果【解析】： 解：由指数与对数的运算性质可知1，b=log3（0，1）；=0，所以abc；故选A【点评】： 本题考查指数与对数的运算性质的应用，考查计算能力9（5分）（2015衡阳县校级四模）如图是二次函数f（x）=
8、x2bx+a的部分图象，则函数g（x）=ex+f（x）的零点所在的区间是（） A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3）【考点】： 导数的运算；二次函数的性质；函数零点的判定定理【专题】： 综合题；函数的性质及应用【分析】： 由图象可知，0f（0）=a1，f（1）=0，从而可得b的范围，然后根据零点判定定理可得结论【解析】： 解：由图象可知，0f（0）=a1，f（1）=0，即1b+a=0，由可得1b2，g（x）=ex+2xb，且g（0）=1b0，g（1）=e+2b0，又g（x）的图象连续不断，所以g（x）在（0，1）上必存在零点，故选B【点评】： 本题考查导数的运算、函数零
9、点的判定定理，考查数形结合思想，属中档题10（5分）（2015衡阳县校级四模）已知函数f（x）对任意xR，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f（2014）=（） A 0 B 4 C 8 D 16【考点】： 抽象函数及其应用【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 由f（x+6）+f（x）=0，得到f（x+12）=f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，再由y=f（x1）的图象关于（1，0）对称，得到f（x）=f（x），运用周期，化简f（2014）=f（2）=f（2），即可得到答案【解析】： 解：f（x+6）+f（x）=
10、0，即f（x+6）=f（x），则f（x+12）=f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，由于y=f（x1）的图象关于（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即有f（x）=f（x），则f（2014）=f（12167+10）=f（10）=f（2），由于f（2）=4，则f（2）=f（2）=4故选B【点评】： 本题考查抽象函数及应用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）=【考点】： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域【
11、专题】： 计算题【分析】： 可设幂函数y=f（x）=x，由题意可求得的值，从而可得f（2），可得答案【解析】： 解：设幂函数y=f（x）=x，其图象过点，f（）=，=f（2）=，log2f（2）=log2=，故答案为：【点评】： 本题考查幂函数的概念与解析式，求得的值是关键，考查待定系数法与计算能力，属于基础题12（5分）（2015衡阳县校级四模）已知函数f（x）=（aR）若ff（1）=1，则a=【考点】： 函数的值【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 利用分段函数的性质求解【解析】： 解：函数f（x）=（aR）ff（1）=1，f（1）=2+1=3，ff（1）=f（3）=a23=1，解得a=
12、故答案为：【点评】： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用13（5分）（2015衡阳县校级四模）若变量x，y满足约束条件且z=5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是24【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出可行域，变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x易得最大值和最小值，作差可得答案【解析】： 解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A（8，0）时，目标函数取最小值b=8，当直线经过点B（4，4）时，目标函数取最大值a=16，ab=16（8）=24故
13、答案为：24【点评】： 本题考查简单选项规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题14（5分）已知函数f（x）=x3+ax4（aR）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1）处的切线的倾斜角为，则a=4【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 计算题；导数的概念及应用【分析】： 先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可【解析】： 解：f（x）=x3+ax4，f（x）=3x2+a，函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1）处的切线的倾斜角为45，3+a=1，a=4故答案为：4【点评】： 本题主要考查了利用导数研
14、究曲线上某点切线方程，直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力15（5分）（2015衡阳县校级四模）已知定义域是（0，+）的函数f（x）满足；（1）对任意x（0，+），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x（1，3时，f（x）=3x给出下列结论：对任意mZ，有f（3m）=0；函数f（x）的值域为0，+）；存在nZ，使得f（3n+1）=0；“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“kZ，使得（a，b）（3k，3k+1）”其中正确结论的序号是【考点】： 抽象函数及其应用【专题】： 综合题；函数的性质及应用【分析】： 依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得
15、到正确；连续利用题中第个条件得到正确，错误；对于，令3kab3k+1，利用函数单调性的定义判断即可【解析】： 解：对任意x（0，+），恒有f（3x）=3f（x）成立，当x（1，3时，f（x）=3xf（3m）=f（33m1）=3f（3m1）=3m1f（3）=0，故正确；取x（3m，3m+1，则（1，3，f（）=3，f（）=3mf（）=3m+1x，从而函数f（x）的值域为0，+）；即正确；=3m+1x，从而f（x）0，+），故正确；x（1，3时，f（x）=3x，对任意x（0，+），恒有f（3x）=3f（x）成立，nZ，f（3n+1）=3nf（1+）=3n3（1+）=3n（2）0，故错误；令3kab
16、3k+1，则13，f（a）f（b）=f（3k）f（3k）=3kf（）f（）=3k（3）（3）=3k（）=ba0，函数f（x）在区间（a，b）（3k，3k+1）上单调递减，故正确；综上所述，正确结论的序号是故答案为：【点评】： 本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度大，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）（2015衡阳县校级四模）命题p：“x（0，+），有9x+7a+1，其中常数a0”，若命题q：“x0R，x02+2ax0+2a=0”若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围【
17、考点】： 复合命题的真假【专题】： 函数的性质及应用；简易逻辑【分析】： 首先，分别判断两个命题为真命题时，a的取值范围，然后，结合“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p和命题q一真一假，分情况进行讨论完成结果【解析】： 解：a0，若p为真命题，则（9x+）min7a+1，又9x+2=|6a|=6a，6a7a+1，a，若q为真命题，则方程x2+2ax+2a=0有实根，=4a24（2a）0，即a1或a2，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p和命题q一真一假当p真q假时，则，2a，当p假q真时，则，a1，综上，符合条件的a的取值范围为（2，1，+）【点评】： 本题重点考查了
18、命题的真假判断、复合命题的真假判断等知识，属于中档题，解题关键是准确判断符合命题的真假情形17（10分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知bsinA=3csinB，a=3，（） 求b的值；（） 求的值【考点】： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： （） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（） 利用（）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值【解析】： 解：（）在ABC中，
19、有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1由余弦定理可知：b2=a2+c22accosB，即b2=32+1223cosB，可得b=（）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B1=，sin2B=2sinBcosB=，所以=【点评】： 本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力18（14分）（2015衡阳县校级四模）已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）求a1+a4+a7+a3n2【考点】
20、： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （I）设等差数列an的公差为d0，利用成等比数列的定义可得，再利用等差数列的通项公式可得，化为d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式an；（II）由（I）可得a3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以25为首项，6为公差的等差数列利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+a3n2【解析】： 解：（I）设等差数列an的公差为d0，由题意a1，a11，a13成等比数列，化为d（2a1+25d）=0，d0，225+25d=0，解得d=2an=25+（n1）（2）=2n+2
21、7（II）由（I）可得a3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以25为首项，6为公差的等差数列Sn=a1+a4+a7+a3n2=3n2+28n【点评】： 熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键19（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）【考点】： 分
22、段函数的应用；函数的最值及其几何意义【专题】： 分类讨论【分析】： （1）由年利润W=年产量x每千件的销售收入为R（x）成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果【解析】： 解：（1）当；当x10时，W=xR（x）（10+2.7x）=982.7xW=（2）当0x10时，由W=8.1=0，得x=9，且当x（0，9）时，W0；当x（9，10）时，W0，当x=9时，W取最大值，且当x10时，当且仅
23、当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38综合知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大【点评】： 本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者20（13分）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f（x）满足f（1）=2a，f（2）=b，其中常数a，bR（）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（）设g（x）=f（
24、x）ex求函数g（x）的极值【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 计算题；综合题；转化思想【分析】： （I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f（x），结合f（1）=2a，f（2）=b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（II）根据g（x）=f（x）e1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值【解析】： 解：（I）f（x）=x3+ax2+bx
25、+1f（x）=3x2+2ax+b令x=1，得f（1）=3+2a+b=2a，解得b=3令x=2，得f（2）=12+4a+b=b，因此12+4a+b=b，解得a=，因此f（x）=x3x23x+1f（1）=，又f（1）=2（）=3，故曲线在点（1，f（1）处的切线方程为y（）=3（x1），即6x+2y1=0（II）由（I）知g（x）=（3x23x3）ex从而有g（x）=（3x2+9x）ex令g（x）=0，则x=0或x=3当x（，0）时，g（x）0，当x（0，3）时，g（x）0，当x（3，+）时，g（x）0，g（x）=（3x23x3）ex在x=0时取极小值g（0）=3，在x=3时取极大值g（3）=15
26、e3【点评】： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题21（14分）已知函数f（x）=xlnx（l）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值【考点】： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【专题】： 导数的综合应用【分析】： （l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值【解析】： 解 （1）f（x）=xlnx，f（x）=lnx+1，f（x）0有 ，函数f（x）在上递增，f（x）0有 ，函数f（x）在上递减，f（x）在处取得极小值，极小值为（2）2f（x）x2+mx3即mx2xlnx+x2+3，又x0，令，令h（x）=0，解得x=1或x=3（舍）当x（0，1）时，h（x）0，函数h（x）在（0，1）上递减当x（1，+）时，h（x）0，函数h（x）在（1，+）上递增，h（x）max=h（1）=4即m的最大值为4【点评】： 本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法
