1、第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积高考导航1由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，以三视图为载体，考查面积、体积的计算2空间几何体的表面积与体积的计算，通常以几何体为载体与球进行交汇考查，或蕴含在两几何体的“接”或“切”形态中考点一空间几何体的三视图与直观图1三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2原图形面积S与其直观图面积S之间的关系SS.1(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中
2、木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析两个木构件咬合成长方体时，小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A.答案A2(2019河北衡水中学调研)正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()解析过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形故选C.答案C3(2019江西南昌二中模拟)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()A8 B4
3、C4 D4解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA平面ABC，DB平面ABC，ABAC，PAABAC4，DB2，则易得SPACSABC8，SCPD12，S梯形ABDP12，SBCD424，故选D.答案D4(2019湖北恩施二模)某圆锥的母线长为2，高为，其三视图如图所示，圆锥表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆锥表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆锥侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2C. D2解析因为圆锥的母线长为2，高为，所以底面半径r，所以底面周长为2r，所以侧面展开图中扇形中心角为，所以从M到N的路径中，最短路径的长度为2.答案D5
4、(2019湖南衡阳二模)如图，正方体AC1的顶点A，B在平面上，AB，若平面A1B1C1D1与平面所成角为30，由如图所示的俯视方向，正方体AC1在平面上的俯视图的面积为()A2 B1 C2 D2解析依题意知，直线AB在平面内，且平面与平面ABCD所成的角为30，与平面B1A1AB所成的角为60，故所得的俯视图的面积S2(cos30cos60)1.答案B6(2019山西运城联考)如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为_解析直观图的面积S(11).故原平面图形的面积S2.答案2(1)根据空间几何体的三视图还原空间几何体时，要善于
5、把空间几何体放置在长方体、正方体中，既容易得出空间几何体的实际形状，又容易进行计算；(2)根据空间几何体得出其三视图时，要抓住其顶点在投影面上的正投影，并注意几何体的轮廓线“眼见为实、不见为虚”，在数量关系上注意“高平齐、长对正、宽相等”的原则考点二空间几何体的表面积与体积1柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；(2)S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；(3)S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)2柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；(3)V台(SS)h(不要求记忆)3
6、球的表面积和体积公式S表4R2(R为球的半径)，V球R3(R为球的半径)1(2019唐山摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A1 B3C2 D4解析由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S22(11)2114.故选D.答案D2(2019浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A158 B
7、162 C182 D324解析由三视图知该柱体的直观图为如图所示的五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1，取CD中点G，连接AG，由侧视图知AGCD，AG6，底面积SS梯形AGCBS梯形AGDE(26)3(46)327，该柱体体积VSh276162.故选B.答案B3(2019河北唐山统考)某几何体的三视图如图所示(在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为()A48 B54 C60 D64解析还原几何体如图所示，该几何体是底面为矩形的四棱锥该几何体的表面积S3664532651812151560.故选C.答案C4(2019福建泉州模拟)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何
8、体的体积是()A1 B2 C3 D4解析由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，高为2的四棱锥由于正视图是一个上底边为2，下底边为4，高为2的直角梯形，故该四棱锥的底面积S(24)26，则VSh624.故选D.答案D5(2019太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A61 B.1C. D.1解析由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为411，故选D.答案D6(2019广州调研)如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为()A6 B7 C. D.解析如图，根据三视图可
9、画出对应多面体的直观图，该多面体是由棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1被截去三棱锥APQA1和三棱锥DPC1D1之后得到的一个几何体，其中P，Q分别是棱A1D1，A1B1的中点故所求多面体的体积VV正方体V三棱锥APQA1V三棱锥DPC1D123227.故选B.答案B求几何体表面积和体积关键过好“两关”(1)还原关，即利用“长对正、宽相等、高平齐”还原空间几何体的直观图，不规则几何体采取分割和补形的方法(2)公式关，即会利用空间几何体的体积或表面积公式求简单组合体的体积或表面积考点三多面体与球1多面体与球的切接问题处理方法与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，
10、明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图2重要结论(1)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，则一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2a2b2c2求解(2)正方体的内切球的直径为正方体的棱长(3)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长【例】(1)(2019安徽蚌埠二模)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.(2)(2019山西太原一模)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O
11、的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_ 解析(1)由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.则68(6810)r，所以r2.2r43，不合题意球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大由2R3，即R.故球的最大体积VR3.(2)如图所示，设SC2r，取SC的中点O，连接AO，OB.因为SAAC，SBBC，所以OASC，OBSC.所以SSBCSCOB2rrr2.又因为平面SAC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，OASC，所以OA平面SBC
12、.所以VSABCVASBCSSBCOAr39.解得r3，所以S表4r236.答案(1)B(2)36“切”“接”问题的处理方法(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径1(2019皖中摸底考试)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为()A. B. C. D2解析设圆锥的底面半径为r，高为h，则2
13、r3，r1，h2.设圆锥内切球的半径为R，则，R，V球R33，故选A.答案A2(2019武汉调研)一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为()A16 B9 C4 D解析三棱锥如图，设外接球半径为R，ABAC2，BAC90，D为BC中点SD面ABC.球心O在SD上，SD2.在直角ODC中，OCR，OD2R，DC.则(2R)2()2R2，即R，故VABC的外接球的表面积为S4R29，选B.答案B1(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上
14、的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2 C3 D2解析由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示，设ME与FN为圆柱的两条母线，沿FN将圆柱的侧面展开，如图2所示，连接MN，MN即为从M到N的最短路径，由题意知，ME2，EN4，MN2.故选B.答案B2(2018北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1 B2 C3 D4解析由三视图得四棱锥的直观图如图所示其中SD底面ABCD，ABAD，ABCD，SDADCD2，AB1.由SD底面ABCD，AD，DC，AB底面ABCD，得SDAD，SDDC，SDAB，故
15、SDC，SDA为直角三角形，又ABAD，ABSD，AD，SD平面SAD，ADSDD，AB平面SAD，又SA平面SAD，ABSA，即SAB也是直角三角形，从而SB3，又BC，SC2，BC2SC2SB2，SBC不是直角三角形，故选C.答案C3(2018浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4 C6 D8解析由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm，直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V226 cm3.答案C4(2019天津卷)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均
16、为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_解析如图所示，圆柱的高O1OPO1，圆柱的底面半径rAO.所以圆柱的体积Vr2O1O1.答案5.(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析依题意，知该模型是长方体中挖去一个四棱锥，故其体积VV长方体V四棱锥66
17、4463132(cm3)又制作该模型所需的原料密度为0.9 g/cm3，故制作该模型所需原料的质量为0.9132118.8(g)答案118.81.该部分在高考中一般会以“两小”或“一小”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积2.考查一个小题时，本小题一般会出现在第48题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第1016题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查热点课题3补形法求几何体的表面积与体积1(2019太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2
18、B. C4 D.解析观察三视图并依托正方体，可得该几何体直观图为A1ABEF，如图所示，其体积为V正方体VAFDBECVA1BEC1B1VA1FEC1D12222122(12)2122.答案B2(2019合肥联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为()A24 B29 C48 D58解析如图，在324的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥ABCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4R2(322242)29.答案B专题强化训练(十七)一、选择题1(2019辽宁沈阳二模)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()
19、A3 B2 C2 D2解析由三视图得该四棱锥的直观图如图中SABCD所示，由图可知，其最长棱为SD，且底面ABCD是边长为2的正方形，SB面ABCD，SB2，所以SD2.故选B.答案B2(2019临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABCDEF截去一个三棱锥ABCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()解析由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB平面DEF，DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直故选C.答案C3(2019益阳、湘潭高三调考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体
20、积为()A. B. C. D4解析由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥APBC(放到棱长为2的正方体中)，则VAPBCSPBCAB222.故选B.答案B4(2019安徽六校第二次联考)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积为，则它的表面积是()A. B9 C. D.解析由三视图可知该几何体是一个圆柱挖去了一个半径等于圆柱底面半径的半球体，其中圆柱的高等于半球的半径r，所以该几何体的体积Vr2rr3r3，r3，又知r0，r，该几何体的表面积Sr22rr4r25r25，故选C.答案C5(2019辽宁五校联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示
21、，则该几何体的体积为()A36 B48C64 D72解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为34434448，故选B.答案B6(2019河南濮阳二模)已知三棱锥ABCD中，ABD与BCD是边长为2的等边三角形且二面角ABDC为直二面角，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为()A. B5C6 D.解析取BD的中点M，连接AM，CM，取ABD，CBD的中心即AM，CM的靠近BD的三等分点P，Q，过P作面ABD的垂线，过Q作面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，其中OQ，CQ，连接OC，则外接球的半径ROC，则外接球的表面积为4
22、R2，故选D.答案D7(2019洛阳市高三第一次联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为()A. B.C. D.解析将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长，其长为2，则球O的体积VR3，故选A.答案A8(2019湖北武汉2月调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为()A. B16 C32 D48解析由三视图知，该四面体可以看作正方体中的三棱锥PABC，如图，由已知得AB4，A
23、C4，ABC是直角三角形，所以SABCABAC448，所以四面体PABC的体积V84，故选A.答案A9(2019湖南长沙一中第八次月考)九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离用现代语言描述：在羡除ABCA1B1C1中，AA1BB1CC1，AA1a，BB1b，CC1c，两条平行线AA1与BB1间的距离为h，直线CC1到平面AA1B1B的距离为h，则该羡除的体积为V(abc)已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为()A3 B. C. D2
24、解析如图，由三视图还原几何体可知，羡除ADEBCF中，ABCDEF，四边形ABCD是矩形，ABAD2，EF1，平面ADE平面ABCD，AB，CD间的距离hAD2，取AD的中点G，连接EG，平面ADE平面ABCD，EG平面ABCD，由正视图及侧视图知直线EF到平面ABCD的距离h1.V(221)，故选C.答案C10(2019河北衡水中学3月联考)已知半球内有一个内接正四棱柱，其三视图如图所示，则该内接正四棱柱的体积最大值为()A12 B6 C24 D12解析由三视图可知，半球的半径为3，设内接正四棱柱底面正方形的边长为2a，正四棱柱的高为h，底面中心为O，则OCa，所以h2OC2OC232(a)
25、292a2，a2.正四棱柱体积V(2a)2h4a2h18h2h3，设f(x)18x2x3(0x3)，则f(x)186x26(3x2)，易知f(x)在x处取得最大值，即当h时，V最大为12，所以该内接正四棱柱的体积的最大值为12.故选D.答案D11(2019安徽A10联盟3月联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为()A.5 B.9C.10 D2210解析由三视图可知，该几何体是一个四棱锥(侧棱PA垂直于底面ABCD)，其直观图如图所示，CD2，PB2，PD，PC3，在PCD中，cosPCD，sinPCD.SPCDPCCDsinPCD32，又SPABPAAB222，SPADPAA
26、D233，SPBCPBBC21，该四棱锥的侧面积SSPCDSPABSPADSPBC235.故选A.答案A12(2019广东惠州二模)已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB2，SASBSC2，则三棱锥SABC的外接球的球心到平面ABC的距离是()A. B1 C. D.解析三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SASBSC2，S在底面ABC内的射影为AB的中点，设AB的中点为H，连接SH，CH，SH平面ABC，SH上任意一点到A，B，C的距离相等，易知SH，CH1，RtSHC中，HSC30.在面SHC内作SC的垂直平分线MO，交SH于点O，交SC于点M，则O为三
27、棱锥SABC的外接球的球心SC2，SM1，又OSM30，SO，OH，球心O到平面ABC的距离为，故选A.答案A二、填空题13(2019成都二诊)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析由三视图可知，该几何体为正方体切去一个三棱锥形成V222221.答案14(2019广东揭阳一模)某几何体三视图如图所示，则此几何体的表面积为_解析由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为、高为1的圆柱的组合体，其表面积S表522212()2222(2)16.答案2(2)1615(2019福建三明三校12月联考)已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB3，AC6，BAC30.若四面
28、体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为_解析在ABC中，BC2AB2AC22ABACcosBAC(3)262236cos309，BC3，BC2AB2AC2，即ABC为直角三角形，且AC为斜边，其面积S33，为定值要使四面体ABCD的体积最大，则高h最大，设AC的中点为Q，则Q为ABC外接圆的圆心，连接DQ，所以当DQ面ABC，且球心O在DQ上时，高h最大，即体积取得最大值，VmaxDQ，DQ3.设球的半径为R，则在RtAQO中，OA2AQ2OQ2，即R232(3R)2，解得R2.球的表面积S4R248.答案4816(2019河南百校联盟4月联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为_解析根据三视图，利用棱长为2的正方体分析知，该多面体是一个三棱锥，即三棱锥A1MNP，如图所示，其中M，N，P是棱长为2的正方体相应棱的中点，可得棱A1M最长，A1M3，故最长的棱的长度为3.答案3