1、福建省福建师范大学第二附属中学2020届高三数学上学期期中试题 理第I卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知集合，集合，求（ ）A B C D 2设，则（ ）A B C D 3平面向量与的夹角为,则等于（ ）A B C 4 D 124在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A B C D 5函数的图象大致为（ ）ABCD6一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A最长棱的棱长为 B最长棱的棱长为C侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 D侧面四个三角形都是直角三角形7函数的图象如
2、图，则下列有关性质的描述正确的是（ ）AB为函数的对称轴C向左移后的函数为偶函数D函数的单调递减区间为8若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为（ ） 9已知定义在上的函数满足对任意都有成立，且函数的图像关于直线对称，则（ ） 10我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，所对的边分别为，则的面积根据此公式，若，且，则的面积为（ ）ABCD11已知，且都是锐角，则（ ）A B C D12已知偶函数满足，且当时，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4
3、道小题，每小题5分，共20分）13已知复数满足，则等于_14已知函数，且，则曲线在处的切线方程为_15已知正三棱锥的底面边长为3，外接球的表面积为，则正三棱锥的体积为_16已知函数，则函数的最小值为_三、解答题（本题共6道小题, 共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题满分10分）已知函数（）求的最小正周期：（）求在区间上最大值和最小值18（本小题满分12分）在平面四边形ABCD中， AB2，BD，ABBC，BCD2ABD，ABD的面积为2(1)求AD的长；(2)求CBD的面积19（本小题满分12分）已知在多面体中，且平面平面（I）设点为线段的中点，试证明平面；
4、第19题图（II）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值20（本小题满分12分）已知函数（1）若，求实数的值；（2）设函数，若在上没有零点，求的取值范围21（本小题满分12分）如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB50 米，AD100米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O为AD的中点，OMON，点M在AB上，点N在CD上），将破旧的道路AM重新铺设已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设OMA，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f()（1）求f()关于函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tan为何值时，总费用
5、 f()最小？22（本小题满分12分）已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且答案：1B2D3B4A5A6D7C8A9D10A11A12D【解析】分析：由偶函数满足，可得函数周期为，利用导数研究函数的单调性，画出函数图象，在上有个周期，且有个整数解，每个周期内有个解， 由可得结果.详解：由，可知函数的对称轴为，由于函数是偶函数，,所以函数是周期为的周期函数，当时，函数在上递增，在上递减，最大值，且，由选项可知，解得或，根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，没有整数解，根据函数偶函数，在上有个周期，且有个整数解，也即每个周期内有个解，故，解得，故选D.131415或161
6、7（）因为 ，故最小正周期为 （）因为，所以 于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值18(1)由已知ABBDsinABD2sinABD2，可得sinABD，又ABD，所以cosABD，在ABD中，由余弦定理AD2AB2BD22ABBDcosABD，可得AD25，所以AD(2)由ABBC，得ABDCBD，所以sinCBDcosABD，又BCD2ABD，所以sinBCD2sinABDcosABD，BDCCBDBCD2ABDABDCBD，所以CBD为等腰三角形，即CBCD，在CBD中，由正弦定理，得CD，所以1920（1）因为，即：，所以（2）由题意可知，函数在上没有零点等价于方程在上无实
7、数解，设，则，在上单调递减，在上单调递增，在上取得极小值，也是最小值，21（1）据题意，在RtOAM中，OA50，OMA，所以AM，OM，据平面几何知识可知DON，在RtODN中，OD50，DON，所以ON，所以f() ，据题意，当点M与点B重合时，取最小值；当点N与点C重合时，取最大值，所以，所以f()，其定义域为 （2）由（1）可知，f()，令0，得，其中，列表：极小值所以当时，总费用 f()取最小值，可节约投入成本22（1）因为，所以令，则，当时，单调递减，但，时，不合题意，舍去当时，令，得当时，单调递减；当时，单调递增因为，若，则，故在上单递调递减，不合题意，舍去；若，则，故在上单调递增，不合题意，舍去；若，则，则综上，（2），令，则，令得，当时，单调递减；当时，单调递增所以因为，所以在和上，即各有一个零点设在和上的零点分别为，因为在上单调递减，所以当时，单调增；当时，单调递减因此，是的极大值点因为在上单调增，所以当时，单调递减，当时，单调递增，因此是的极小值点所以有唯一的极大值点由前面的证明可知，则因为，所以，又，因为，所以因此，即