1、第三节函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称口诀记忆奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称.2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这
2、个最小正数就叫做f(x)的最小正周期并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)5.熟记常用结论1奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变
3、量也互为相反数2周期性的4个常用结论设函数yf(x)，xR，a0.(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a；(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(xa)，则函数的周期为2a；(4)若f(xa)，则函数的周期为2a.3对称性的3个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称小题查验基础一、判断题(对的
4、打“”，错的打“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：选BA中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.2下列函数为奇函数的是()Ay By
5、exCy|x| Dyexex解析：选DA、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.3若yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在yf(x)图象上的是()A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f(a) D(a，f(a)解析：选B因为(a，f(a)是函数yf(x)图象上的点，且yf(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(a，f(a)，即(a，f(a)一定在yf(x)的图象上4已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_解析：f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0
6、，ab.答案：5设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.解析：f(x)是定义在R上的周期为2的函数，fff422121.答案：1考点一基础自学过关 函数奇偶性的判定 题组练透判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(x1) ；(2)f(x)(3)f(x)；(4)f(x)loga(x)(a0且a1)解：(1)因为f(x)有意义，则满足0，所以1x1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数(2)法一：定义法当x0时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；当x0时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)
7、1x22x1f(x)所以f(x)为奇函数法二：图象法作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数(3)因为所以2x2且x0，所以定义域关于原点对称又f(x)，所以f(x)f(x)故函数f(x)为偶函数(4)函数的定义域为R，因为f(x)f(x)logaxloga(x)loga(x)loga(x)loga(x)(x)loga(x21x2)loga10.即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数名师微点判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x
8、)0是否成立(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇提醒分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性考点二师生共研过关 函数奇偶性的应用 典例精析(1)(2019广州调研)已知函数f(x)a为奇函数，则实数a_.(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)_.(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(
9、2 017)f(2 019)的值为_解析(1)易知f(x)的定义域为(，0)(0，)，因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即aa，所以2a1，所以a.(2)f(x)为奇函数，x0时，f(x)x1，当x0时，x0，f(x)f(x)(x1)x1，即x0时，f(x)x1.(3)由题意得，g(x)f(x1)，f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)0.f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.答案(1)(2)x1(3)0解题技法与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)
10、求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数f(x)f(x)，f(x)为偶函数f(x)f(x)，列式求解，也可利用特殊值法求解对于在x0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)0求解过关训练1设f(x)x2g(x)，xR，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为()Ag(x)x3Bg(x)cos xCg(x)1x Dg(x)xex解析：选B因为f
11、(x)x2g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(x)2g(x)x2g(x)，即g(x)g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.2设函数f(x)若f(x)是奇函数，则g(3)的值是()A1 B3C3 D1解析：选C函数f(x)f(x)是奇函数，f(3)f(3)，log2(13)(g(3)1)，则g(3)3.故选C.3若关于x的函数f(x)(t0)的最大值为a，最小值为b，且ab2，则t_.解析：f(x)t，设g(x)，则g(x)为奇函数，g(x)maxat，g(x)minbt.g(x)maxg(x)min0，ab2t0，即22t0，解得t1.答案：1考
12、点三师生共研过关 函数的周期性 典例精析(1)已知函数f(x)如果对任意的nN*，定义fn(x)，那么f2 019(2)的值为()A0 B1C2 D3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.解析(1)f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，fn(2)的值具有周期性，且周期为3，f2 019(2)f3673(2)f3(2)2，故选C.(2)f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2，当x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(2)f(4)f(2 0
13、18)0，f(1)f(3)f(5)f(2 019)1.故f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.答案(1)C(2)1 010解题技法函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性过关训练1口诀第2句已知函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当x时，ff，则f(6)等于()A2 B1C0 D2解析：选D当x时，ff，即周期为1，则f(
14、6)f(1)f(1)(1)312.2口诀第3、4句已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A6 B7C8 D9解析：选B当0x2时，令f(x)x3xx(x21)0，所以yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x10，x21.当2x4时，0x22，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x2)f(x)，所以f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当2x4时，yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x32，x43.同理可得，当4x6时，yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x54，x65.当x76时，也符合要
15、求综上可知，共有7个交点3口诀第5、6句已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x1对称，且当x0,1时，f(x)log2(x1)，则下列不等式正确的是()Af(log27)f(5)f(6)Bf(log27)f(6)f(5)Cf(5)f(log27)f(6)Df(5)f(6)f(log27)解析：选C因为奇函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以f(1x)f(1x)，f(x)f(x)，所以f(2x)f(x)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(5)f(1)f(1)1，f(6)f(2)f(0)0.于是，结合题意可画出函数f(x)在2,4上的大
16、致图象，如图所示又2log273，所以结合图象可知1f(log27)0，故f(5)f(log27)f(6)，故选C.考点四全析考法过关 函数性质的综合应用 考法全析考法(一)单调性与奇偶性综合例1(2018石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)单调递增，f(1)0，若f(x1)0，则x的取值范围为()Ax|0x1或x2Bx|x0或x2Cx|x0或x3 Dx|x1或x1解析因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，又函数f(x)在(0，)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x1)0可转化为1x10或x11，解得0x1或x2，故选A.答案A考法(二
17、)奇偶性与周期性综合例2(2019赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)f(x)若f(2)1，f(7)a，则实数a的取值范围为()A(，3) B(3，)C(，1) D(1，)解析f(x3)f(x)，f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，f(7)f(79)f(2)又函数f(x)是偶函数，f(2)f(2)，f(7)f(2)1，a1，即a(1，)故选D.答案D考法(三)单调性、奇偶性与周期性结合例3(2019达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在1,0上单调递减，设af(2.8)，bf(1.6)，cf(0.5)，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabC
18、bca Dacb解析偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，函数的周期为2.af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.4)，cf(0.5)f(0.5)0.80.50.4，且函数f(x)在1,0上单调递减，acb，故选D.答案D规律探求看个性考法(一)是已知函数单调递增且为奇函数，求自变量范围，有时也比较大小，常利用奇、偶函数图象的对称性；考法(二)是已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值的范围，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；考法(三)是函数周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然
19、后利用奇偶性和单调性求解找共性对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题过关训练1(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2 D50解析：选Cf(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x)，得f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(
20、x4)f(x2)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数得f(0)0.又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.2已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上单调递减，则f(x)在1,3上是()A增函数 B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数解析：选D根据题意，f(x1)f(x)，f(x2)f
21、(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.又f(x)在定义域R上是偶函数，在1,0上是减函数，函数f(x)在0,1上是增函数，函数f(x)在1,2上是减函数，在2,3上是增函数，f(x)在1,3上是先减后增的函数，故选D.3已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_解析：f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减，f()f()，f(2|a1|)f()，2|a1|2，|a1|，即a1，即a.答案： 一、题点全面练1(2018天水一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为()Ayx1B
22、yx2Cy Dyx|x|解析：选D对于A，yx1为非奇非偶函数，不满足条件对于B，yx2是偶函数，不满足条件对于C，y是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件对于D，设f(x)x|x|，则f(x)x|x|f(x)，则函数为奇函数，当x0时，yx|x|x2，此时为增函数，当x0时，yx|x|x2，此时为增函数，综上，yx|x|在R上为增函数故选D.2设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f()()A B.C2 D2解析：选B由已知得f()f()log2.故选B.3函数f(x)满足f(x1)f(x)，且当0x1时，f(x)2x(1x)，则f的值为()A. B.C D解析
23、：选Af(x1)f(x)，f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)的周期为2.fff2.4(2018佛山一模)已知f(x)2x为奇函数，g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则f(ab)()A. B.C D解析：选D根据题意，f(x)2x为奇函数，则f(x)f(x)0，即0，解得a1.g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则g(x)g(x)，即bxlog2(4x1)b(x)log2(4x1)，解得b1，则ab1，所以f(ab)f(1)21.5定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)
24、f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)解析：选Af(x)是偶函数，f(2)f(2)又任意的x1，x20，)(x1x2)，有0，f(x)在0，)上是减函数又123，f(1)f(2)f(2)f(3)，故选A.6已知函数f(x)asin xblnt，若ff6，则实数t()A2 B1C1 D3解析：选D令g(x)asin xbln，易知g(x)为奇函数，所以gg0，则由f(x)g(x)t，得ffgg2t2t6，解得t3.故选D.7(2019荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x(0,1)时，f(x)3x1，则f()A.1 B.1C1 D1解析：选D因为f(x)是周期为2的奇函
25、数，所以f(x2)f(x)f(x)，所以fffff.又当x(0,1)时，f(x)3x1，所以f1，f1.8已知f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m2)f(2m3)0，那么实数m的取值范围是()A. B.C(1,3) D.解析：选Af(x)是定义域为(1,1)的奇函数，1x1，f(x)f(x)，f(m2)f(2m3)0可转化为f(m2)f(2m3)，即f(m2)f(2m3)f(x)是减函数，1m.9(2019洛阳第一次统考)若函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数，则实数a_.解析：法一：(定义法)函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数，f(x)f(x)，即ln
26、(ex1)axln(ex1)ax，2axln(ex1)ln(ex1)lnlnx，2a1，解得a.法二：(取特殊值)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(1)f(1)，ln(e11)aln(e11)a，2aln(e11)ln(e11)lnln1，a.答案：10设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)212011.答案
27、：1二、专项培优练(一)技法专练活用快得分1巧用性质已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm等于()A0 B2C4 D8解析：选Cf(x)2，设g(x)，则g(x)g(x)(xR)，g(x)为奇函数，g(x)maxg(x)min0.Mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，Mm2g(x)max2g(x)min4.2巧用性质设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围为_解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(
28、1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x1.所以x的取值范围为.答案：3数形结合已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，作出f(x)的图象如图所示，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围
29、是(1,3(二)素养专练学会更学通4逻辑推理奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A2 B1C0 D1解析：选D由函数f(x2)为偶函数可得，f(2x)f(2x)又f(x)f(x)，故f(2x)f(x2)，所以f(2x)f(x2)，即f(x4)f(x)所以f(x8)f(x4)f(x)，故该函数是周期为8的周期函数又函数f(x)为奇函数，故f(0)0.所以f(8)f(9)f(0)f(1)011.5逻辑推理已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(
30、25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11)解析：选Df(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)6数学运算定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，当x(3,0时，f(x)x1，当x(0,2时，f(x)log2x，则f
31、(1)f(2)f(3)f(2 019)的值等于()A403 B405C806 D809解析：选B定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，即函数f(x)的周期为5.当x(0,2时，f(x)log2x，所以f(1)log210，f(2)log221.当x(3,0时，f(x)x1，所以f(3)f(2)1，f(4)f(1)0，f(5)f(0)1.所以f(1)f(2)f(2 019)403f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)f(2 018)f(2 019)4031f(1)f(2)f(3)f(4)4030110405.7数学运算设函数f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积解：(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.