1、课后素养落实(二十四)余弦定理与正弦定理的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()A BC90D180B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知，故选B.2.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，是可供测量的数据下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()Ac和 Bc和bCc和 Db和Db在岸上比较好测量，和任选其一测量即可3一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A n mile/h B34 n
2、 mile/hC n mile/h D34 n mile/hA如图所示，在PMN中，MN34，v(n mile/h).故选A.4在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A20 m B30 m C40 m D60 mC如图，设O为建筑物顶端在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20，BD40，OD20.在RtAOD中，OAODtan 6060.ABOAOB40.故选C.5一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为()A2
3、km B6 kmC2 km D8 kmB如图所示，在ACD中，AC2，CD4，ACD60，AD2124822436.AD6.即该船实际航程为6 km.故选B.二、填空题6某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为_km.7如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7.则A，C两地的距离为7 km.7如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从C点到B
4、点历时14 s，则这辆汽车的速度为_m/s.(精确到0.1，参考数据：1.414，2.236)22.6由题意，AB200 m，AC100 m，由余弦定理可得BC316.2(m)，这辆汽车的速度为316.21422.6(m/s).8我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知为田几何”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为_平方千米21设在ABC中，a13里，b14里，c15里，所以cos C，所以sin C，故A
5、BC的面积为1314500221(平方千米).三、解答题9.如图所示，在ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度. 解在ABC中，由余弦定理，有cos C，则C30.在ACD中，由正弦定理，有，AD，即AD的长度等于.10济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80.你能帮小明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)解如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端依题意，得BAD60，CBD80，AB1
6、5.2 m，则ABD100，故ADB180(60100)20.在ABD中，根据正弦定理，得，BD38.5(m).在RtBCD中，CDBD sin 8038.5sin 8038(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m11.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：测量A，B，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A3 B2 C1 D0A对于，利用内角和定理先求出CAB，再利用正弦定理解出c；对于，直接利用余弦定理c2a2b22ab co
7、s C即可解出c；对于，先利用内角和定理求出CAB，再利用正弦定理解出c.故选A.12甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是()A km B kmC km D kmB由题意知AM82，BN123，MBABAM321，所以由余弦定理，得MN2MB2BN22MBBN cos 12019213()13，所以MN km.故选B.13.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD区域改造成公园，经过测量得到AB1 km，BC2 km，CD3 km，AD4
8、km，且ABC120，则这个区域的面积是_km2.连接AC(图略)，在ABC中，AB1 km，BC2 km，ABC120，利用余弦定理得AC2BC2AB22ABBC cos ABC412127，即AC km.在ACD中，因为AC km，CD3 km，AD4 km，所以AC2CD2AD2，则ACD为直角三角形，且ACD90.故S四边形ABCDSABCSACDABBCsin ABCACCD12sin 1203(km2).14.某班设计了一个八边形的班徽，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形组成该八边形的面积为_2sin 2cos 2 三角形的底边长为x，S4S三角形S正方形4
9、11sin x22sin 22cos 2sin 2cos 2.15为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.在ABC中，ABkm，AC1 km，ABC30，由正弦定理，得sin ACBAB，ACB120(ACB60不合题意)，BAC30，BCAC1 km.在ACD中，ACAD1 km，ACD60，ACD为等边三角形，CD1 km.605(min)，在BC上需5 min，CD上需5 min.最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格