1、2016-2017学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题满分60分，每小题5分）1设全集U=R，集合A=x|x22x0，B=x|y=log2（x21），则（UA）B=（）A1，2）B（1，2）C（1，2D（，1）0，22若A（1，2，1），B（4，2，3），C（6，1，4），则ABC的形状是（）A不等边锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形3已知在等比数列an中，a4，a8是方程x28x+9=0的两根，则a6为（）A3B3C3D24已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=5已知x5，则f（x）=有（）A最大值8B
2、最小值10C最大值12D最小值146如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）ABCD07过点M（2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A2B2CD8数列an的通项an是关于x的不等式x2xnx（nN*）的解集中的整数个数，则数列an的前n项和Sn=（）An2Bn（n+1）CD（n+1）（n+2）9下列命题正确的个数是（）A“在三角形ABC中，若sinAsinB，则AB”的
3、逆命题是真命题；B命题p：x2或y3，命题q：x+y5则p是q的必要不充分条件；C“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”；D“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”A1B2C3D410某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆则租金最少为（）A31200元B36000元C36800元D38400元11已知点P是双曲线=1（a0，b0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若S
4、=SS成立，则双曲线的离心率为（）A4BC2D12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上，且AM=，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是（）A圆B抛物线C双曲线D直线二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13已知数列an是公比为q（q1）的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为14抛物线x2=y上一点到直线2xy4=0的距离最短的点的坐标是15ABC中，AB=，AC=1，B=30，则ABC的面积等于16商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a
5、，最高销售限价b（ba）以及常数x（0x1）确定实际销售价格c=a+x（ba），这里，x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（ca）是（bc）和（ba）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于三、解答题17在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值18已知命题p：x1和x2是方程x2mx2=0的两个实根，不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立；命题q：不等式ax2+2x10有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围19如图所示，在正方体A
6、BCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点（）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论20已知动圆P过点F（1，0）且和直线l：x=1相切（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）已知点M（1，0），若过点F的直线与轨迹E交于A，B两点，求证：直线MA，MB的斜率之和为定值21已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn22已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐
7、标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程2016-2017学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分60分，每小题5分）1设全集U=R，集合A=x|x22x0，B=x|y=log2（x21），则（UA）B=（）A1，2）B（1，2）C（1，2D（，1）0，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求解一元二次不等式化简A，求函数的定义域化简B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案【解答】解：A=x|x22x0=x|x0或x2，UA=x|0x2，由x210，得x1或x1B=x|y=log2（x21）
8、=x|x1或x1，则（UA）B=x|0x2=x|x1或x1=（1，2）故选：B2若A（1，2，1），B（4，2，3），C（6，1，4），则ABC的形状是（）A不等边锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【分析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角【解答】解：，得A为锐角；，得C为锐角；，得B为锐角；所以为锐角三角形故选项为A3已知在等比数列an中，a4，a8是方程x28x+9=0的两根，则a6为（）A3B3C3D2【考点】等比数列的通项公式【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得a4+a8=8，
9、a4a8=9，进一步得到a40，a80，再由等比数列的性质得答案【解答】解：在等比数列an中，a4，a8是方程x28x+9=0的两根，a4+a8=8，a4a8=9，a40，a80，a60，=9，a6=3故选：C4已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=【考点】双曲线的简单性质【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=x，代入可得答案【解答】解：由双曲线C：（a0，b0），则离心率e=，即4b2=a2，故渐近线方程为y=x=x，故选：D5已知x5，则f（x）=有（）A最大值8B最小值10C最大值12D最小值14【考点】函数的
10、最值及其几何意义【分析】由题意可得x40，f（x）=x+=（x4）+4，再由基本不等式即可得到所求最值【解答】解：x54，即为x40，则f（x）=x+=（x4）+42+4=10，当且仅当x4=，即x=7时，取得等号，则f（x）的最小值为10故选：B6如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）ABCD0【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos，可得答案【解答】解：
11、以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）=（1，0，1），=（1，1，1）设异面直线A1E与GF所成角的为，则cos=|cos，|=0，故选：D7过点M（2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A2B2CD【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出
12、直线OP的斜率k2，计算 k1k2的值【解答】解：过点M（2，0）的直线m的方程为 y0=k1（x+2 ），代入椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+8k12x+8k122=0，x1+x2=，P的横坐标为， P的纵坐标为k1（x1+2 ）=，即点P（，），直线OP的斜率k2=，k1k2=故选D8数列an的通项an是关于x的不等式x2xnx（nN*）的解集中的整数个数，则数列an的前n项和Sn=（）An2Bn（n+1）CD（n+1）（n+2）【考点】数列的求和【分析】通过解不等式求出数列an的通项an判断数列an是什么数列，即可数列an的前n项和Sn【解答】解：不等式x2xnx（nN*）的解集为
13、x|0xn+1通项an是解集中的整数个数an=n（nN*）an+1an=n+1n=1（常数），数列an是首先为1，公差为1的等差数列前n项和Sn=故选C9下列命题正确的个数是（）A“在三角形ABC中，若sinAsinB，则AB”的逆命题是真命题；B命题p：x2或y3，命题q：x+y5则p是q的必要不充分条件；C“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”；D“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】A项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；B项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；C项根据全称命题和
14、存在性命题的否定的判断；D项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论【解答】解：对于A项“在ABC中，若sinAsinB，则AB”的逆命题为“在ABC中，若AB，则sinAsinB”，若AB，则ab，根据正弦定理可知sinAsinB，逆命题是真命题，A正确；对于B项，由x2，或y3，得不到x+y5，比如x=1，y=4，x+y=5，p不是q的充分条件；若x+y5，则一定有x2且y3，即能得到x2，或y3，p是q的必要条件；p是q的必要不充分条件，所以B正确；对于C项，“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”；所以C不对对于D项，“若ab，则2a2b1”的否命题为“若
15、ab，则2a2b1”所以D正确故选：C10某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆则租金最少为（）A31200元B36000元C36800元D38400元【考点】简单线性规划【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元可得目标函数z=1600x+2400y，结合题意建立关于x、y的不等式组，计算A、B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此设计方
16、案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z达到最小值36800【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z=1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，（x、yN）A型车租金为1600元，可载客36人，A型车的人均租金是44.4元，同理可得B型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客365+6012=900人，符合要求且此时的总租金z=16005+240012=36800，达到最小值故选：C11已知点
17、P是双曲线=1（a0，b0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若S=SS成立，则双曲线的离心率为（）A4BC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】设圆I与PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得IF1F2，IPF1，IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形利用三角形面积公式，代入已知式S=SS，化简可得|PF1|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率【解答】解：如图，设圆I与PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则
18、IEF1F2，IFPF1，IGPF2，它们分别是：IF1F2，IPF1，IPF2的高，S=|PF1|IF|=|PF1|，=|PF2|IG|=|PF2|，S=|F1F2|IE|=|F1F2|，其中r是PF1F2的内切圆的半径S=SS，|PF1|=|PF2|+|F1F2|，两边约去得：|PF1|=|PF2|+|F1F2|，|PF1|PF2|=|F1F2|，根据双曲线定义，得|PF1|PF2|=2a，|F1F2|=2c，2a=c离心率为e=2，故选：C12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上，且AM=，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距
19、离的平方差为4，则动点P的轨迹是（）A圆B抛物线C双曲线D直线【考点】抛物线的定义【分析】作PQAD，作QRD1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得 PR2PQ2=RQ2=4，又已知PR2PM2=4，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离【解答】解：如图所示：正方体ABCDA1B1C1D1中，作PQAD，Q为垂足，则PQ面ADD1A1，过点Q作QRD1A1，则D1A1面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得 PR2PQ2=RQ2=4又已知 PR2PM2=4，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选 B二
20、、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13已知数列an是公比为q（q1）的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】由a1，a3，a2成等差数列得2a3=a1+a2，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程，解方程可得所求值【解答】解：由数列an是公比为q（q1）的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列2a3=a1+a2，2a1q2=a1q+a1，2q2=q+1，q=1或q=，q1，q=故答案为：14抛物线x2=y上一点到直线2xy4=0的距离最短的点的坐标是（1，1）【考点】抛物线的简单性质【分析】设抛物线y=x2上一点为
21、A（x0，x02），求出点A（x0，x02）到直线2xy4=0的距离，利用配方法，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2xy4=0的距离最短的点的坐标【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），点A（x0，x02）到直线2xy4=0的距离d=|（x01）2+3|，当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2xy4=0的距离最短故答案为：（1，1）15ABC中，AB=，AC=1，B=30，则ABC的面积等于或【考点】解三角形【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求【解答】解：ABC中，c=
22、AB=，b=AC=1B=30由正弦定理可得bcCB=30C=60，或C=120当C=60时，A=90，当C=120时，A=30，故答案为：或16商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（ba）以及常数x（0x1）确定实际销售价格c=a+x（ba），这里，x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（ca）是（bc）和（ba）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于【考点】数列的应用【分析】根据题设条件，由（ca）是（bc）和（ba）的等比中项，知x（ba）2=（ba）2x（ba）2，由此能求出最佳乐观系数x的值【解答】解：ca=x（ba）
23、，bc=（ba）x（ba），（ca）是（bc）和（ba）的等比中项，x（ba）2=（ba）2x（ba）2，x2+x1=0，解得，0x1，故答案为：三、解答题17在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20又b=5，解得c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，即可得出a又由正弦定理得即可得到即可得出【解答】解：（）由cos2A3cos（
24、B+C）=1，得2cos2A+3cosA2=0，即（2cosA1）（cosA+2）=0，解得（舍去）因为0A，所以（）由S=，得到bc=20又b=5，解得c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故又由正弦定理得18已知命题p：x1和x2是方程x2mx2=0的两个实根，不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立；命题q：不等式ax2+2x10有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围【考点】四种命题的真假关系；一元二次不等式的应用【分析】本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p：x1和x2是方程x2mx2=0的两个实根，不等式a25a3|x
25、1x2|对任意实数m1，1恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax2+2x10有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案【解答】解：x1，x2是方程x2mx2=0的两个实根|x1x2|=当m1，1时，|x1x2|max=3，由不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立可得：a25a33，a6或a1，命题p为真命题时a6或a1，命题q：不等式ax2+2x10有解当a0时，显然有解当a=0时，2x10有解当a0时，ax2+2x10有解，=4+4a0，1a0，从而命题q：不等式ax2+2x10
26、有解时a1又命题q是假命题，a1，故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a119如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点（）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【分析】（）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EMAD，而AD平面ABB1A1，则EM面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在RtBEM中
27、，求出此角的正弦值即可（）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1B1C1BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EGA1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG面A1BE，根据FGC1CB1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1FBG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F平面A1BE【解答】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD
28、又在正方体ABCDA1B1C1D1中AD平面ABB1A1，所以EM面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，于是在RtBEM中，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为（）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1B1C1BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B，这说明A1，B，G，
29、E共面，所以BG平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1FBG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE20已知动圆P过点F（1，0）且和直线l：x=1相切（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）已知点M（1，0），若过点F的直线与轨迹E交于A，B两点，求证：直线MA，MB的斜率之和为定值【考点】轨迹方程【分析】（1）由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程（2）设直线AB的方程为x=my+1，联立直线与抛物线，利
30、用韦达定理、斜率公式，即可证明结论【解答】解：由题意得：圆心P到点F的距离等于它到直线l的距离，圆心P的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线设圆心P的轨迹方程为y2=2px（p0）（p0）=1，p=2圆心P的轨迹方程为：y2=4x；证明：（2）设直线AB的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与抛物线可得y24my4=0，y1+y2=4m，y1y2=4，kMA+kMB=+=0，即直线MA，MB的斜率之和为定值21已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】
31、数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（）运用等比数列的通项公式，可得方程组，求得首项和公差，即可得到所求通项公式；（）运用拆项法化简bn，再由数列的求和方法：裂项相消法，结合等比数列的求和公式即可得到【解答】解：（）由题设可知a1a4=a2a3=8，又a1+a4=9，解得：或（舍去）由得：公比q=2，故；（）由（）得，又因为，所以Tn=b1+b2+bn=所以，（或）22已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭
32、圆的简单性质【分析】（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x22017年2月25日