1、湖南省怀化市麻阳一中2020届高三数学下学期3月第七次月考试题 文（含解析）注意事项：1. 答题前，请考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并认真核对试卷有误缺页、漏页等现象.2. 本试卷共4页.试卷满分150分.考试时量120分钟.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容（除选修部分外）第卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax|2x+13，Bx|2x2，则AB（ ）A. （，2）B. C. （2，1）D. （1，+）【答案】C【解析】【分析】解不等式求得
2、集合，由此求得.【详解】Ax|x2，Bx|x1，AB（2，1）故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.设zi（i3），则|z|（ ）A. B. 3C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数乘法运算求得，再求的模.【详解】zi（i3）13i，|z|故选：A【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的求法，属于基础题.3.已知向量（，1），（2，2），则向量，的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角.【详解】，且，的夹角为故选：D【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，
3、属于基础题.4.曲线ysinx在点（0，0）处的切线方程为（ ）A. y2xB. yxC. y2xD. yx【答案】B【解析】【分析】求得的导函数，由此求得切线的斜率，进而求得切线方程.【详解】由ysinx，得ycosx，可得切线的斜率kcos01，曲线ysinx在点（0，0）处的切线方程为yx故选：B【点睛】本小题主要考查在曲线上某点切线方程的求法，属于基础题.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据，将，利用对数函数的单调性，可得大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果.【详解】由对数函数比较底数大小口诀：在第一象限，图像越靠近轴，则底数越小
4、所以可知，而又在定义域单调递增，所以且所以由在上单调递增，所以所以，故故选：C【点睛】本题考查指数式、对数式比较大小，关键在于比较大小，熟练对数函数底数的比较，学会总结，可简便计算，同时也会借助中间值比较大小，比如：0，1，属中档题.6.某单位有名职工，现采用系统抽样方法从中抽取人做问卷调查，将人按，随机编号，若号职工被抽到，则下列名职工中未被抽到的是（ ）A. 号职工B. 号职工C. 号职工D. 号职工【答案】D【解析】【分析】利用系统抽样的概念，可得抽样距为15，根据每组抽出号码成等差数列，结合号在第30组，可知第一组抽出的号码，进一步得到等差数列的通项公式，简单判断，可得结果.【详解】由
5、题可知：抽样距为，设第一组抽出的号码为，由前29组共有435项，前30组有450项所以可知号落在第30组又因为每组抽出号码成等差数列，公差为15所以所以当时，则又，所以号职工不是被抽到的员工故选：D【点睛】本题考查系统抽样，还考查等差数列通项公式，难点在于求出，属基础题.7.已知函数，则下列说法错误是（ ）A. 的定义域是RB. 是偶函数C. 在单调递减D. 的最小值为1【答案】C【解析】【分析】由分别判断函数的定义域，奇偶性，利用导数判断函数的单调性与最值，可得答案.【详解】解：易得定义域是R，故A正确；由，故是偶函数，故B正确；当时，所以在单调递增, 故C不正确；由是偶函数，且时单调递增，
6、可得的最小值为，故D正确；故选：C.【点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等知识，熟悉函数的相关知识并利用导数求解是解题的关键.8.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，角A的角平分线交BC于点D，可得，由可得， ，在,由余弦定理可得，在中，由正弦定理可知：，可得，判断出为锐角，可得答案.【详解】解法1：因为，角A的角平分线交BC于点D，所以，又，所以，因为，所以，所以.因为，所以，解得，在中，由正弦定理可知：即，所以，因为，所以，因为，所以，所以为锐角，所以.法2：因为
7、，角A的角平分线交BC于点D，所以，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以，解得，由余弦定理可得：，即，所以，所以.所以或，因为，所以又，所以，所以，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查学生的综合计算能力，熟练掌握正弦定理、余弦定理并灵活运用是解题的关键.9.中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（）A. B. C. D. 【答
8、案】A【解析】【分析】先根据鳖牖的体积为l，求得，再根据阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积【详解】由题意，因为平面，四边形为正方形，又由鳖牖的体积为，所以，解得，而阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线，所以，即，球的表面积为故选A【点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的体积与表面公式计算，其中解答中得出阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题10.某校早上6：30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：006：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻
9、到校是等可能的，则小张与小王至少相差5分钟到校的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第分钟，第分钟，由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解.【详解】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第分钟，第分钟，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个正方形区域，对应的面积，则小张与小王至少相差5分钟到校事件(如阴影部分)则符合题意的区域，由几何概型可知小张与小王至少相差5分钟到校的概率为.故选：A【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题.11.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，
10、与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（）A. 18B. 24C. 36D. 48【答案】C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又ABx轴|AB|=2p=12p=6又点P在准线上DP=（+|-|）=p=6SABP=（DPAB）=612=36故选C12.已知，若存在实数m，使函数有两个零点，则a的取值范围( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图像有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图像可得a的取值范围.【详解】解：由有两个
11、零点，可得有两个零点，即与的图像有两个交点，由，可得或， 当时，函数的图像如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意； 当时，函数单调递增，故不符合题意； 当时，函数单调递增，故不符合题意； 当时，函数单调递增，故不符合题意； 当时，函数的图像如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意；综上可得，或，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点与方程跟的关系，考查了分段函数的相关知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的运用，属于中档题.第卷（非选择题）二、非选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足，则z4x+3y的最小值是_【答案】【解析】【分析】画出可行域，平移直线到可行域边界
12、点时，目标函数取得最小值.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z4x+3y得yxz，平移直线yxz，由图象可知当直线xz经过点A时，直线xz的截距最小，此时z最小由，解得，即A（，），代入目标函数z4x+3y得z即目标函数z4x+3y的最小值为故答案为：【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_
13、【答案】丙【解析】【分析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙【详解】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙故答案为：丙【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.15.在等比数列中，且前项和，则此数列的项数等于_【答案】5【解析】【分析】由题意，易得和是方程的两根，求解方程得到两根，分数列递增和数列递减可得，再由得，进一步可得值.【详解】由等比数列的性质可得，又，和是方程的两根，解方
14、程可得或，若等比数列递增，则，解得，解得若等比数列递减，则，解得，解得综上，数列的项数故答案为：5【点睛】本题考查等比数列通项公式和前项和公式的计算，考查计算能力，属于基础题.16.已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】不等式即：恒成立，作出函数的图象，则正比例函数恒在函数的图象下方，考查函数： 经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为，由此可得：实数的取值范围为，故答案为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，内角，所对的边分别为，且.（1）证明：；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）见解析（2）2【解析】试题分析：
15、（1）由，根据正弦定理可得 ，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由 ，解得.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得： ，展开得： ，整理得：，所以，.（2）由已知得：， ，由，得：，由，得：，所以，由 ，得：.18.已知数列的前n项和为，.（1）求；（2）若，数列的前n项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用当时，进行化简，可得，可得的表达式；（2）由（1）得，可得，由裂项相消法可得的值.【详解】解：（1）由得，解得（舍去），或，两式相减得，等差数列，公差为1，.（2）由（1）得，.【
16、点睛】本题主要考查由递推式求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题.19.如图，四边形是矩形，平面平面，且，为中点.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明平面， 再利用勾股定理证明；（2）利用等积法得，通过计算即可得到答案.【详解】（1）取的中点，连接，为中点，又平面平面，平面，平面， 则，. （2）连接，的面积为：.三棱锥的体积为：.【点睛】本题考查线面垂直判定定理和勾股定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意三棱锥的等体积法的应用.20.为了研究每周累计户外暴露
17、时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：近视不近视足够的户外暴露时间2035不足够的户外暴露时间3015（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；（2）能否认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系【解析】【分析】（1）根据题意，用样本中近视的学生人数除以样本容量，得到近视率；（2）根据独立性检验的方法，计算，将观测值与比
18、较，运用独立性检验的相关知识给出结论即可.【详解】（1）从表格中可知，100名学生中，近视的学生有名，所以可估计该中学一年级学生的近视率为；（2），所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系【点睛】本题考查（1）用样本估计总体（2）独立性检验，考查计算能力，考查数据分析能力，属于基础题.21.已知定点，动点与、两点连线的斜率之积为.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知点是轨迹上的动点，点在直线上，且满足（其中为坐标原点），求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）设点，则，且，化简即可得出答案；（2）由题意，当点在椭圆的左右顶点位置时，易求出面
19、积；当点不在椭圆的左右顶点位置时，设直线的斜率，联立直线与椭圆的方程可求得，同理可求得，再利用换元法即可求出面积的最值【详解】解：（1）设点，则，且，所以，化简得，故点的轨迹的方程为；（2）因为，所以，当点在椭圆的左右顶点位置时，；当点不在椭圆的左右顶点位置时，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为，解得所以，此时的方程为，所以，令，则，且，所以，综上可知，面积的最小值为【点睛】本题主要考查曲线的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于难题22.设函数（1）若函数在上为减函数，求实数最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围【答案】（1）最小值为（2）【解析】【分析】（1）
20、根据题意，确定函数定义域，然后求导，若函数在上为减函数，则在上恒成立，转化不等式为，令，求解的最小值，则，即可求解参数最值.（2）问题等价于当时，有，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出的具体范围即可.【详解】（1）由已知得的定义域，在上为减函数，在上恒成立，令，故当，即时，的最小值为，即的最小值为（2）命题“若存在，使成立”，等价于“当时，有”，由（1）知，当时，问题等价于：“当时，有”，当，即时，由（1），在上为减函数，则当，即时，由复合函数的单调性知在上为增函数，存在唯，使且满足：，要使，与矛盾，不合题意综上，实数的取值范围为【点睛】本题考查（1）函数恒成立问题（2）利用导数研究函数恒成立与能成立的问题，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.