1、 1“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集(，x1)(x2，)(，)Rax2bxc0)的解集(x1，x2)2.常用结论(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bxa口诀：大于取两边，小于取中间【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)不等式0的解集是1,2()(3)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是
2、x1和x2.()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(5)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0的解集是_答案(，2)(5，)解析解方程x23x100得x12，x25，由yx23x10的开口向上，所以x23x100的解集为(，2)(5，)2设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN_.答案0,4)解析Mx|x23x40x|1x4，MN0,4)3已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_答案(2,3)解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x6x2
3、x的解集为x|1xx2x的解集为x|1x0且x1x2a210，故1a1.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1求不等式2x2x30的解集解化2x2x30，解方程2x2x30得x11，x2，不等式2x2x30的解集为(，1)(，)，即原不等式的解集为(，1)(，)命题点2含参不等式例2解关于x的不等式：x2(a1)xa1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa，当a1时，x2(a1)xa0的解集为，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1引申探究将原不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x)(x
4、1)0.当a1时，1，(x)(x1)1时，1，解(x)(x1)0得x1；当0a1，解(x)(x1)0得1x.综上所述：当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x1时，解集为x|x1思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集
5、求不等式12x2axa2(aR)的解集解12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得：x1，x2.a0时，解集为；a0时，x20，解集为x|xR且x0；a0时，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上恒成立例3(1)若一元二次不等式2kx2kx0，则a的取值范围是_答案(1)(3,0)(2)0,4)解析(1)2kx2kx0对一切实数x都成立，则必有解之得3k0，则必有或a0，0a4.命题点2在给定区间上恒成立例4设函数f(x)mx2m
6、x1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是m|m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以，m的取值范围是.命题点3给定参数范围的恒成立问题例5对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_答案x|x3解析x2(k4)x42k0恒
7、成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0，即解之得x3.思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案
8、(1)1,4(2)(，0)解析(1)x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.题型三一元二次不等式的应用例6某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解(1)由题意得，y100100.因为售价不能低于成本价，所
9、以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品
10、质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)y(10.75x)12(1x)10(10.6x)10 0006 000x22 000x20 000，即y6 000x22 000x20 000(0x0，即6 000x22 000x0，0x，即x的范围为(0，)13转化与化归思想在不等式中的应用典例(1)已知函数f(x)x2a
11、xb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_思维点拨(1)考虑“三个二次”间的关系；(2)将恒成立问题转化为最值问题求解解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c，2c，即x0恒成立，即x22xa0恒成立即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故a3.实数a的取值范围是a|a3答案(1)9(2)a|a3温馨提醒(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可
12、以分离常数，转化为函数值域问题(2)注意函数f(x)的值域为0，)与f(x)0的区别方法与技巧1“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a0时的情形2f(x)0的解集即为函数yf(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想3简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解失误与防范1对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当0 (a0)的解集为R还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.A组专项基础训练(时间：30分钟)1不等式(x1)(2x)0的解集为_答案x|1x2解析由(x1)(2x)0可知(x2)(
13、x1)0，所以不等式的解集为x|1x22已知函数f(x)则不等式f(x)x2的解集为_答案1,1解析方法一当x0时，x2x2，1x0；当x0时，x2x2，0x1.由得原不等式的解集为x|1x1方法二作出函数yf(x)和函数yx2的图象，如图，由图知f(x)x2的解集为1,13若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_答案0,4解析由题意知a0时，满足条件a0时，由得0a4，所以0a4.4已知不等式x22x30的解集是A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab_.答案3解析由题意，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，则不等式x2axb0的解集为x|1
14、x0，不等式caxbc的解集是x|2x1，则abc_.答案213解析caxb0，x.不等式的解集为x|2x1，abca213.6若不等式mx22mx42x24x对任意x都成立，则实数m的取值范围是_答案(2,2解析原不等式等价于(m2)x22(m2)x40，当m2时，对任意x不等式都成立；当m20时，4(m2)216(m2)0，2m2，综合，得m(2,27若0a0的解集是_答案x|ax解析原不等式即(xa)(x)0，由0a1得a，ax0的解集为x|x，则不等式2x2bxa0的解集是_答案x|2x3解析由题意，知和是一元二次方程ax2bx20的两根且a0，所以解得则不等式2x2bxa0，即2x2
15、2x120，其解集为x|2x1，f(2)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)1.10(3a2)(a1)0，1a.10设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集；(2)若a0，且0xmn0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|1x0，且0xmn，xm0.f(x)m0，即f(x)0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是_答案(，)(，)解析f(x)0的两个解是x11，x23且a0，由f(2x)3或2x1，x.12已知函数f(x)x(1a|x
16、|)，设关于x的不等式f(xa)f(x)的解集为A.若，A，则实数a的取值范围是_答案(，0)解析f(x)x(1a|x|)若不等式f(xa)0时，画出函数yf(x)和yf(xa)的图象大致如图(1)由图(1)可知，当a0时，yf(xa)的图象在yf(x)图象的上边，故a0不符合条件(3)当a0时，画出函数yf(x)和yf(xa)的图象大致如图(2)由图可知，若f(xa)f(x)的解集为A，且A，只需ff即可，则有a2a2 (a0)，整理得a2a10，解得a.又a0恒成立，则b的取值范围是_答案b2解析由f(1x)f(1x)知f(x)图象的对称轴为直线x1，则有1，故a2.由f(x)的图象可知f
17、(x)在1,1上为增函数x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，令b2b20，解得b2.14已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_答案x|7x3解析令x0，x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，x0时，f(x)x24x，故有f(x)再求f(x)5的解，由得0x5；由得5x0，即f(x)5的解集为(5,5)由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)，故f(x2)5的解集为x|7x0.(1)证明函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，即b0，f(x)(经检验满足题意)，f(x).当x(1，)时，f(x)0，得f(12x2)f(x22x4)f(x)是奇函数，f(12x2)f(x22x4)又12x21，x22x4(x1)231，且f(x)在(1，)上为减函数，12x2x22x4，即x22x30，解得3x0的解集为x|3x1