1、阶段检测试题(二)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的化简求值2,9三角函数的定义、图象与性质4,7,8,16,21解三角形6,11,15,18平面向量的运算1,3平面向量基本定理及应用12,13,14平面向量的数量积及应用5,10,17综合问题19,20,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设D为ABC所在平面内一点,且=3,则等于(A)(A)+(B)+(C)+(D)+解析:因为=3,所以=(-),则=+=+(-)=+,故选A.2.若cos -3sin =0,则tan(-)等于(
2、A)(A)- (B)-2(C)(D)2解析:因为cos -3sin =0,可得tan =,所以tan(-)=-.故选A.3.如图,在ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD边上,且AD=3AE,则用向量,表示为(B)(A)=+(B)=-(C)=+(D)=-解析:因为CD=2DB,点E在AD边上,所以=+=+=+(-)=+,所以=-=-=+-=-,故选B.4.角的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan 2等于(D)(A)2(B)-4(C)-(D)-解析:因为角的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,所以tan =2,所以tan 2=-,故选D
3、.5.在ABC中,AC=2AB=2,BAC=120,O是BC的中点,M是AO上一点,且=3,则的值是(A)(A)-(B)-(C)-(D)-解析:建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(-1,),O(0,),M(0,),所以=(1,-),=(-1,),所以=-1-=-.故选A.6.若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin 2A=3asin B,且c=2b,则等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由2bsin 2A=3asin B,利用正弦定理可得,4sin Bsin Acos A=3sin Asin B,由于sin A0,sin B0,可得cos A
4、=,又c=2b,可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-2b2b=2b2,则=.故选C.7.把函数y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为(A)(A)x=-(B)x=-(C)x= (D)x=解析:y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+),再将图象向右平移个单位,得到函数y=sin2(x-)+=sin(2x-),根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知x=-是其图象的一条对称轴方程.故选A.8.函数y=的图象如图,则(A)(A)k=,=,=(B)k=,
5、=,=(C)k=-,=2,=(D)k=-2,=2,=解析:由题图知斜率k=,周期T=4(-)=4,则=,再将(0,1)代入y=2sin(+),得sin =,则可取.故选A.9.已知,为锐角,且tan =,cos(+)=,则cos 2等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由为锐角,且tan =,得sin =,cos =,因为0,0,所以0+,由cos(+)=,得sin(+)=,所以cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =+=,所以cos 2=2cos2-1=2-1=.故选C.10.在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=30,E为CD的中点.若=1,则AB的长为
6、(C)(A)(B)(C)(D)1解析:因为ABCD是平行四边形,E为CD的中点,所以=+,=+=-,所以=(+)(-)=-+=1.又=1,=1ABcos 30=AB,=AB2,所以1-AB2+AB=1,解得AB=或AB=0(舍).故选C.11.已知ABC的面积为,且C=30,BC=2,则AB等于(C)(A)1(B)(C)2(D)2解析:由题意得,SABC=ACBCsin C=AC2=,解得AC=2,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=4+12-222=4,所以AB=2,故选C.12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+,则
7、+的最大值为(A)(A)3(B)2(C)(D)2解析:以B为原点,BC,BA所在直线为x,y轴建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,1),C(2,0),D(2,1).所以=+=(0,-1)+(2,0)=(2,-),所以点P(2,1-).点C到BD的距离d=,所以点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=,代入点P的坐标得4(-1)2+(1-)2=,令+=m得=m-,代入式得4(-1)2+(1-m+)2=,整理得5(-1)2-2(m-2)(-1)+(m-2)2-=0.所以由0得(m-2)21,所以1m3.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.在三角形A
8、BC中,点E,F满足=,=2,若=x+y,则x+y=.解析:在三角形ABC中,点E,F满足=,=2,则=+=+=-+,又=x+y,所以x=-,y=,则x+y=-+=-.答案:-14.如图,在ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=+,则+=.解析:B,H,C共线,设=x,根据题意,=(+)=(+x)=+x(-)=(1-x)+x,所以=(1-x),=x,所以+=.答案:15.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若ABC的面积为S=c,则ab的最小值为.解析:在ABC中,2ccos B=2a+b,由正弦定理可得2sin Ccos B=2s
9、in A+sin B=2sin(B+C)+sin B,即2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B,所以2sin Bcos C+sin B=0,因为sin B0,所以cos C=-,又0C0,0)的部分图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间为.解析:由题图知,A=1,最小正周期T=4(-)=,所以=2.因为点(,1)在函数图象上,所以sin(2+)=1,即+=+2k,k Z.又因为00)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x的图象,求的最小值.解:(1)f(x)=mn-=2acos2x+bsin xcos
10、x-,由f(0)=2a-=,得a=,此时,f(x)=cos 2x+sin 2x,由f(x)=1,得b=1或b=-1,当b=-1时,f(x)=sin(2x+),经检验(,1)不是最高点,故舍去.当b=1时,f(x)=sin(2x+),经检验(,1)为最高点,符合题意.故函数的解析式为f(x)=sin(2x+).(2)函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数y=sin(2x+2+)的图象,横坐标伸长到原来的2倍后,得到函数y=sin(x+2+)的图象,所以2+=2k(kZ),=-+k(kZ),因为0,所以的最小值为.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Acos(x-)(A0,0)相邻两条
11、对称轴相距,且f(0)=1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设,(0,),f(-)=-,f(+)=,求tan(2-2)的值.解:(1)因为函数f(x)=Acos(x-)(A0,0)相邻两条对称轴相距=,所以=2,又f(0)=A=1,所以A=2,所以f(x)=2cos(2x-).(2)由f(-)=2cos2(-)-=2cos(2-)=-2cos 2=-,得cos 2=,由(0,)得2(0,),所以sin 2=,tan 2=.F(+)=2cos2(+)-=2cos 2=,cos 2=,由(0,)得2(0,),所以sin 2=,tan 2=.tan(2-2)=.21.(本小题满分12分)已知函数
12、f(x)=2sin(2x+)(其中01),若点(-,0)是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)试求的值,并求出函数的单调增区间;(2)先列表,再作出函数f(x) 在区间x-,上的图象.解:(1)因为点(-,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,所以-+=k,kZ,所以=-3k+,kZ,因为01,所以当k=0时,可得=,所以f(x)=2sin(x+).令2k-x+2k+,kZ,解得2k-x2k+,kZ,所以函数的单调增区间为2k-,2k+,kZ.(2)由(1)知,f(x)=2sin(x+),x-,列表如下:x+-0x-f(x)-1-2020-1作图如图所示.22.(本小题满分12分)已知向量a
13、=cos(+x),sin(+x),b=(-sin x,sin x),f(x)=ab.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=1,a=2,求三角形ABC面积的最大值.解:(1)由题意可得a=(-sin x,cos x),则f(x)=ab=sin2x+sin xcos x=-cos 2x+sin 2x=sin(2x-)+.所以f(x)的最小正周期T=.当2x-=+2k(kZ),即x=+k(kZ)时,f(x)取最大值.(2)锐角三角形ABC中,因为f()=sin(A-)+=1,所以sin(A-)=,所以A=.因为a2=b2+c2-2bccos A,所以12=b2+c2-bc,所以b2+c2=12+bc2bc,所以bc12.(当且仅当b=c时等号成立)所以S=bcsin A=bc3.所以当三角形ABC为等边三角形时面积最大,最大值是3.
