1、第九节函数模型及其应用1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解
2、函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题以上过程用框图表示如下：小题体验1(2019徐州诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为_立方米解析：设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y即y易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x2055，解得x15.答案：152用18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是_m2.解析：设隔墙长为x m，则面
3、积Sx2x29x22.所以当x时，能围成的面积最大，为 m2.答案：1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以要正确理解题意，选择适当的函数 模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性小题纠偏1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是_答案：y0.1x1 200(0x4 000)2某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产已知该生产
4、线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年解析：各年产量为anf(n)f(n1)n(n1)(2n1)n(n1)(2n1)3n2(nN*)，令3n2150，得1n5.又nN*，所以1n7，故生产期限最长为7年答案：7典例引领某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角
5、坐标系(1)当h1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围解：由题意，最高点为(2h,4)，h1.设抛物线方程为yax(2h)24.(1)当h1时，最高点为(3,4)，方程为ya(x3)24.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a1.即所求抛物线的方程为yx26x5.(2)将点A(2,3)代入yax(2h)24，得ah21.由题意，方程ax(2h)240在区间5,6内有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24，则解得1h.故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是.由题悟法二次函数模型问题的3个注意点(1)构建函数模型时
6、不要忘记考虑函数的定义域；(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题即时应用(2019启东中学高三检测)某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后纯收益为y万元(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)当140a280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(在保证
7、能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)解：(1) 由题意，y(ax)(10.01x)0.4xx2xa，因为ax，所以x.故x的取值范围为0x且xN*.(2)由(1)知y22a，当140a280时，070，当a为偶数时，x70，y取最大值；当a为奇数时，x70或x70，y取最大值，因尽可能少裁员，所以x70，所以当a为偶数时，应裁员 人；当a为奇数时，应裁员人典例引领为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(
8、0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解：(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x10102 1070(万元)，当且仅当6x10，即x5时等号成立所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元由题悟法应用函数yx模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)ax与反比例函数f(x)叠加而成的(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)ax的模型，有
9、时可以将所列函数关系式转化为f(x)ax的形式(3)利用模型f(x)ax求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件即时应用某隧道长2 150 m，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s，根据安全和车流的需要，当0x10时，相邻两车之间保持20 m的距离；当10x20时，相邻两车之间保持m的距离自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s)(1)将y表示为x的函数；(2)求车队通过隧道的时间y的最小值及此时车队的速度(1.73)
10、解：(1)当0x10时，y，当10x20时，y9x18，所以y(2)当x(0,10时，在x10时，ymin378(s)当x(10,20时，y9x18182 18180329.4(s)，当且仅当9x，即x17.3(m/s)时取等号因为17.3(10,20，所以当x17.3(m/s)时，ymin329.4(s)，因为378329.4，所以当车队的速度为17.3 m/s时，车队通过隧道的时间y有最小值329.4 s.典例引领已知某物体的温度(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：m2t 21t(t0，并且m0)(1)如果m2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低
11、于2摄氏度，求m的取值范围解：(1)若m2，则22t21t2，当5时，2t，令2tx(x1)，则x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此时t1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，则0x1，所以m2x22x，因为2x22x22，所以m，因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.由题悟法指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属
12、于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题即时应用候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：vablog3(其中a，b是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog
13、30，即ab0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，vablog31log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，所以1log32，即log33，解得27，即Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位一抓基础，多练小题做到眼疾手快1某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为_元/件时，利润最大解析：设单价为6x，日均销售量为10010x，则日利润y
14、(6x4)(10010x)2010x280x18010(x4)2340(0x10)所以当x4时，ymax340.即单价为10元/件，利润最大答案：102(2018盐城中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系Ra(a为常数)，广告效应为DRA.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为_(用常数a表示)解析：DRAaA，令t(t0)，则At2，所以Datt22a2.所以当ta，即Aa2时，D取得最大值答案：a23某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过
15、3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_km.解析：设出租车行驶x km时，付费y元，则y由y22.6，解得x9.答案：94(2019盐城调研)一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于2 km，那么这批物资全部运到B市，最快需要_ h(不计货车的身长)解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为
16、162时，时间最快则y2 8，当且仅当，即v100时等号成立，ymin8.答案：85(2019南通模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为x，则长为，其面积Sx12x2x22(x3)218，当x3时，S有最大值18，所以隔墙的长度为3.答案：36有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函数f(m)1.06(0.5m1)(元)决定，其中m0，m是大于或等于m的最小整数则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为_元解析：因为m5.5，所以5.56.代入函数解析式，得f(5.5)1.06(
17、0.561)4.24.答案：4.24二保高考，全练题型做到高考达标1某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差_元解析：依题意可设sA(t)20kt，sB(t)mt，又sA(100)sB(100)，所以100k20100m，得km0.2，于是sA(150)sB(150)20150k150m20150(0.2)10，即两种方式电话费相差10元答案：102某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提
18、高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件_元解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y(1 0005x)(100x)801 0005x2500x20 0005(x50)232 500，故当x50时，ymax32 500，此时售价为每件150元答案：1503(2019海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)解析：设2017年后的第n年
19、，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(112%)n200，得1.12n，两边取常用对数，得n3.8，所以n4，所以从2021年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元答案：2021年4(2019启东中学检测)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：由题意设仓库在离车站x千米处，则y1，y2k2x，其中x0，由得，即y1y2x2 8，当且仅当x，即x5时等号成
20、立答案：55将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线yaent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m_.解析：根据题意知e5n，令aaent，即ent，因为e5n，故e15n，比较知t15，m15510.答案：106一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为_海里/小时时，总费用最小解析：设每小时的总费用为y元，则ykv296，又当v10时，k1026，解得k0.06，所以每小时的总
21、费用y0.06v296，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为Wy(0.06v296)0.6v248，当且仅当0.6v，即v40时等号成立故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时答案：407某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为_解析：依题意知：，即x(24y)，所以阴影部分的面积Sxy(24y)y(y224y)(y12)2180.所以当y12时，S有最大值为180.答案：1808某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元销售额x为64万元
22、时，奖励4万元若公司拟定的奖励模型为yalog4xb.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为_(万元)解析：依题意得即解得a2，b2.所以y2log4x2，当y8时，即2log4x28.x1 024(万元)答案：1 0249某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w4，且投入的肥料费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1)求L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入
23、的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)L(x)16x2x643x，x(0,5(2)法一：L(x)643x6767243，当且仅当3(x1)，即x3时取等号故L(x)max43.答：当投入的肥料费用为300元时，该水密桃树获得的利润最大，为4 300元法二：L(x)3，令L(x)0，得x3.故当x(0,3)时，L(x)0，L(x)在(0,3)上单调递增；当x(3,5时，L(x)0，L(x)在(3,5上单调递减故L(x)maxL(3)43.答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为4 300元10(2019镇江调研)如图，政府有一个边长为400
24、 m的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150 m为半径的四分之一圆内都种植了花卉现在中间修建一块长方形的活动广场PQMN，其中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记QBC，长方形活动广场的面积为S.(1)请把S表示成关于的函数关系式；(2)求S的最小值解：(1)过Q作QEBC于E，连结BQ(图略)在RtBQE中，BE150cos ，QE150sin ，0，可得矩形PQMN的PQ400300sin ，QM400300cos ，则SPQQM(400300sin )(400300cos )10 000(43sin )(43cos )，.(2)由(1)
25、知，S10 0001612(sin cos )9sin cos ，设tsin cos sin ，则，可得1t，sin cos ，S10 0005 000.当t时，S取得最小值5 000735 000 m2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60x120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为升，其中k为常数，且60k100.(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为11.5升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值解：(1)由题意知，当x120时，11.5，
26、k100，由9，得x2145x4 5000，45x100.又60x120，60x100.故x的取值范围为60,100(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升，则y20(60x120)令t，则t，y90 000t220kt2090 000220，该函数图象的对称轴为直线t.60k100，.若，即75k100，则当t，即x时，ymin20.若，即60k75，则当t，即x120时，ymin.答：当75k100时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升；当60k75时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升命题点一基本初等函数()1(2017全国卷改编)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则2x
27、,3y,5z的大小关系为_解析：设2x3y5zk1，所以xlog2k，ylog3k，zlog5k.因为2x3y2log2k3log3k0，所以2x3y；因为3y5z3log3k5log5k0，所以3y5z；因为2x5z2log2k5log5k0，所以5z2x.所以5z2x3y.答案：5z2x3y2(2018天津高考改编)已知alog3，b，clog，则a，b，c的大小关系为_解析：cloglog35，alog3，又ylog3x在(0，)上是增函数，log35log3log331，ca1.yx在(，)上是减函数，01，即b1.cab.答案：cab3(2015江苏高考)不等式24的解集为_解析：因
28、为2x2x4，所以222，所以x2x2，即x2x20，所以1x2.答案：(1,2)4(2015全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)0恒成立，所以xln(x)xln(x)0恒成立，所以xln a0恒成立，所以ln a0，即a1.答案：15(2018上海高考)已知常数a0，函数f(x)的图象经过点P，Q，若2pq36pq，则a_.解析：因为函数f(x)的图象经过点P，Q，所以f(p)f(q)1，化简得2pqa2pq.因为2pq36pq，所以a236且a0，所以a6.答案：66(2016江苏高考)已知函数f(x)axbx(a0，b0，a
29、1，b1)(1)设a2，b.求方程f(x)2的根；若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值(2)若0a1，b1，函数g(x)f(x)2有且只有1个零点，求ab的值解：(1)因为a2，b，所以f(x)2x2x.方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，即2x1，解得x0.由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因为f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，所以m对于xR恒成立而f(x)2 4，且4，所以m4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)f(x)2axbx2有且只有1个零点，而g(0)f(
30、0)2a0b020，所以0是函数g(x)的唯一零点因为g(x)axln abxln b，又由0a1，b1知ln a0，ln b0，所以g(x)0有唯一解x0log.令h(x)g(x)，则h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从而对任意xR，h(x)0，所以g(x)h(x)是(，)上的单调增函数于是当x(，x0)时，g(x)g(x0)0；当x(x0，)时，g(x)g(x0)0.因而函数g(x)在(，x0)上是单调减函数，在(x0，)上是单调增函数下证x00.若x00，则x00，于是gg(0)0.又g(loga2)aloga2bloga22aloga220，且函
31、数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0a1，所以loga20.又0，所以x10，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾若x00，同理可得，在和logb2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾因此，x00.于是1，故ln aln b0，所以ab1.7(2016上海高考)已知aR，函数f(x)log2.(1)当a5时，解不等式f(x)0；(2)若关于x的方程f(x)log2(a4)x2a50的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；(3)设a0，若对任意t，函数f(x)在区间t，t1上的最大值与最小值
32、的差不超过1，求a的取值范围解：(1)由log20，得51，解得x(0，)(2)由原方程可得a(a4)x2a5，即(a4)x2(a5)x10.当a4时，x1，经检验，满足题意当a3时，x1x21，经检验，满足题意当a3且a4时，x1，x21，x1x2.若x1是原方程的解，则a0，即a2；若x2是原方程的解，则a0，即a1.由题意知x1，x2只有一个为方程的解，所以或于是满足题意的a(1,2综上，a的取值范围为(1,23,4(3)易知f(x)在(0，)上单调递减，所以函数f(x)在区间t，t1上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t1)f(t)f(t1)log2log21，即at2(a1)t10
33、对任意t恒成立因为a0，所以函数yat2(a1)t1在区间上单调递增，当t时，y有最小值a.由a0，得a.故a的取值范围为.命题点二函数与方程1.(2017江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)其中集合D，则方程f(x)lg x0的解的个数是_解析：由于f(x)0,1)，因此只需考虑1x10的情况，在此范围内，当xQ且xZ时，设x，q，pN*，p2且p，q互质若lg xQ，则由lg x(0,1)，可设lg x，m，nN*，m2且m，n互质，因此10，则10nm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg xQ，故lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相
34、等，只需考虑lg x与每个周期内xD部分的交点画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且x1处(lg x)1，则在x1附近仅有一个交点，因此方程f(x)lg x0的解的个数为8.答案：82(2015江苏高考)已知函数f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为_解析：当0x1时，方程为ln x1，解得x.当1x2时，f(x)g(x)ln x2x2单调递减，值域为(ln 22,1)，方程f(x)g(x)1无解，方程f(x)g(x)1恰有一解当x2时，f(x)g(x)ln xx26单调递增，值域为ln 22，)，方程f
35、(x)g(x)1恰有一解，方程f(x)g(x)1恰有一解综上所述，原方程有4个实根答案：43(2018全国卷改编)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_解析：令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围是1，)答案：1
36、，)4(2018天津高考)已知a0，函数f(x)若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_解析：法一：作出函数f(x)的大致图象如图所示l1是过原点且与抛物线yx22ax2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线yx22axa相切的直线由图可知，当直线yax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意由消去y，整理得x2ax2a0.由a28a0，得a8(a0舍去)由消去y，整理得x2axa0.由a24a0，得a4(a0舍去)综上可得a的取值范围是(4,8)法二：当x0时，由x22axaax，得ax2ax；当x0时，由x22ax2aax，得2ax2ax.令g(x)作
37、出直线ya，y2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为，由图象可知，若f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a2a，解得4a8.答案：(4,8)命题点三函数模型及其应用1(2018浙江高考)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z81时，x_，y_.解析：由题意，得即解得答案：8112(2015江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l
38、2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为 20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为.设在点P处的
39、切线l交x，y轴分别于A，B两点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5,10)时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(10，20)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米3(2012江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标