1、第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【选题明细表】知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,5含参数的线性规划4,8,11目标函数的最值2,3,7,9,10,12,14线性规划的实际应用6,13基础巩固(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域为(B)解析:x0表示的是在y轴右侧的平面区域,x-y+10表示的是直线x-y+1=0及其下方的平面区域,所以不等式组对应的公共区域为B.故选B.2.(2017全国卷)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是(A)(A)-15(B)-9 (C)1 (D)9解析:作出可行域如图所示.可知当目标函数线经过点B时,z=2x+y取得
2、最小值,由可得B(-6,-3).所以zmin=2(-6)-3=-15.故选A.3.导学号 38486108(2017广西模拟)设x,y满足约束条件,则的最大值为(A)(A)(B)2(C)(D)0解析:由已知得到可行域如图,则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率,所以与C连接的直线斜率最大,且C(2,3),所以的最大值为.故选A.4.(2017西宁一模)已知实数x,y满足设m=x+y,若m的最大值为6,则m的最小值为(A)(A)-3(B)-2(C)-1(D)0解析:由约束条件作出可行域如图,联立得A(k,k),联立得B(-2k,k),由图可知,使目标函数取得最大值的最优解为A,取得最小值的最优解
3、为B,则k+k=6,即k=3,所以mmin=-23+3=-3.故选A.5.(2017阜阳二模)不等式|x|+|3y|-60所对应的平面区域的面积为(B)(A)12(B)24(C)36(D)48解析:由已知不等式得到|x|+|3y|-60所对应的平面区域如图阴影部分面积为124=24.故选B.6.(2017河南模拟)某颜料公司生产A,B两种产品,其中每生产一吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨;每生产一吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨.如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/
4、吨,则该颜料公司一天内可获得的最大利润为(A)(A)14 000元 (B)16 000元(C)18 000元 (D)20 000元解析:设生产A产品x吨,B产品y吨,则(x,yN)利润z=300x+200y,画出可行域如图所示,由图可知,目标函数在A点取得最优解,由可得x=40,y=10,即A(40,10),此时,z取得最大值为14 000元.故选A.7.若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为(B)(A)(B)1(C)(D)2解析:在同一直角坐标系中作出函数y=2x的图象及所表示的平面区域,如图阴影部分所示.由于方程组有唯一解(1,2),观察图可知,当m1时,函数y
5、=2x的图象上存在点(x,y)满足约束条件,故m的最大值为1.故选B.8.(2017湖南三模)已知a0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=.解析:先根据约束条件画出可行域,如图所示,设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由得代入直线y=a(x-3)得,a=.答案:9.导学号 38486109(2017临沂一模)已知正数x,y满足则z=4-x()y的最小值为.解析:根据约束条件画出可行域如图所示,因为z=4-x()y化成z=2-2x-y,直线z1=-2x-y过点A(1,2)时,z1最小值是-4,所以z=2-2x-y的最小值是2-4=.
6、答案:能力提升(时间:15分钟)10.(2017汉中二模)变量x,y满足条件则(x-2)2+y2的最小值为(C)(A)(B)(C)5(D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图象知CD的距离最小,此时z最小.由得即C(0,1),此时z=(x-2)2+y2=4+1=5,故选C.11.设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=4时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是(B)(A)-1,1(B)(-,1)(C)(0,1) (D)(-,1) (1,+)解析:作出约束条件所对应的可行域(如图阴影部分所
7、示),变形目标函数可得y=ax-z,其中直线斜率为a,截距为-z,因为z=ax-y取得最小值的最优解仅为点A(4,4),所以直线的斜率a1,即实数a的取值范围为(-,1),故选B.12.(2017吉林二模)已知O是坐标原点,点A(-1,1).若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则的取值范围是.解析:满足约束条件的平面区域如图所示,将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1,y=1时,=-11+11=0,当x=1,y=2时,=-11+12=1,当x=0,y=2时,=-10+12=2,故的取值范围为0,2答案:0,213.(2017上饶一模)甲、乙两企业根据赛事组委会要求为获奖
8、者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件;制作一等奖、二等奖所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异.甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费如表所示,则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元.奖品收费(元/件)工厂一等奖奖品二等奖奖品甲500400乙800600解析:设甲生产一等奖奖品x,二等奖奖品为y,x,yN,则乙生产一等奖奖品3-x,二等奖奖品为6-y,则满足设费用总和为z,则z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y)=-300x-200y+6 000,作出不等式组对应的平面区域如图,平移z=-300x-2
9、00y+6 000,由图象知当直线经过点A时,直线截距最大,此时z最小,由解得A(3,1),组委会定做该工艺品的费用总和最低为z=-3003-200+6 000=4 900.答案:4 90014.导学号 38486110变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.解:由约束条件作出可行域如图阴影部分所示.由解得A(1,).由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z=.所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zmin=kOB=.(2)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到 点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,dmin=1-(-3)=4,dmax=8.故z的取值范围是16,64.
