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河南省十市2023届高三下学期开学考试数学(理)试卷 含答案.doc

1、高三理科数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分,考试时间120分钟2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3.考生作答时,请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效4. 本试卷主要命题范围:高考范围一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合,则MN( )A.B.C.D.2.已知复数是纯虚数,则m( )A.

2、3B.1C1D.33.古代名著九章算术中记载了求“方亭”体积的问题,方亭是指正四棱台今有一个方亭型的水库,该水库的下底面的边长为20km,上底面的边长为40km,若水库的最大蓄水量为,则水库深度(棱台的高)为( )A.10mB.20mC.30mD.40m4.已知抛物线C:,过焦点F的直线与C在第四象限交于M点,则|MF|( )A.3B.4C.5D.65.记为等差数列的前n项和,已知,则( )A.3B.C.2D.6.执行如图所示的程序框图,则输出的k的值为( )A.14B.15C.16D.177.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表:月份代号x1234567在线外卖规模y(百万元)

3、1113182835其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊,但这7个月的平均值为23,若利用回归直线方程来拟合预测,且7月相应于点(7,35)的残差为0.6,则( )A.1.0B.2.0C.3.0D4.08.已知的展开式中的系数为40,则实数m( )A.4B2C.2D.49. 记函数的最小正周期为T,若,且函数f(x)的图象关于点(,3)对称,则当取最小值时,( )A.2B.1C1D.210. 已知曲线在点A处的切线,与x轴交于点B,曲线在点C处的切线与x轴交于点D,若,则的最小值为( )A.B.C.2D.311.已知F是双曲线E的右焦点,O为坐标原点,A是E的右支上一点,若,则E的离心率为(

4、 )A.B.C.D.212.已知函数f(x),g(x)的定义域为R,且,若g(x)为偶函数,则( )A.24B.26C.28D.30二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知向量,若,则实数a_14.写出与圆和都相切的一条直线的方程_15.已知球O的半径为2,四棱锥的顶点均在球O的球面上,当该四棱锥的体积最大时,其高为_16.现取长度为2的线段MN的中点,以为直径作半圆,该半圆的面积为(图1),再取线段的中点,以为直径作半圆,所有半圆的面积之和为(图2),再取线段的中点,以为直径作半圆,所有半圆的面积之和为,以此类推,则_三、解答题:共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

5、,第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17.(12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,(1)证明:为定值;(2)若,求ABC的周长18.(12分)青少年近视问题备受社会各界广泛关注,某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度,对某校学生进行问卷调查,并随机抽取200份问卷,发现其得分(满分:100分)都在区间50,100中,并将数据分组,制成如下频率分布表:分数50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频率0.150.25m0.300.10(1)试估计这200份问卷得分的平均值(同一组中的数据用

6、该组区间的中点值代表);(2)用样本估计总体,用频率估计概率,从该校学生中随机抽取4人深入调查,设X为抽取的4人中得分在70,100的人数,求X的分布列与数学期望19.(12分)在四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,(1)证明:平面PCD平面PBC;(2)若,求二面角的余弦值20.(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点O,对称轴分别为x轴、y轴,且过A(1,0),B(,1)两点(1)求E的方程;(2)设F为椭圆E的一个焦点,M,N为椭圆E上的两动点,且满足,当M,O,N三点不共线时,求MON的面积的最大值21.(12分)已知函数(1)讨论f(x)的单调性;(2)若是f(x)的两个极值点,证明(

7、二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22.选修:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程;(2)若l与C有两个不同公共点,求m的取值范围23.选修45:不等式选讲(10分)已知函数(1)求不等式的解集;(2)设函数,若对任意,都存在,使得成立,求实数a的取值范围高三理科数学参考答案、提示及评分细则1.D因为,所以2.B,由题意可知,解得3.A设水库深度为hkm,由题意,解得,即4.C由题意可知,F的坐标为(

8、1,0),则1,所以,则抛物线C的方程为,设,由,解得,所以5.D设等差数列的公差为d,由,得,解得,则,所以6.B由题知,时,开始出现,故输出的k的值为157.B,所以因为相应于点(7,35)的残差为0.6,则点(7,35.6)在回归直线,即,解得,则8.A 法一:的展开式中的项只有和,因此的系数为,由题意可知,解得法二:因为,若,则k3,r3或k4,r5,所以的系数为,解得9.D由题意可知,由,得,所以,因为,所以,又函数f(x)的图象关于点(,3)对称,所以,所以,当时,取得最小值4,则,故10.C法一:设,则所以直线AB的方程为,令,得x,则,所以,设,则,同理|CD|,由得,所以,则

9、,所以,令,则,则,令,解得,令,解得,所以h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,则,所以的最小值为法二,当且仅当,即时两个“”同时成立,所以|AB|1CD|的最小值为11.A法一:若点A是E的右顶点,则,又,得,这是不可能的不妨设点在第一象限,由题意可知,则,所以,在OAF中,则,则,将点(,)代入E的方程得,整理得,即,所以,则,所以E的离心率为法二:设点在第一象限,由题意可知,|OF|c,则,所以,有中,则,由双曲线的第二定义可知,即,解得,所以,因此E的离心率为12.B因为g(x)为偶函数,所以,由,得,所以f(3x),则f(x)的图象关于直线对称由,得,将其代入g(x

10、),得,则,所以,则,所以,则g(x)的一个周期为8,由,得,由,由,得,由,得,2,则,13.,由,得,解得14.或或(答案不唯一,3个中任填一个即可)易知圆和外切,显然与这两圆都相切设直线与圆和都相切,则且,所以,令,则,解得或t3,当时,解得,此时,直线方程为;当时,解得,当时,b;当时,所以直线方程为或15.四棱锥的底面内接于圆,当底面为正方形时,底面面积最大(论证如下:设底面四边形ABCD的外接圆半径为r,AC与BD的夹角为,则四边形ABCD的面积,当且仅当四边形ABCD是正方形时,四边形ABCD的面积取到最大值)要使四棱锥的体积最大,则从顶点作底面的垂线过球心O,该四棱锥为正四棱锥

11、,设底面的边长为a,四棱锥的高为h,底面外接圆的半径为,由题意可知,即,所以,则,四棱锥的体积为,令,则,由,得,由,得,由x(,4),得,所以在上单调递增,在上单调递减,则当时,f(x)取得极大值,也就是最大值,此时16.易知,在第n个图中,从第2个半圆起,每个半圆的面积为前一个半圆面积的,则,设,由得,所以,故17.(1)证明:由题知所以,则,由正弦定理得,3分由余弦定理得,整理得,故为定值,得证6分(2)解:由及余弦定理可知,又,所以,则9分又,所以,故ABC的周长为12分18.解:(1)由频率分布表可知2分这200份问卷得分的平均值估计为4分(2)从该校学生中随机抽取1人,此人得分在7

12、0,100的概率为,由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5分所以X的分布列为X01234P10分所以,(或E)12分19.(1)证明:连结BD,因为PD底面ABCD,BC平面ABCD,所以1分因为,所以,又,所以,则2分又,PD平面PCD,CD平面PCD,所以BC平面PCD,3分以BC平面PBC,故平面PCD平面PBC4分(2)解:延长AD与过C且平行于AB的直线交于点E,设,则,过C作CFAB,则,所以,联立解得(舍去),或6分以D为坐标原点,以DA,DP所在直线分别为x轴,z轴,以过D点且平行于AB的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,0,0),B,4,0),P

13、(0,0,4),C,所以8分 设平面PAB的一个法向量为,由,得,取,则9分设平面PBC的一个法向量为,由,得取,则10分于是,故二面角PABC的余弦值为12分20.解:(1)设E的方程为,由题意可知,解得2分故E的方程为3分(2)由椭圆的对称性,不妨设F为下焦点,则F(0,1),所,因为,所以直线MN的斜率为1,设直线MN的方程为,4分由,消去y并整理得,则,所以且6分,所以8分原点O到直线MN的距离为,9分则MON的面积为,当且仅当,即,MON的面积大11分显然满足且,所以MON的面积的最大值为12分21.解:(1)易知f(x)的定义域为1分当时,由,得,由,解得(舍去)时,时,所以f(x

14、)在上单调递增,在)上单调递减2分当时,所以f(x)在(0,)上单调递增3分当时,所以f(x)在上单调递增4分当时,由,得,时,时,所以f(x)在(0,)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增5分(2)由(1)可知是方程的两根,则6分将代入上式可得7分要证明,需证,即证,8分因为,所以,只需证明,设,则,只需证明,即证10分令,则,所以g(t)在(1,)上单词递减,可得,所以故12分22.解:(1)因为,且2分所以,则曲线C的普通方程为5分(2)由,化为直角坐标方程为6分由消去y并整理得8分则 解得,故m的取值范围为(2,)10分23.解:(1)2分当时,由,得;当时,恒成立;当时,由,得综上,的解集为5分(2)因为对任意,都存在,使得,所以6分又,等号都能取到8分所以,解得,所以实数a的取值范围是,10分

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