1、四川省宜宾市叙州区第一中学校2021届高三数学上学期开学考试试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则集合与的关系是( )ABCD2已知为虚数单位，若复数，则（ ）A1B2CD3如图，网格纸的正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A6B18C12D364已知等差数列的前15项和，则（ ）A7B15C6D85已知函数是奇函数，则的值为 （ ）ABCD6在正方形ABCD中，E为BC的中点，则（ ）ABCD7某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两
2、个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下： 安全出口编号甲，乙乙，丙丙，丁丁，戊甲，戊疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）A甲B乙C丁D戊8已知，为平面，是直线，若，则“，”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9在中，若，则向量在上的投影是（ ）ABCD10已知点是抛物线上的动点，则的最小值为A3B4C5D611若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为3，则的离心率为（ ）ABC2D12已知都是定义在R上的函数，且且，对于有穷数列，任取正整数，则前项和大于的概率是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小
3、题，每小题5分，共20分。13若二项式（x）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为_14已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为_15圆关于直线的对称圆的方程为_.16已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意实数满足，有以下结论：；为偶函数；数列为等比数列；数列为等差数列.其中正确结论的序号是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）已知等差数列，记为其前项和（），且，.（）求该等差数列的通项公式；（）若等比数列满足
4、，求数列的前项和.18（12分）2019年10月17日是全国第五个“扶贫日”，在“扶贫日”到来之际，某地开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，调查基层干部走访贫困户数量A镇有基层干部50人，B镇有基层干部80人，C镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户；按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：，绘制成如下频率分布直方图（）求这40人中有多少人来自B镇，并估算这40人平均走访多少贫困户？（）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X，求X的数学期望
5、19（12分）如图，在长方体中，与平面及平面所成角分别为，分别为与的中点，且.（）求证：平面；（）求二面角的平面角的正弦值.20（12分）在直角坐标系中，曲线：与直线：交于，两点.（）若的面积为，求；（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求以线段为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.21（12分）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）已知点，点在曲线：上（）求点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程；（）求的最小值23
6、选修45：不等式选讲（10分）已知函数（）当时，求不等式的解集；（）若时，恒成立，求的最小值2020年秋四川省叙州区第一中学高三开学考试理科数学参考答案1D2D3A4C5C6A7C8C9B10B11C12A13112014151617（）设等差数列的公差为，则，由题意，得，解得，的通项公式，.（）设等比数列的公比为，由（）得，或，当时，当时，.18（1）A，B，C三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽的方法选40人，则B镇应选取（人）40名基层干部走访贫困户的平均数量x为 用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为（户）（2）由频率分布直方图得，从三镇的所
7、有基层干部中随机挑选1人，其工作出色的概率为 易知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且，则，所以X的分布列为X43210P19（1）证明：在长方体中，因为，所以为的中位线， 所以MNCD， 又因为CD平面，所以MN平面 （2）解：在长方体中，因为CD平面，所以为与平面所成的角，即=，又因为平面，所以为与平面所成的角，即，所以，=，如图2，分别以AB，AD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A(0，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，B(2，0，0)，在正方形ABCD中，BDAC， 是平面的法向量，.设平面的法向量为， 由，所以有 取z=1，得平面的一个法向量为.设二面角的
8、大小为， 则. 20解：（1）将代入，得，设，则，从而 .因为到的距离为，所以的面积 ，解得.（2）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，.从而 .当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以点符合题意.故以线段为直径的圆的方程为（或）21（1）当时，令，所以此时在区间递增，递减；当时，令，所以此时在区间递增，递减；（2）令， ，令，令，显然在时单调递增，；当时，在上递增，所以，则，在上递增，此时符合题意；当时，此时在上存在，使在上值为负，此时，在上递减，此时，在上递减，此时不符合题意；综上：22（1）（2）23（）法一：当，即解不等式时，作出图象：结合图象及的单调性，又所以的解集为法二：等价于或或解得或或，即（）方法一：由得由，所以，画出及的图象根据图象性质可得，综上故的最小值为方法二：，要使得恒成立，即则必有最小值因此在必单调递减或为常函数，在必单调递增或为常函数即且即又，故在上是增函数，即解恒成立综上故的最小值为