1、安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期模拟考试题（四）理（含解析）一、选择题1.已知全集是不大于5的自然数集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合，根据补集和交集定义，即可求解.【详解】，则.故选:B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.在复平面内，复数在复平面内对应的点分别为，则复数的共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出复数，根据复数的除法运算法则，求出实部、虚部即可求解.【详解】由题知，所以，其共轭复数为，故虚部为.故选:B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数代数运算，以及共轭复数，属于基础题.3.
2、周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ）A. 一尺五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B【解析】【分析】从冬至日起各节气日影长设为，可得为等差数列，根据已知结合前项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为，是其前项和，则尺，所以尺，由题知，所以，所以公差，所以尺。故选:B.【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前项和与通项公式的基本量运
3、算，属于中档题.4.执行如图所示程序框图输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据循环体的运算，可得，应用裂项相消法，即可求出结论.【详解】由程序框图知，输出，故选:D.【点睛】本题考查循环结构程序框图运行结果，注意裂项相消法求和的运用，属于中档题.5.已知函数的定义域为，满足：对任意，都有，对任意且，都有，则函数叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知可得判断“成功函数”为定义域上单调递增的奇函数，逐项判断，即可得出结论.【详解】由任意，都有知是奇函数，由任意且，都有，知是增函数，因为在定义域上是奇
4、函数，但在定义域上不是单增函数，故A错；因为是奇函数，所以在定义域上是增函数，故B正确；因为在定义域是减函数，故C错；因为在上单调递减，故D错.故选:B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，熟练掌握初等函数单调性，以及应用导数法判断函数的单调性，属于中档题.6.某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表：0.0414.8410.241.12.12.33.34.2若依据表中数据画出散点图，则样本点都在曲线附近波动.但由于某种原因表中一个值被污损，将方程作为回归方程，则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为（ ）A. B. 1.69C. 1.96D. 4.32【答
5、案】C【解析】【分析】令，根据线性回归中心点在回归直线上，求出，得出，即可求解.【详解】设缺失的数据为，则样本数据如下表所示：0.212.23.21.12.12.33.34.2其回归直线方程为，由表中数据可得，由线性回归方程得，即，解得.故选:C.【点睛】本题考查线性回归方程的应用，换元是解题的关键，掌握回归中心点在线性回归直线上，考查计算求解能力，属于中档题.7.已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的最大值为（ ）A. 40B. 9C. 8D. 【答案】D【解析】【分析】恒成立，只需，根据几何意义，结合可行域图形，求出其最小值，即为的最大值.【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，设,表示可
6、行域内点与点距离的平方减去1，由题知，过作直线的垂线，由图可知，垂足在线段上，因为点到直线的的距离，所以.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查用数形结合方法求非线性目标函数的最值，解题关键要能判断出目标函数的几何意义，属于中档题.8.已知是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是线段的中点，是坐标原点，若周长为（为双曲线的半焦距），则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】从周长为，是线段的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中与关系，求出，用余弦定理求出关系，即可求解.【详解】连接，因为是线段的中点，由三角形中位线
7、定理知，由双曲线定义知，因为周长为，所以，解得，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.9.某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原几何体的直观图，是由四棱锥和四分之一圆锥组成几何体，即可求解.【详解】由三视图知，该三视图对应的几何体为如图所示，由四棱锥和一个底面半径为4高为3的四分之一圆锥组成的组合体，四棱锥可以看成是以两直角边分别为的直角三角形为底面，高为4的棱柱截去一个体积为棱
8、柱体积的棱锥得到的，故该几何体的体积为.故选:A【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，还原出几何体的直观图是解题的关键，属于中档题.10.在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取BC的中点为，分别是正三角形ABC的中心和正方形BCDE的中心，根据已知条件可得平面ABC，AM平面BCDE，过分别做的平行线交于，则为球心，求出，即可求出外接球的半径，即可求解.【详解】取BC的中点为，是正三角形ABC的中心,为正方形BCDE的中心，连接,则有，平面平面，平面平面=，平面ABC，AM平面BCDE，过分别
9、做，则平面ABC，平面BCDE，交于，则为球心，所以四边形为矩形，所以外接球的体积为.故选:D.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，解题的关键是根据球的性质确定球心，考查空间想象能力，属于中档题.11.在中，曲线上动点满足，若曲线与直线围成封闭区域的面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，则在直线上且有，得到点在直线上，由已知解，求出，进而求出，再解，即可求出结论.【详解】设，则在直线上，且，由知，所以点在直线上，故曲线与直线围成封闭区域就是，由得，所以，解得，所以，由余弦定理知，解得，由正弦定理得，所以.故选:A.【点睛】本题以向量为背景考查解三角形，
10、考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，解题的关键是由向量共线的充要条件确定动点的轨迹，属于中档题.12.若（）恰有1个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令得到，问题转化为函数的图象与直线在上恰有1个交点，用导数法作出的图像，根据图像求出直线与函数只有一个交点满足的条件，即可求出结论.【详解】由恰有1个零点，方程恰有1个解，即方程恰有1个解，即函数的图象与直线在上恰有1个交点，因为，当时，当时，所以在区间上都是减函数，在是增函数，当时，取极小值，直线过点，斜率为，显然是函数的图象与直线的一个交点，这两个图象不能有其他交点，作出函数与的图象，由图可知
11、，当时，直线应在函数（）的图象上方，设，即恒成立，因为，只需为减函数，所以，即恒成立，设，设，则，当且仅当，即，即，即时，所以，当时，直线与相切，也适合，故满足题意的取值范围为.故选:B.【点睛】本题考查函数零点问题，等价转化为直线与函数交点个数求参数，应用导数求函数的单调性、极值最值、函数图像，构造函数是解题的关键，属于难题.二、填空题13.已知展开式各项系数和为128，则展开式中含项的系数为_.【答案】【解析】【分析】用赋值法令，求出，根据项的结构特征，即可求出其系数.【详解】令得，解得，将看成7个相乘，要得到含项，则这7个因式中2个因式取，余下5个因式中3个取，余下2个因式取2，所以含项
12、的系数为.故答案为:【点睛】本题考查赋值法求系数和，巧妙用组合思想求项的系数，减少计算量，属于中档题.14.在梯形中，,与相交于点，则_【答案】 【解析】因为与的夹角为钝角，,所以在方向上的投影为，在直角中，所以，所以15.已知函数图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为，则在区间的值域为_.【答案】【解析】【分析】由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，求出的解析式，再利用二倍角公式、降幂公式、以及辅助角公式，将化为正弦型函数，即可求出结论.【详解】由题知，所以，解得，由，解得，所以，因为，所以，所以，所以，所以在区间的值域为.故答案为:【点睛】本题考查正弦函数图像和性质，三角
13、恒等变换化，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.16.已知直线与抛物线自下到上交于，是抛物线准线与直线的交点，是抛物线的焦点，若，则以为直径的圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】由已知，直线过焦点，结合抛物线的定义求出直线的倾斜角，直线与抛物线联立，求出相交弦的中点坐标以及弦长，即可求解.【详解】因为，所以焦点在直线上，且，过作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线定义知，所以，所以，即直线的倾斜角为，所以直线方程为，代入整理得，设，线段的中点坐标为，则，所以，所以以为直径的圆的方程为.故答案为:.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，应用抛物线定义确定直线的倾斜角是解题的关键，熟练掌握根与系
14、数关系设而不求方法求弦长，属于中档题.三、解答题17.已知数列前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由前项和与关系，得到，将看着一个整体，根据递推关系可用待定系数法，配凑出+1为等比数列，即可求出的通项公式；（2）根据的通项公式，分组求和，分别用错位相减法和等差数列前和公式求和，即可求解.【详解】（1）由题知=，即，即，数列是首项为3，公比为3的等比数列，；（2）由（1）知，设， -得，.【点睛】本题考查数列的通项公式求法，注意构造辅助数列转化为等差、等比数列，考查求前项和，考查计算求解能力，属于中档题.18.中国在欧洲的某孔子学院为了
15、让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在50，60）内的频数为3.（1）求的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的名参赛人员中，成绩在80，90）和90，100女士人数都为2人，现从成绩在80，90）和90，100的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）40，73.75（2）分布列见解析，【解析】【分
16、析】（1）由频率和为1，求出50，60）的频率，频数为3，即可求出，由直方图结合平均数公式，即可求出平均数；（2）分别求出抽取的人员中成绩在80，90），90，100的人数，的可能取值为0，1，2，3，4，按求古典概型概率方法，求出随机变量的各个值的概率，列出分布列，即可求出数学期望.【详解】（1）由频率分布直方图知，成绩在频率为，成绩在50，60）内频数为3，抽取的样本容量，参赛人员平均成绩为.（2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在80，90）的人数为0.01251040=5，成绩在90，100的人数为0.01001040=4，的可能取值为0，1，2，3，4，；，.的分布列为01234
17、.【点睛】本题考查补全频率分布直方图，以及应用直方图求平均数，考查随机变量的分布列和期望，属于中档题.19.在多面体中，为菱形，为正三角形.（1）求证：；（2）若平面平面，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，由已知可得，进而有平面，即可证明结论；（2）由已知可得平面，建立空间直角坐标系，求出坐标以及平面的法向量坐标，根据空间向量的线面角公式，即可求解.【详解】（1）取的中点为，连接，为正三角形，为菱形，为正三角形，平面，.（2）由（1）知，平面平面，平面，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，直线与平面所成的角，则，则
18、，设平面的法向量为，则，取，则，直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，注意垂直隐含条件的挖掘，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.20.已知是椭圆的左、右焦点，离心率为，是平面内两点，满足，线段的中点在椭圆上，周长为12.（1）求椭圆的方程；（2）若与圆相切的直线与椭圆交于，求（其中为坐标原点）的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得是线段的中点，再由是线段的中点，结合椭圆定义可得周为，再由离心率，求出，即可求出椭圆标准方程.（2）先考虑直线斜率不存在，求出，直线斜率存在，设直线方程，与单位圆相切求出关系，直线方程与椭圆方程联
19、立，消去，求出横坐标乘积，进而求出纵坐标乘积，结合关系，求出关于目标函数，根据函数的特点，求出其范围.【详解】（1）连接，是线段中点，是线段的中点，由椭圆的定义知，周长为，由离心率为知，解得，椭圆的方程为.()（2）当直线的斜率不存在时，直线，代入椭圆方程解得，此时，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切知，将直线方程代入椭圆方程整理得，设，则，综上所述，的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆定义在解题中的应用，考查直线与椭圆的位置关系，以及利用不等式性质求范围，考查计算求解能力，属于较难题.21.已知.（1）若函数在点的切线与圆相切，求实数的值.（2）已知，当时，
20、求实数的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）求导求出，求出切线方程，利用与单位圆相切，即可求出；（2）构造函数，求恒成立时的范围，注意，所以递增满足题意，若单调递减，不满足题意，转化为求函数单调性，即可求出结论.【详解】（1）由题知，在点的切线斜率为，在点的切线方程为，即，由题知，解得.（2）设，设，当时，即在上是增函数，当时，则当时，函数在上是增函数，当时，满足题意，当时，在上是增函数，趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，存在上，使，当时，函数在是减函数，当时，不满足题意，综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点
21、、不等式问题，考查推理和计算能力，属于较难题.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过点，倾斜角为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线的参数方程的标准形式；（2）已知直线交曲线于两点，求.【答案】（1），（是参数）（2）【解析】【分析】（1）将曲线用二倍角余弦整理，代入，即可求出其直角坐标方程；根据条件，写出直线参数方程的标准形式；（2）将直线参数方程的标准形式代入椭圆方程，利用直线参数的几何意义，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）由得，将代入上式整理得，曲线的直角坐标方程为，由题知直线的标准参
22、数方程为（是参数）.（2）设直线与曲线交点对应的参数分别为，将直线的标准参数方程为（是参数）代入曲线方程整理得，.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查应用直线参数标准方程的几何意义求相交弦长，考查计算求解能力，属于中档题.23.（1）已知函数，当时，恒成立，求实数的最小值.（2）已知正实数满足，求的最小值.【答案】（1）8（2）8【解析】【分析】（1）当时，恒成立，只需，分类讨论去绝对值，即可求解；（2）由已知得，利用“1”的变换，结合基本不等式转为求的最小值.【详解】（1），在区间上是减函数，在区间是增函数，在区间上的最大值为8，实数的最小值为8.（2），当且仅当且，即时，取最小值8.的最小值为8.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值求最大值，考查利用基本不等式求最小值，要注意条件等式的合理运用，属于中档题.
