1、榆林市2019届高考模拟第一次测试数学（理科）试题第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则其虚部为（ ）A. B. C. -2 D. 2【答案】D【解析】【分析】先化简复数z，即可得出虚部.【详解】,故选D.【点睛】本道题考查了复数的四则运算，基础题.2.若集合，则中元素的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法，得到集合B，然后结合集合交集运算性质，即可。【详解】化简B集合，得到，因而，故选A。【点睛】本道题考查了集合的交集运算性质，较容易。3.函数的图像的大致形状是（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】C【解析】由题意得，又由可得函数图象选B。4.已知向量满足，则（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意明确，进而求出的值.【详解】根据题意得，（）2222又（）22+221+4+2621，（）21+414，2故选：A【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.5.若都是锐角，且，则 （ ）A.
3、B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为都是锐角，且，所以又，所以，所以， ，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。6.若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 6【答案】C【解析】试题分析：本题主要考察线性约束条件下的最值问题，的最大值就是直线纵截距的最小值，必在可行域的端点（即围成可行域的几条直线的交点）处取得，由不等式组可知端点为，直线过时所对应的纵截距依次为，所以的最大值为，故本题的正确选项为C.考点：线性约束条件.【方法点睛】求解关于满足线性约束条件的最值
4、时，可以现根据约束条件在直角坐标系中画出可行域，再将所求函数写作一次函数（直线）的形式，将直线在可行域中进行平行（旋转），然后确定纵截距（斜率）的最值，由这些最值便可确定待求量的最值；也可直接求得可行域边界处的端点，即两条直线的交点，而直线的纵截距（斜率）的最值必定会在这些端点处取得，所以将这些端点值代入直线方程便可求得待求量的值，从中选择最大（小）值即可.7.九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术时，发现当圆内接正多边行的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率
5、，如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的为（ ）（，）A. 6 B. 12 C. 24 D. 48【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环【详解】模拟执行程序，可得：n3，S3sin120，不满足条件S3，执行循环体，n6，S6sin60，不满足条件S3，执行循环体，n12，S12sin303，不满足条件S3，执行循环体，n24，S24sin15120.25883.1056，满足条件S3，退出循环，输出n的值为24故选：C【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题8.如图所示，在正方体中，若
6、点为的中点，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题结合空间坐标系，计算各点坐标，结合空间向量数量积，计算夹角余弦值，即可。【详解】以AD为x轴，AB为y轴，为z轴，建立空间坐标系，则A（0,0，0），F（1,2,2），E（1,2,0），则，故选B。【点睛】本道题考查了空间向量数量积计算公式，难度中等。9.在等比数列中，若，且前项和，则数列的项数等于（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的前项和公式，通项公式列方程组解得首项、公比与项数，即可判断选择.【详解】在等比数列中，易得，又，两式联
7、立解得或当时，解得，又，所以 ，解得同理当时，由，解得，由，解得综上，正整数，故选B【点睛】等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论10.已知函数是定义域为上的偶函数，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为偶函数在上是减函数，所以在上是增函数，由题意知:不等式等价于,即,即或,解得或11.函数，若对任意实数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】易知函数为奇函数，且在上单调递增，因为，所以，则，即.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用.解决本题的关键在于联想到要判定函数的单调性和奇偶
8、性，进而利用性质进行比较大小，这是一种常见题型，要多总结，多积累.12.已知分别为双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】本道题目关键利用，建立等式，计算离心率，即可。【详解】设，结合，所以所以，而，解得，结合 ,所以，所以，建立等式，得到所以离心率，故选A.【点睛】本道题目考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大。第卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.我国南宋著名数学家秦久韶发现了由三角形三边长求三角形的面积“三斜求积”公式：设的三个内角所对的边分别为，则的面积，若，则用“三斜求积”公式
9、求得的面积为_【答案】【解析】由正弦定理得，由得，则由得，则 .14.若函数在上不单调，则的取值范围是_【答案】0【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以15.已知不等式，对于任意的恒成立，则的最大值_【答案】【解析】【分析】本道题目通过移项，构造新函数，计算导数，得到新函数的最小值，即可。【详解】移项，得到，构造函数，计算导函数得到，发现，当 递减，当，递增，故当取到最小值为，故的最大值为【点睛】本题考查了导数与原函数单调性的关系，难度较大。16.已知为的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则当与的面积之比为时，实数的值为
10、_.【答案】或【解析】【分析】利用重心定理，把向量用表示，再利用，共线，最后利用面积列方程求得变量间的关系，先求最后可得【详解】解：设，三点共线可设， ，为的重心， ， ，两式相乘得 ，代入即解得或即或故答案为：或【点睛】此题考查了三点共线与向量的关系， 重心定理，三角形面积等，难度适中 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知在数列中，前项和为，若 .（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求证：.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）结合题意，构造数列，再利用，计算通项，即可。（2）利用裂项相消法，计算，即可证明该不等式。【详解】（1）在数列中
11、，且，式式得： ，数列以为首项，公差为1的等差数列，当时，当时，不满足上式，数列的通项公式为（2）由（1）知，则数列的前项和当时，当时，满足在中，.【点睛】本道题考查了构造等差数列和裂项相消法进行求和，难度较大。18.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理处理，即可得出答案。（2）展开，结合，和第一问计算出的角B的大小，即可得出A的值，结合正弦定理，代入，即可。【详解】（1）角的对边分别为，且，由正弦定理得：， ，.（2），由正弦定理得：，.【点睛】本道题考查了正余弦定理，难度较大。19.已知椭圆的离心率，左顶点
12、到直线的距离，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：到直线的距离为定值.【答案】（1）.（2）见解析【解析】【分析】（1）结合离心率，计算出a,b,c之间的关系，利用点到直线距离，计算a,b值，即可。（2）分直线AB斜率存在与不存在讨论，结合直线方程和椭圆方程,并利用,计算O到直线距离,即可.【详解】（1）椭圆的离心率，即，椭圆的左顶点到直线，即到的距离，把代入得：，解得：，椭圆的方程为.（2）设，当直线的斜率不存在时，由椭圆的性质可得：，当直线的斜率不存在时，以为直径的圆经过坐标原点，即，也就是，又点在椭圆上， ，以为直径的圆经过坐标
13、原点，且平行于轴，解得：此时点到直线的距离当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立有，消去，得，同理：，消去，得，即，为直径的圆过坐标原点，所以，点到直线的距离综上所述，点到直线的距离为定值.【点睛】本道题考查了椭圆性质和直线与椭圆位置关系,难度较大.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，连接，其中，.（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】试题分析：.（1）取中点，易证面，所以，（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，设平面的法向量=，即.试题解析：（1）证明：取中点，连，面，又面，（2），是等腰三角形，是等边三角形，.，以
14、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，从而得，设平面的法向量则，即，设平面的法向量，由，得，设二面角为，点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21.已知（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）函数有几个零点？【答案】（1） (2)见解析【解析】【分析】（1）将解析式代入中，结合导数，将问题转化成在上恒成立问题，计算a的范围，即可。（2）将解析式代入中，计算导数，判定原函数单调性，计算极值，即可得出答案。【详解】（
15、1），在区间上单调递减， 在上恒成立，在上恒成立，即在上恒成立，在上单调递减，（2），函数的定义域为，令，解得：，当时，当时，当时，当时，在上是单调递增，在上是单调递减，在上是单调递增，在上单调递减，当时，函数没有零点，当时，函数有四个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点.【点睛】本道题考查了利用导数研究函数单调性，不等式恒成立问题，变量分离是常用的处理策略，采用分类讨论研究函数零点问题，综合性强，难度较大.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），设直线的极坐标方程为.（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并指出其曲线是什么曲线；（2）
16、设直线与轴的交点为为曲线上一动点，求的最大值.【答案】（1）曲线的普通方程为：，曲线是以圆心坐标为，半径为的圆；（2）【解析】【分析】（1）利用，消去参数得到普通方程，即可。（2）利用，得到直线的普通方程，即可得到P的坐标，结合圆的性质，即可。【详解】（1）曲线的参数方程为（为整数）由（2）得得（3）（1）式平方+（2）式平方得：曲线的普通方程为：，曲线是以圆心坐标为，半径为的圆；（2）直线的极坐标方程为且，直线的方程为当直线 与轴交点为，即当时，点坐标曲线的圆心到点的距离为，为曲线上一动点，且曲线的半径为1，的最大值为.【点睛】本道题考查了参数方程、极坐标方程向普通方程转化，难度中等。23.选修4-5：不等式选讲设函数（）.（1）画出函数的图像；（2）若不等式的解集为，求的值.【答案】(1)见解析；(2)2【解析】【分析】（1）针对x取不同范围，去掉绝对值，得到的解析式，绘制图像，即可。（2）结合图像，得到的值，代入，即可。【详解】（1）当时，当时，当时，画出函数的图像如图：（2）的解集为，且由（1）中解图知：在中单调递减，在中单调递增，当时，若不等式的解集为，则的值为2.【点睛】本道题考查了含绝对值函数的图像绘制和图像性质，难度中等。
