1、20192020学年第一学期期中试卷高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置1.关于x的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简一元二次不等式，求出对应方程的根，结合二次函数图象，写出不等式解即可.【详解】由原不等式可得，即，解得，故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于容易题.2.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据成立推不出，成立能推出
2、，即可求解.【详解】因为，所以，而，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，属于中档题.3.若，则函数的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】由可得，利用均值不等式即可求解.【详解】因为，所以，故，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值为6.故选：D【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，属于中档题.4.中心在原点，焦距为2，离心率为的椭圆标准方程为（ ）A. 或B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据焦距可知，由离心率可知，即可求出，结合椭圆的焦点位置可求出椭圆的方程.【详解】由题意焦距为2，离心率为，可得
3、，所以，椭圆焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以椭圆方程或.故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于容易题.5.若椭圆的焦距是2，则实数m的值是（ ）A. 5B. 6C. 5或3D. 【答案】C【解析】【分析】根据焦距可知，结合椭圆中即可求解.【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，若焦点在轴上，则，得，若焦点在轴上，则，得，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，属于容易题.6.设等比数列的前n项和为，若，则的值为（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的前n项和公式，可知，由可解的，代入即可求解.【详解】在等比数列中，所以，解得，
4、因为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，前n项和公式，属于中档题.7.已知数列中，则值是（ ）A. B. C. -3D. 【答案】B【解析】【分析】写出数列的前几项，可发现数列有周期，周期为3，则.【详解】因为，所以，可知数列的取值有周期，周期为3，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，属于容易题.8.设，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是线段的中点，若（O为坐标原点），则的值是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】分析】由题意知是的中位线，可知，再根据椭圆的定义可得的值.【详解】由题意知是的中位线，又，故选：C【点睛】本题主要
5、考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.9.在等差数列中，已知首项，公差，若，则k的值为（ ）A. 24B. 23C. 22D. 21【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，可将转化为，进而求出值.【详解】数列为等差数列，且首项，公差，又，故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，属于中档题.10.已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，由，即椭圆离心率的取值范围为选B点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求出a，b，c的值
6、，由直接求(2)列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解11.已知数列满足，则的最小值为（ ）A. B. C. 10D. 11【答案】D【解析】【分析】根据累加法可求出数列的通项公式，再利用均值不等式（或对勾函数）求最小值.【详解】因为，所以，累加得：，所以，故，由于，当且仅当，即，由于，所以当时，最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查了累加法求数列的通项公式，均值不等式，属于中档题.12.设等差数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n都成立，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令,由，当时，取得最小值，
7、由此能求出结果.【详解】,令，则，当时，取最小值，即，因为不等式对任意正整数n都成立，当，所以，当时，综上.故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，二次函数的单调性，分类讨论，不等式的性质，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案直接填写在答题卡相应的位置13.不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】化简分式不等式为，转化为，根据二次不等式求解即可.【详解】由可得，即，解得，所以不等式解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查了分式不等式，二次不等式的解法，属于中档题.14.在等比数列中，则的值是_【答案】5【解析】【分析】根据等比数列的性质可知，根据
8、完全平方和公式即可求解.【详解】因为在等比数列中，,所以，又，所以故答案为：5【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，考查了运算能力，属于容易题.15.已知椭圆的左、右焦点为，点P为椭圆上动点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求，利用二次函数求值域即可.【详解】设为椭圆上任意一点,则，所以，因为P在椭圆上，所以，所以，即的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题.16.已知实数x，y满足，且，则最小值为_【答案】3【解析】【分析】变形，则，利用基本不等式，建立关于的一元二次不等式，求解即可.【详
9、解】因为，所以，当且仅当时，取等号.上式可化为，解得，所以的最小值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查了均值不等式，一元二次不等式，考查了变形推理运算能力，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区城内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知关于x的不等式的解集为；关于x的不等式的解集为N（1）求实数m的取值集合M；（2）对（1）中的M，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，当时，由求解即可（2）由题意可知为的真子集，结合集合的关系即可建立不等式求解.【详解】（1）当时，不等式恒成立当时，解得综上
10、，（2）因为由是的充分不必要条件，得为的真子集，所以，得【点睛】本题主要考查了二次不等式恒成立，子集，充分不必要条件，分类讨论，属于中档题.18.已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，恰为等比数列的前三项（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列，等比数列基本量计算即可求出通项公式（2）由可知数列利用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意，得，由，得，所以由，得公比，所以（2）因为，所以得-得所以从而【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列基本量的运算，错位相减法求数列的和，属于中档题.19.如图，
11、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点，离心率为，点B，C分别是椭圆E的左、右顶点，点P是直线上的一个动点（与x轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M（1）求椭圆E的方程；（2）当直线PB过椭圆E的短轴顶点时，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆过点及离心率联立方程求解即可（2）先由题意得直线PB方程，求出P点坐标，即可写出直线PC方程，联立椭圆，求出M点坐标，即可得到弦长及高，写出三角形面积即可.【详解】（1）由题意，因为，得，所以椭圆E的方程为（2）直线PB的方程为，得所以直线PC的方程，联立方程组，化简得，解得，得点又点M到直线PB的距离，所以【点睛】本题主要考查
12、了椭圆的标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的交点，属于中档题.20.某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备问哪种方案处理较为合理？请说明理由【答案】（1）（万元）；（2）第4年该设备开始盈利；（3）选择方案处理较
13、为合理，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意总收入去掉每年的维修费之和及购置费用即为盈利，写出函数关系即可（2）由（1），令，解一元二次不等式求解即可（3）分别计算两种方案，根据均值不等式及二次函数求最值，比较大小即可.【详解】（1）由题意使用x年的维修，保养费用为（万元）所以盈利总额（万元）（2）由，得，即，解得，由，得答：第4年该设备开始盈利（3）方案年平均盈利，当且仅当，即时取“=”，所以方案总利润为（万元），方案，时，所以方案总利润为（万元），答：选择方案处理较为合理【点睛】本题主要考查了函数在实际问题的应用，涉及二次不等式，二次函数，均值不等式，属于中档题.21.如图，在平面直角
14、坐标系xOy中，分别是椭圆的左，右焦点，点P是椭圆E上一点，满足轴，（1）求椭圆E的离心率；（2）过点的直线l与椭圆E交于两点A，B，若在椭圆B上存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，求直线l的斜率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，建立的方程即可求解（2）斜率不存在时不符合题意，斜率存在时利用平行四边形的对角线互相平分，求出AB 中点，可得出Q坐标，利用点在椭圆上上求出斜率.【详解】（1）由轴，得，所以因为，所以，即，得，解得或（舍），所以（2）因为，所以，椭圆E方程可化为若直线l斜率不存在，直线，与椭圆E只有一个交点，不成立（法一）设直线l方程为，AB中点，因为直线l过点
15、，所以，联立方程组，得，得由韦达定理，得，即点因为平行四边形OAQB，所以点，因为点Q在椭圆上，所以，化简得由，得，解得（法二）设直线l的方程为，AB中点，由，得，得由韦达定理，得，即点因为平行四边形OAQB，所以点，因为点Q在椭圆上，所以，化简得，解得【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，对运算能力要求较高，属于难题.22.已知数列的首项为，设其前n项和为，且对有，（1）设，求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式;（3）是否存在正整数m，k，使得，成等差数列？若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）；（2）存在，或，【解析】【分析】（1）根据与的关系可得，由递推关系知为等差数列，即可求出通项公式（2）由（1）知，可得，根据累乘法即可求出（3）由裂项相消法求出，假设存在正整数m，k，使，成等差数列，根据等差中项化简计算可得，存在正整数m，k使，成等差数列.【详解】（1）因为，所以时，得当时，-得，因为，所以当时，有所以数列为等差数列（2）因为，公差，得所以，得所以,得，即（3）因为，成等差数列，所以，即，化简得因为，所以时，（舍去）；时，；时，综上，存在，或，【点睛】本题主要考查了数列前n项和与项的关系，等差数列的定义，累乘法求通项公式，裂项相消法求和，等差中项，属于难题.