1、课时跟踪检测（三十七）点、线、面之间的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：2(2018高邮期中)给出以下说法：不共面的四点中，任意三点不共线；有三个不同公共点的两个平面重合；没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面其中正确结论的序号是_解析：在中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面，故正确；在
2、中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故错误；在中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故错误；在中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故错误；在中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可以确定两个平面，故正确答案：3若平面，相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个答案：1或44如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与
3、CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条答案：55设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A
4、，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件答案：充分不必要2(2019常州一中检测)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有_条解析：EF是OB1C1的中位线，EFB1C1.B1C1BCADA1D1，与EF平行的棱共有4条答案：43下列命题中，真命题的
5、个数为_如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若M，M，l，则Ml.解析：根据公理3，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为2.答案：24已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直，则直线n与平面的关系是_解析：因为l，且l与n异面，所以n，又因为m，nm，所以n.答案：n5如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别
6、是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是_(填序号)EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上解析：连结EH，FG，如图所示依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E，F，G，H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上答案：6如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方
7、体中互为异面直线的对数为_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对答案：37如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案：8(2019通州月考)如图所示，在正方体A
8、BCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1.解析：HNDB，FHD1D，平面FHN平面B1BDD1.点M在四边形EFGH及其内部运动，故MFH.答案：M在线段FH上9(2018南师附中检测)如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1，如图因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1.又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1
9、为平行四边形，所以B1E綊C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形10如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，BCAD，BEFA，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？说明理由解：(1)证明：因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GHAD，GHAD.又BCAD，BCAD，所以GH綊BC，所以四边形BCHG为平行四边形(2)四点共面，理由如下：由BEFA
10、，BEFA，G为FA的中点知，BEFG，BEFG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，所以EF与CH共面又DFH，所以C，D，F，E四点共面三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，则下列结论中正确的是_(填序号)当时，四边形EFGH是平行四边形；当时，四边形EFGH是梯形；当时，四边形EFGH一定不是平行四边形；当时，四边形EFGH是梯形解析：由，得EHBD，且，同理得FGBD且，当时，EHFG且EHFG.当时，EHFG，但EHFG，所以正确，只有错误答案：2在正方体A
11、BCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条解析：如图，在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因为CD与平面不平行，所以它们相交，设CDQ，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1，EF，CD都相交答案：无数3如图所示，三棱柱ABC A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，
12、说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连结OF，过点O作OMAC于点M.因为侧棱A1A底面ABC，所以侧面A1ACC1底面ABC.又因为EC2FB2，所以OMFBEC且OMECFB，所以四边形OMBF为矩形，BMOF.因为OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连结PQ，PB，BQ.因为EC2FB2，所以PE綊BF，所以PQAE，PBEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因为PBPQP，PB，PQ 平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因为BQ平面PBQ，所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点(2)由(1)知，BM与EF异面，OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM与EF所成的角的余弦值为.
