1、第二讲椭圆、双曲线、抛物线高考导航以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查的角度有定义、方程和性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是考查的重点考点一圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab0)，则a2b2c25，且1，解方程组得a215，b210，故所求椭圆方程为1.解法二：椭圆1的焦点坐标为(，0)，设所求椭圆方程为1(0)，代入(3，2)，得1(0)，解得10或2(舍去)，故所求椭圆方程为1.答案A2(2019河南安阳一模)设双曲线C：1(a0，b0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y
2、x，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 Dx21解析由双曲线的虚轴长为4，得2b4，即b2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为yxx，所以a4，所以双曲线C的方程为1，故选A.答案A3(2019湖南湘东六校联考)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为()Ax28y Bx24yCx24y Dx28y解析依题意，设抛物线的方程为x22py(p0)，则34，所以p2，所以抛物线的方程为x24y，故选C.答案C4(2019长春检测)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y21的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作F1
3、PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|()A1 B2C4 D.解析如图，延长F1H交PF2于点Q，由PH为F1PF2的平分线及PHF1Q，可知|PF1|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|2，从而|QF2|2，在F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|1.故选A.答案A5(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析设|F2B|x(x0)，则|AF2|2x，|AB|3x，|BF1|3x，|AF1|4a(|AB|BF1|)4a6x.由
4、椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x，所以|AF1|2x.在BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2|BF2|2|F1F2|22|F2B|F1F2|cosBF2F1，即9x2x2224xcosBF2F1，在AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF2|F1F2|cosAF2F1，即4x24x2228xcosBF2F1，由得x，所以2a4x2，a，所以b2a2c22.所以椭圆的方程为1.故选B.答案B6(2019郑州一中摸底测试)从抛物线yx2上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5.设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为_解析由题意，得x24y，则抛物线
5、的准线方程为y1.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|y01，所以y04，所以|x0|4，所以SMPF|PM|x0|5410.答案10圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如
6、果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去考点二圆锥曲线的几何性质1在椭圆中：a2b2c2，离心率为e .2在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.3双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.【例1】(1)(2019宁夏银川二模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为M，N，若在椭圆C上存在点H，使kMHkNH，则椭圆C的离心率的取值范围为()A. B.C. D.(2)(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_解析(1)设H(x
7、0，y0)，则y(a2x)，而M(a,0)，N(a,0)，kMHkNH，.e.故选A.(2)解法一：如图，由知A为线段F1B的中点，O为线段F1F2的中点，OAF2B，0，F1BF2B，OAF1A且F1OAOF2B，BOF2AOF1，BOF2OF2B，又易知|OB|OF2|c，OBF2为正三角形，可知tan60，e2.解法二：双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，0，F1BF2B，点B在O：x2y2c2上，如图所示，不妨设点B在第一象限，由得点B(a，b)，点A为线段F1B的中点，A，将其代入yx得.解得c2a，故e2.答案(1)A(2)2应用圆锥曲线性质的2个要点(1)确定椭圆和双曲线的
8、离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等(2)求双曲线渐近线方程关键在于求或的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到1(2019河北衡水中学五调)与椭圆y21有相同的焦点且与直线l：xy30相切的椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析因为所求椭圆与椭圆y21有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为1(a1)，联立得方程组(2a21)x26a2x10a2a40，因为直线l与椭圆相切，所以36a4
9、4(2a21)(10a2a4)0，化简得a46a250，即a25或a21(舍)则a.又c1，所以e.故选B.答案B2(2019广东惠州一调)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A(1,2) B(2，)C(1，) D(，)解析如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，c)，则过点F1与渐近线yx平行的直线为yxc，由解得即M.因为M在以线段F1F2为直径的圆x2y2c2内，所以22c2，化简得b23a2，即c2a23a2，即4，解得1，所以双曲线离
10、心率的取值范围是(1,2)故选A.答案A考点三抛物线中的最值问题求最值问题主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离；二是把抛物线上的点到抛物线的准线距离转化为抛物线上的点到焦点的距离在解题时要准确把握题设条件，进行有效转化，探求最值问题【例2】(1)(2019山东省实验中学一诊)已知P为抛物线y24x上一个动点，F为焦点，Q为圆C：x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A21 B22C.1 D.2(2)(2019陕西咸阳模拟)若点A的坐标是(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|
11、PA|PF|取得最小值，则P点的坐标是()A(1,2) B(2,1)C(2,2) D(0,1)解题指导 解析(1)由题意得圆x2(y4)21的圆心A(0,4)，半径r1，抛物线的焦点F(1,0)由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|r11.选C.(2)过P作PMl于M，则由抛物线定义知|PM|PF|，故|PA|PF|PA|PM|.当A、P、M三点共线时，|PA|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.答案(1)C(2)C与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得
12、解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决1(2019郑州检测)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B. C1 D2解析由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l交l于点A1，过点B作BB1l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l交l于点M1，则|MM1|.因为|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，所以|AA1|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故点M到x轴的距离d2，选D.答案D2(2019石家庄二中月考)已知点F为抛物线y28x的焦点，O
13、为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值为()A6 B24C2 D4解析由已知可得抛物线y28x的焦点为F(2,0)，准线方程为x2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2x04，所以x02，y04.O关于准线的对称点为O(4,0)，则当点P为AO与准线x2的交点时，|PA|PO|有最小值，且最小值为|AO|2.答案C1(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3 C4 D8解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，由已知得椭圆1的一个焦点为，3pp，又p0，p8.答案D2(2019全
14、国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.解析如图，|PQ|OF|c，PQ过点.P.又|OP|a，a222，22，e.故选A.答案A3(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B.C. D.解析由题意易知直线AP的方程为y(xa)，直线PF2的方程为y(xc)联立得y(ac)，如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则|PH|(ac)因为PF2H
15、60，|PF2|F1F2|2c，|PH|(ac)，所以sin60，即ac5c，即a4c，所以e.故选D.答案D4(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_解析由双曲线x21(b0)经过点(3,4)，得91，解得b，又b0，所以b，易知双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为yxx.答案yx5(2018北京卷)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_解析解法一：如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线
16、N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为yx，.设mk，则nk，则双曲线N的离心率e22.连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得F1CF290，CF1F230.设椭圆的焦距为2c，则|CF2|c，|CF1|c，再由椭圆的定义得|CF1|CF2|2a，即(1)c2a，椭圆M的离心率e11.解法二：双曲线N的离心率同解法一由题意可得C点坐标为，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，联立得方程组解得1.答案12圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择、填空题的形式考查，常出现在第411或1516题的位置，着重考查
17、圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等热点课题5平面几何情境下的圆锥曲线问题1(2019福建福州质检)已知双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|，则E的离心率是()A2 B. C. D.解析如图所示，设PF1、PF2分别与PAF2的内切圆切于M、N，依题意，有|MA|AQ|，|NP|MP|，|NF2|QF2|，|AF1|AF2|QA|QF2|，2a|PF1|PF2|(|AF1|MA|MP|)(|NP|NF2|)2|QA|2，故a，从而e，故选C.答案C2.(2019贵阳监
18、测)已知点P是双曲线C：1(a0，b0)左支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是_解析由题意可知，ON为PF1F2的中位线，PF1ON，tanPF1F2tanNOF2kON，解得又|PF2|PF1|2a，2b2a2a，b2a，ca，e.答案专题强化训练(二十二)一、选择题1(2019广东惠州一调)抛物线x8y2的准线方程为()Ay By2Cx Dx解析将x8y2化为标准形式为y2x，所以2p，p，开口向右，所以抛物线的准线方程为x.答案C2(2019河南南阳一中1月月考)点P是椭圆1上
19、的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1F2的周长是()A12 B10 C8 D6解析由椭圆方程知a3，c2.由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a6，所以PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c6410，故选B.答案B3(2019豫北五校联考)在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x21有公共的渐近线，且经过点P(2，)，则双曲线C的焦距为()A. B2 C3 D4解析依题意，设双曲线C的方程为x2(0)，则由双曲线C过点P(2，)得(2)2，3.因此，双曲线C的方程为x23，即1，双曲线C的焦距为24，故选D.答案D4(2019郑州一测)椭圆1的焦点为F1，F2，P
20、为椭圆上一点，若F1PF260，则F1PF2的面积是()A. B. C16 D32解析解法一：由椭圆1的焦点为F1，F2知，|F1F2|2c6，在F1PF2中，不妨设|PF1|m，|PF2|n，则|PF1|PF2|mn2a10，在F1PF2中，由余弦定理|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，得(2c)2m2n22mncos60，即4c2(mn)23mn4a23mn，解得mn，所以SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2mnsin60.故选A.解法二：由椭圆的焦点三角形的面积公式SF1PF2b2tan(其中P为椭圆上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦
21、点，F1PF2)得SF1PF2b2tan16tan.故选A.答案A5(2019石家庄二中3月模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则()A. B. C. D3解析如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|，|AF2|.所以.故选A.答案A6(2019天津卷)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|
22、(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.解析如图，由题意可知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，|AB|4|OF|4，A(1,2)，又点A在直线yx上，2(1)，2，双曲线的离心率e .故选D.答案D7(2019陕西西安三模)已知圆x2y24x30与双曲线1的渐近线相切，则双曲线的离心率为()A. B2 C2 D.解析将圆的一般方程x2y24x30化为标准方程(x2)2y21.由圆心(2,0)到直线xy0的距离为1，得1，解得2，所以双曲线的离心率为e .故选D.答案D8(2019辽宁省五校联考)抛物线C：y24x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，MNF为直
23、角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则MNF的面积为()A. B. C. D3解析如图，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|EF|EN|，又E在抛物线C上，所以EN垂直准线x1，E，所以N(1，)，M(0,2)，所以|NF|，|NM|，所以MNF的面积为，故选C.答案C9(2019武汉模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，点A(5,3)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则MAF周长的最小值为()A10 B11 C12 D13解析当|MA|MF|的值最小时，MAF的周长最小设点M在抛物线的准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可
24、知|MD|MF|，因此|MA|MF|的最小值，即|MA|MD|的最小值，根据平面几何的知识可得，当D，M，A三点共线时，|MA|MD|最小，最小值为xA(1)516.又|FA|5，所以MAF周长的最小值为6511.答案B10(2019宁夏银川一中二模)已知直线yx和椭圆1(ab0)交于不同的两点M，N，若M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析由题意可知，M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M点坐标为，则c，则3b22ac，即3c22ac3a20.上式两边同除以a2，整理得3e22e30，解得e或e.由0eb0)的两个焦点为F1(c,0)
25、，F2(c,0)，M是椭圆上的一点，且满足0.则椭圆离心率e的取值范围为()A. B.C. D.解析解法一：设点M的坐标为(x0，y0)，0，F1(c,0)，F2(c,0)，(x0c)(x0c)y0，即xyc2，又知点M在椭圆G上，1，由联立结合a2b2c2解得x，由椭圆的性质可得0xa2，即即所以c2b2.又知b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2，解得e2，又知0e1，e1，故选D.解法二：椭圆G上存在点M使0，MF1MF2，即MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形，|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，椭圆的离心率e，又知(|MF1|MF2|)22(|MF1|2|MF2|2)2|F
26、1F2|28c2，|MF1|MF2|2c，e，当且仅当|MF1|MF2|c时，等号成立，又知0e0)的一条渐近线为xy0，则a_.解析双曲线的两条渐近线为yx，xy0可化为yx，所以，得a.答案14(2019福州3月质检)若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为_解析因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线对称轴的距离为6，若设该点为P，则P(x0，6)因为P到抛物线焦点F的距离为10，根据抛物线的定义得x010.因为P在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，所以抛物线的方程为y24x或y236x.答案y24x或y
27、236x15(2019重庆一中月考)如图，F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆C上的点，Q是线段PF1上靠近F1的三等分点，PQF2为正三角形，则椭圆C的离心率为_解析解法一：由椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a，则|PQ|PF2|2a，因为PQF2为正三角形，所以|PF2|，|PF1|.在PF1F2中，由余弦定理，得4c2a2a22cos60a2，则e2，e.解法二：由椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a，由已知得，|PQ|PF2|2a，因为PQF2为正三角形，所以|PF2|，|PF1|，由|PF1|PF2|，可得，e.答案16(2019太原五中月考)如图，双曲线的中心为原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则BDF的余弦值是_解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由e2知，c2a，又c2a2b2，则ba.所以A(0，a)，C(0，a)，B(a,0)，F(2a,0)，则(a，a)，(2a，a)，结合图象可知，cosBDFcos，.答案
