1、20192020学年上学期2017级暑期第一次考试理数试卷命题人：潘静 审题人：邹振赋考试时间：2019年7月24日 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1设集合，则( )A B C D 2已知命题p：所有的指数函数都是单调函数，则为()A所有的指数函数都不是单调函数B所有的单调函数都不是指数函数C存在一个指数函数，它不是单调函数D存在一个单调函数，它不是指数函数3若复数z，其中i为虚数单位，则()A1iB1iC1iD1i4. 若，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbca Dbac5我国古代数学著作周髀算经有如下问题：“今有器中米，不知其数.前人取半，中人三分取一，
2、后人四分取一，余米一斗五升.问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S1.5(单位：升)，则输入k的值为()A4.5B6C7.5D96四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理。其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色。”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字的四色地图符合四色定理，区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好
3、取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A B C D 7函数的图象大致为()8已知函数满足，且当时，则()A B C D99方程x22xa10有一正一负两实根的必要不充分条件是()Aa2Ba1C1a0 Da010过椭圆C：(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A B C D 11若函数在区间上单调递增，则实数c的取值范围是()A(，2 B(，4 C(，8 D2,4A B C D 12定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（ ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1
4、3已知函数，若，则实数a_.14设函数,则使得成立的的取值范围是 15甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为_。16设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 。三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（12分）在锐角中，为内角的对边，且满足（1）求角的大小（2）已知，边边上的高，求的面积的值18（12分）如图所示，在三棱柱中，侧面是矩形， 是的中点，与交于，且。（1）求证：.（2）若，求二面角的余弦值.19（12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则为“
5、非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，再从抽取的5位女性中，随机抽取3人赠送礼品，记为所抽取3人中“微信控”的人数，求随机变量的分布列及数学期望。参考数据：0.100.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828参考公式：，其中.20（12分）已知动圆经过点,并且与圆相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）设为轨迹内的一个动点,过点且斜率为的直线交轨迹于两点,当为何值时？ 是与无关
6、的定值,并求出该值定值.21（12分）已知函数。（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：选做题（共10分，请考生从2道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）22（10分）（选修4-4）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，直线C2的直角坐标方程为yx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.23（10分）（选修4-5）已知a和b是任意非零实数（1）求的最小值；（2）若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围20192020学年
7、上学期2017级第一次双周练理数答案ACBDB CACDA BD13 14 15 16 17（1），由正弦定理得，即。且，（2），代入，得由余弦定理得，代入，得，解得或又是锐角三角形 ，故，18（1）由于侧面是矩形，是中点，故所以，又,于是，,又，。而， 故由于，故.（2）如图，建立空间直角坐标系，则，设面的法向量的坐标为，则,即 令，则，故。设面的法向量坐标为，则,即 令，设二面角的大小为，则19. （1）由22列联表可得：，所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人；，则,故的分布列如下：123的数学期望为20.
8、 （1）由题设得： ,所以点的轨迹是以为焦点的椭圆,椭圆方程为.联立，得（2）设，直线。于是， 的值与无关, ,解得.此时.21.（1）当时，则在上单调递增；综上时，在上单调递增，无递减区间；时，在当时，在上为单调减函数，且，故时，时，。上递增，在上递减。（2）证明：由得，设，则由，得；由，得故当时，当时，。不妨设，则，等价于，且在上单调递增，要证：，只需证，只需证，即，即证。设，则，令，则，故在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，。从而得证22（1）由曲线C1的参数方程为(为参数)，得曲线C1的普通方程为(x2)2(y2)21，则C1的极坐标方程为24cos 4sin 70，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为(R)（2）由得2(22)70，设A，B对应的极径分别为1，2，则1222，127， .23（1）4，当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成立，的最小值为4.（2）若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2,2