1、福建省建瓯市芝华中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题考试范围：选修2-1全册 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知向量，则（ ）A.B.C.D.3.的一个充分不必要条件是（ ）A.B.C.D.2.已知空间向量，且，则实数（ ）A.B.C.D.67.已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（ ）A.B.C.D.R4.若命题，使得”是假命题，则实数k的取值范围是（ ）A.B.C.D.5.椭圆和椭圆（）有（ ）A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长
2、的短轴6.已知椭圆，则与椭圆相交且以点为弦中点的直线所在方程为（ ）A.B.C.D.8.点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选项有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，则以下结论正确的有（ ）A.B.C.D.10.下列说法中，正确的是（ ）A.存在一个实数，使B.存在偶数是7的倍数C.所有的质数都是奇数D.至少存在一个正整数，能被5和7整除11.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点F重合，则（ ）A.双曲
3、线的实轴长为2B.双曲线的离心率为3C.双曲线的渐近线方程为D.F到渐近线的距离为12.已知点F是抛物线（）的焦点，是经过点F的弦且，的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）A.B.若，则C.D.四边形面积最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）13.命题“，”的否定是_.15已知双曲线（，）的一条渐近线平行于直线l：，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_.14.已知直线l与椭圆（）相切于第一象限内的点，且直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当（O为坐标原点）的面积最小时，（、是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是
4、_.16.已知F是抛物线（）的焦点，M为抛物线上任意一点，的最小值为3，则_；若过F的直线交抛物线于A，B两点，有，则_.四、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，垂足为H，是四棱锥的高，E为中点.（I）证明：（II）若，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知的两个顶点A，B的坐标分别是，且，所在直线的斜率之积等于m（）.（I）求点C的轨迹方程；（II）讨论点C的轨迹的形状.19.已知椭圆的的两个焦点坐标分别是，并且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于A、B两点，求中点的坐标和长度.20.已知焦点在x轴上的
5、双曲线C的实轴长为，焦距为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l：与双曲线C交于A，B两点，求弦长.21.如图，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点.（1）若，求直线l的方程；（2）记抛物线C的准线为，设直线，分别交于点N，M，求的值.22.如图，四棱锥中，与都是等边三角形.（I）证明：；（II）求二面角的余弦值.2020-2021学年芝华中学高二上期期中质量检测数学试卷参考答案与试题解析一、1.A 【解答】解：向量，则.故选：A.2C 【解答】解：不等式，“”是不等式成立的一个充分不必要条件.故选：C.3.A 【解答】解：，可设，解得.故选：A.4.A 【解答】解：方程表示焦点在x轴
6、上的双曲线，则，即，解得.故选：A.5.B 【解答】解：命题，使得”是假命题，则它的否定命题：，都有”是真命题，所以，解得；所以实数k的取值范围是.故选：B.6.B 【解答】解：椭圆：的长轴，焦距，离心率，短轴，椭圆：（）的长轴，焦距，离心率，短轴，椭圆：和椭圆：（）有等长的焦距.故选：B.7.D 【解答】解：设，由题意知，两式相减得：，整理得：，所以，直线方程为：，即，故选：D.8B 【解答】解：的焦点，准线方程为，可得，当F，P，H三点共线时，取得最小值，则F到直线的距离为，则的最小值为故选：B二、9CD 【解答】解：在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，.，故C正确，排除选项A，B；，又，
7、故，故D正确，故选：CD10BD 【解答】解：，故方程无解，故A存在一个实数，使，错误；，故存在偶数是7的倍数，故B正确；2是质数，但不是奇数，故C所有的质数都是奇数，错误；35即是5的倍数，又是7的倍数，故D至少存在一个正整数，能被5和7整除，正确.故选：BD.11CD 【解答】解：由抛物线，得其焦点坐标为，则双曲线的右焦点为，即，又，.双曲线的实轴长为，故A错误；双曲线的离心率为，故B错误；双曲线的渐近线方程为，故C正确；，到其中一条渐近线的距离为，故D正确故选：CD12AC 【解答】解：的斜率为k，倾斜角为，则有，所以A正确；，则，B错；，所以C正确；，四边形面积最小值为，所以D不正确；
8、故选：AC.三、13【解答】解：命题“，”的否定是：，.故答案为：，.14【解答】解：由题意得，解得， ，双曲线的方程是，故答案为：.15【解答】解：直线l的切线方程为：，当且仅当时， （O为坐标原点）的面积最小，设， ，由余弦定理可得，故答案为：.16.【解答】解：由题意， ，M为抛物线上任意一点，过点M作准线的垂线，垂足为D，当点D，M，N在同一直线上时，最小，且为3，解得，抛物线的方程为，设直线的方程为，设， ，联立方程，消x可得， ，解得，.故答案为：2，.四、17.【解答】解：以H为原点， ， ，分别为x，y，z轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则，（I）设， 则，可得，
9、.因为 所以.（II）由已知可得， ，故，设为平面的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线与平面所成角的正弦值为.18.【解答】解：（I）设，则由题知，即（）为点C的轨迹方程.（4分）（II）当时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线；当时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；当时，点C的轨迹为圆心为，半径为5的圆；当时，点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆.（12分）19【解答】解：（1）由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为（），由椭圆定义知，则，所求椭圆标准方程为；（2）设直线与椭圆的交点为， ，联立方程，得.得， .设的中点坐标为，则，的中点坐标为.由弦长公式可得： .20.【解答】解：（1）焦点
10、在x轴上的双曲线C的方程设为（，），由题意可得即 ，由，可得，则，可得双曲线的方程为；（2）联立直线l：和双曲线的方程，可得，设A，B的横坐标分别为，可得， ，则.21.【解答】解：（1）设直线l的方程为，联立抛物线C：，可得，设， ，可得，则，解得，则直线l的方程为或；（2）抛物线C：的准线为，可设，直线l的方程设为，代入抛物线C：，得，所以，由题意可得，即有，同理，则.22【解答】解：（I）取的中点E，连接，可得四边形是正方形过点P作，垂足为O，连接、与都是等边三角形，可得因此，O是正方形的对角线的交点，可得，得直线是直线在内的射影，中，E、O分别为、的中点，可得；几何法（II）由（I）知，、是平面内的相交直线，取的中点F，的中点G，连接，则为有中位线，可得连接，由是等边三角形可得，为二面角的平面角连接、，则 ，设，则， ，故在中， ， ， ，即二面角的平面角的余弦值为.向量法（II）以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则， ，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得设二面角的平面角为，且为钝角则.二面角的余弦值为.