1、第一章 坐标系1平面直角坐标系11平面直角坐标系与曲线方程12平面直角坐标轴中的伸缩变换课标解读1.理解平面直角坐标系的作用2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.1平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的2平面直角坐标系与曲线方程曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，由此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系在平面直角坐标
2、系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解；(2)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上那么，方程f(x，y)0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)0的曲线这样，我们就可以通过建立适当的平面直角坐标系，应用方程来表示许多常见的曲线，如直线的方程、圆的方程、椭圆的方程等. 3平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响1ABC的三个顶点是A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，则中线CO(O为坐标原点)的方程是x0吗？【提示】因为中线
3、CO是一条线段，而并非一条直线，所以其方程为x0(0y3)，而非x0.2如何建立适当的平面直角坐标系？【提示】如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上；如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程3如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2y24的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】x2y24的图形变为椭圆：y21.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状.利用平面直角坐标系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组
4、成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30，相距4千米某时刻甲舰发现商船的某种求救信号由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路探究】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(3,0)，C(5
5、,2)|PB|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上kBC，线段BC的中点D(4，)，直线PD的方程为y(x4)又|PB|PA|4，点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为1(x2)联立，解得P点坐标为(8,5)kPA.因此甲舰行进的方位角为北偏东30.1由于A、B、C的相对位置一定，解决问题的关键是：如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解2运用坐标法解决实际问题的步骤：建系设点列关系式(或方程)求解数学结果回答实际问题已知某荒漠上有两个定点A、B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农
6、艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】(1)设平行四边形的另两个顶点为C、D，由围墙总长为8 km得|CA|CB|4|AB|2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a4，焦距2c2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为1(y0)易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD的面积最大，则C、D为此椭圆短轴的端点，此时，面积
7、S2(km2)(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆1(y0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y(x1)被椭圆截得的弦长，如图因此，由13x28x320，那么弦长|x1x2|，故暂不加固的部分长 km.建立适当平面直角坐标系 求曲线方程图111如图111，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量与的夹角为120，2.(1)求圆C的方程；(2)求以M、N为焦点，过点P、Q的椭圆方程【思路探究】建立适当的平面直角坐标系，准确确定定点坐标，分别用待定系数法求圆C和椭圆方程【自主解答】(1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得：CQM为正三角形r2cos 602，圆C的半径为2.又圆心为(0,0
8、)，圆C的方程为：x2y24.(2)由(1)知M(2,0)，N(2,0)，Q(1，)，2a|QN|QM|22，a1，c2，b2a2c22，椭圆方程为：1.解决此类问题的关键是根据题目条件，充分利用其中垂直、对称等关系建立适当的平面直角坐标系，然后再根据轨迹(曲线)条件选用求曲线方程的待定系数法或定义法或直接法或相关点(代入)法或参数法求解如图112所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程图112【解】如下图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴
9、，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(2,0)，O2(2,0)设P(x，y)，则|PM|2|PO1|2|MO1|2(x2)2y21.同理，|PN|2(x2)2y21.|PM|PN|，即|PM|22|PN|2，即(x2)2y212(x2)2y21，即x212xy230，即动点P的轨迹方程为(x6)2y233.平面直角坐标系中的伸缩变换 及其应用在下列平面直角坐标系中，分别作出1的图形(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍【思路探究】先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作
10、出图形【自主解答】(1)建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，则1的图形如图.(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.1在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题(2)中即为的伸缩变换，本题(3)中即为的伸缩变换2一般地，在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线，双曲线伸缩后仍为双曲线，抛物线伸缩后仍为抛物线，而椭圆伸缩后可能是椭圆或圆本例中，1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形(1)x轴上的单位长度为y轴上单位
11、长度的倍；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍【解】(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.(教材第7页习题11A组第3题)已知ABC的顶点坐标是A(2,3)，B(5,3)，C(2,7)，求A的平分线长及其所在直线的方程(2012陕西高考)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程【命题意图】本题考查椭圆的简单性质及向量在直线与椭圆综合题中
12、的应用，考查转化化归能力及运算求解能力【解】(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，解得a4.故椭圆C2的方程为1.(2)法一A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.法二A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.
13、将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由2，得x，y.将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.1曲线C的方程为yx(1x5)，则下列四点中在曲线C上的是()A(0,0)B(，)C(1,5) D(4,4)【解析】将答案代入验证知D正确【答案】D2直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A|x|y|1 B|xy|1C|x|y|1 D|xy|1【解析】由题知C正确【答案】C3将圆x2y21经过伸缩变换后的曲线方程为_【解析】由得代入到x2y21，得1.变换后的曲线方程为1.【答案】14(2013陕西高考改编)已知动点M(x，y)
14、到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍求动点M的轨迹C的方程；【解析】如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|，由此得|4x|2，化简得1，动点M的轨迹C的方程为1.一、选择题1ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D的坐标是()A(9，1)B(3,1)C(1,3) D(2,2)【解析】由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D点坐标设D点坐标为(x，y)，则即故D点坐标为(1,3)故应选C.【答案】C2方程(x24)2(y24)20表示的图形是()A两条直线 B四条直线C两个点 D四个点【解析】由方程得：解得或或或故
15、选D.【答案】D3(2013南阳模拟)在同一平面直角坐标系中，将曲线ycos 2x按伸缩变换后为()Aycos x By3cosxCy2cosx Dycos 3x【解析】由得代入ycos 2x，得cos x.ycos x，即曲线ycos x.【答案】A4(2012辽宁高考)将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30【解析】因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】C二、填空题5x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为_【解析】如果x轴的单位长度不变，y轴的单位长度缩小为原来的
16、，圆x2y216的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆【答案】椭圆6如图113所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是_图113【解析】过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连结PH、PM，可证PHA1D1，设P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x21(x)2y21，化简得y2x.【答案】y2x三、解答题7台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东4
17、0 km处，求城市B处于危险区内的时间【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B点坐标为(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于点M，N，点B到直线yx的距离d20.求得|MN|220(km)所以1，所以城市B处于危险区内的时间为1 h.8A为定点，线段BC在定直线l上滑动已知|BC|4，A到l的距离为3，求ABC的外心的轨迹方程【解】建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如右图)，则A点的坐标为(0,3)设外心P点的坐标为(x，y)P在BC
18、的垂直平分线上，B(x2,0)，C(x2,0)P也在AB的垂直平分线上，|PA|PB|，即.化简得x26y50.这就是所求的轨迹方程9学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图114，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)观测点A(4,0)，B(6,0)图114(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为yax2， 点D(8,0)在抛物
19、线上，a，曲线方程为yx2.(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知得4y27y360.y4或y(舍去)，y4.得x6或x6(舍去)C点的坐标为(6,4)，|AC|2，|BC|4.所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令教师备选10已知A(1,0)，B(1,0)，圆C：(x3)2(y4)24，在圆C上是否分别存在一点P，使|PA|2|PB|2取得最小值与最大值？若存在，求出点P的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由【解】假设圆C上分别存在一点P使|PA|2|PB|2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|PA|2|PB|22(|PO|2|AO|2
20、)2|PO|22，可见，当|PO|分别取得最小值和最大值时，相应地|PA|2|PB|2分别取得最小值与最大值设直线OC分别交圆C于P1，P2，则|P1O|最小，|P2O|最大，如图所示由已知条件得|OC|5，r2，于是|P1O|OC|r523，|P2O|OC|r527，所以|PA|2|PB|2的最小值为232220，最大值为2722100.下面求P1，P2的坐标：直线OC的方程为yx，由消去y并整理得25x2150x9210，(5x9)(5x21)0，解得x1，x2，或P1(，)，P2(，)为所求2极坐标系21极坐标系的概念课标解读1.了解极坐标系的概念2.理解点的极坐标的不唯一性3.能在极坐
21、标系中用极坐标刻画点的位置.1极坐标系的概念图121如图121所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系2极坐标的概念对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫作点M的极径，叫作点M的极角，有序实数对(，)叫作点M的极坐标，记作M(，). 特别地：当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意值3点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，特别地：极点O的坐标为(0，)(R)和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极
22、坐标有无数种表示如果规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的1建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径表示点M与极点O的距离|OM|，因此0.但必要时，允许0.2为什么点的极坐标不唯一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相
23、差2的整数倍，所以点(，)还可以写成(，2k)(kZ)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(，)的坐标还可以写成(，2k)(kZ)3试探究M(，)关于极轴、极点及过极点且垂直于极轴的直线的对称点坐标【提示】(，)关于极轴的对称点为(，2)，关于极点的对称点为(，)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(，).根据点的位置确定点的极坐标设点A(2，)，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定0,00,00，0,2)【解】由B(3，)，D(3，)，知|OB|OD|3，极角与的终边关于极轴对称所以点B，D关于极轴对称设点B(3，
24、)，D(3，)关于极点的对称点分别为E(1，1)，F(2，2)，且123.当0,2)时，1，2，E(3，)，F(3，)为所求.2.2点的极坐标与直角坐标的互化课标解读1.了解极坐标系与直角坐标系的联系2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别3.能进行极坐标和直角坐标的互化.1互化的前提条件图124把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图124所示2互化公式设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2y2 tan (x0
25、)在一般情况下，由tan 确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角1联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？【提示】任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带事实上，若0，sin ，cos ，所以xcos ，ysin ，2|OM|2x2y2，tan (x0)2将直角坐标化为极坐标时如何确定和的值？【提示】由2x2y2求时，不取负值；由tan (x0)确定时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角当x0时，角才能由tan 按上述方法确定当x0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：(1)当x0，y0时，可取任何值；(2)当 x0，y0时，可取；(3)当
26、x0，y0时，可取.化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)(2，)；(2)(3，)；(3)(4，)；(4)(4，)【思路探究】点的极坐标(，)xcos ，ysin 点的直角坐标(x，y)【自主解答】(1)xcos 2cos，ysin 2sin1.点的极坐标(2，)化为直角坐标为(，1)(2)xcos 3cos0，ysin 3sin3.点的极坐标(3，)化为直角坐标为(0,3)(3)xcos 4cos2，ysin 4sin2.点的极坐标(4，)化为直角坐标为(2,2)(4)cos ，sin ，xcos 4cos()4cos，ysin 4sin()4sin.点的极坐标(4，)化
27、为直角坐标为( ，)1点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；两种坐标系的长度单位相同2将点的极坐标(，)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键(2013洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限(1)(2，)；(2)(2，)；(3)(2，)；(4)(2，2)【解】(1)由题意知x2cos2()1，y2sin2().点(2，)的直角坐标为(1，)，是第三象限内的点(2)x2cos 1，y2sin ，点(2，)的直角坐标为(
28、1，)，是第二象限内的点(3)x2cos()1，y2sin()，点(2，)的直角坐标为(1，)，是第四象限内的点(4)x2cos (2)2cos 2，y2sin(2)2sin 2.点(2，2)的直角坐标为(2cos 2，2sin 2)，是第三象限内的点.化直角坐标为极坐标分别将下列点的直角坐标化为极坐标(0,02)(1)(1,1)；(2)(，1)【思路探究】直角坐标(x，y)极坐标(，)【自主解答】(1)，tan 1，0,2)，点(1,1)在第二象限，直角坐标(1,1)化为极坐标为(，)(2)2，tan ，0,2)，点(，1)在第三象限，直角坐标(，1)化为极坐标为(2，)将点的直角坐标(x，
29、y)化为极坐标(，)时，运用公式，tan (x0)即可在0,2)范围内，由tan (x0)求时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限如果允许R，再根据终边相同的角的意义，表示为2k，kZ即可分别将下列点的直角坐标化为极坐标，(0，R)(1)(2,2)；(2)(，)【解】(1)4，tan ，R，由于点(2,2)在第二象限，2k，(kZ)点(2,2)化为极坐标为(4，2k)，(kZ)(2)2，tan ，R.由于点(，)在第四象限，所以2k，(kZ)点的直角坐标(，)化为极坐标为(2，2k)，(kZ).互化公式的综合应用在极坐标系中，如果A(2，)，B(2，)为等边三角形ABC的两个顶点，求顶
30、点C的极坐标(0，02)【思路探究】解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解；也可以直接利用极坐标根据余弦定理求解【自主解答】法一利用坐标转化对于点A(2，)，有2，xcos 2cos，ysin 2sin，点A的坐标为(，)对于B(2，)，有2，x2cos，y2sin.点B的坐标为(，)设点C的直角坐标为(x，y)，由于ABC为等边三角形，故有|BC|AC|AB|.(x)2(y)2(x)2(y)2()2()2.即得yx. 代入化简得x26，x，解得或点C的直角坐标为(，)或(， )2，tan 1，或.点C的极坐标为(2，)或(2，)法二设点C的极坐标为(，)(
31、00)则有|AB|BC|AC|.由余弦定理得即并化简得212，由于0，解得2，再代入得cos()0，k，kZ，k，kZ，由于00，0,2)时，点P的极坐标为_【命题意图】主要考查直角坐标与极坐标的互化【解析】点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2.x2，且y2.2.又tan 1，且0,2).因此，点P的极坐标为(2，)【答案】(2，)1点A的极坐标是(2，)，则点A的直角坐标为()A(1，)B(，1)C(，1) D(，1)【解析】xcos 2cos2cos2，ysin 2sin2sin21，A(，1)为所求【答案】C2(2013周口质检)点M的直角坐标为(0，)，则点M的极坐
32、标可以为()A(，0) B(0，)C(，) D(，)【解析】，且，M的极坐标为(，)【答案】C3极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】因为3，3(，)，xcos 0，ysin 0，所以极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的第二象限【答案】B4将直角坐标P(1，)化为极坐标(0,02)【解】2，tan ，由于点P(1，)在第三象限，所以，直角坐标P(1，)化为极坐标为(2，).一、选择题1将极坐标(2，)化为直角坐标为()A(0,2)B(0，2)C(2,0) D(2,0)【解析】xcos 2cos0，ysin 2sin2，(2，)化为直角坐标为
33、(0，2)故应选B.【答案】B2(2013新乡模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是()A(2，) B(2，)C(1，) D(2，)【解析】极径2，极角满足tan ，点(1，)在第四象限，所以.【答案】A3设点P对应的复数为33i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()A(3，) B(3，)C(3，) D(3，)【解析】复数33i对应的点P的坐标为P(3,3)，3，tan 1.又点(3,3)在第二象限，故其极坐标为(3，)【答案】A4在极坐标系中，两点P(2，)和Q(2，)，则PQ的
34、中点的极坐标是()A(2，) B(2，)C(1，) D(1，)【解析】先化直角坐标，再化为极坐标P(2，)，P(1，)Q(2，)，Q(3，)中点M的直角坐标为(1，)2(1)2()24，2.tan ，.中点M的极坐标为(2，)【答案】B二、填空题5直角坐标为(，)的点的极坐标为_【解析】，tan 1，当02时，或，又(，)在第二象限，(，)为所求【答案】(，)6已知点M的极坐标为(5，)，且tan ，则点M的直角坐标为_【解析】tan ，cos ，sin ，x5cos 3，y5sin 4，点M的直角坐标为(3,4)【答案】(3,4)三、解答题7将下列各点由极坐标化为直角坐标或由直角坐标化为极坐
35、标(1)(5，)；(2)(3，)；(3)(3, )；(4)(2，2)【解】(1)x5cos5()，y5sin5，所以点(5，)的直角坐标为(，)(2)x3cos()3，y3sin()，所以极坐标(3，)的直角坐标为(，)(3)2，tan ，所以，所以点(3，)的极坐标为(2，)(4)4，tan ，.点(2，2)的极坐标为(4，)8已知极坐标系中的三点为A(5，)，B(8，)，C(3，)(1)将A、B、C三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断ABC的形状【解】(1)A、B、C三点的直角坐标为：A(0,5)，B(4，4)，C(，)(2)|AB|7，|AC| 7，|BC| 7，因为|AB|AC|BC|
36、，所以ABC是正三角形9如图125，已知ABC三个顶点的极坐标分别为A(2，)，B(2，)，C(，)，极点O(0,0)图125(1)判断OAB的形状；(2)求ABC的面积【解】所给各点的直角坐标分别为A(0,2)，B(，1)，C(，)，O(0,0)(1)|AB|2，又|OA|OB|2，OAB为等边三角形(2)|AC|，|BC|，|AB|2，ABC为等腰三角形AB的中点为D(，)，|CD|2，SABC|AB|CD|222.教师备选10在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为(2，)和(3,0)，O为极点，求(1)A，B两点间的距离；(2)AOB的面积【解】(1)将A，B两点代入到两点间的距离公式有
37、|AB| .(2)SAOB|OA|OB|sinAOB23sin(0).23直线和圆的极坐标方程24曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程课标解读1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化3.理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的表示.1曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(，)0建立了如下的关系：(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(，)满足方程(，)0；(2)极坐标满足方程(，)0的点都在曲线C上那么方程(，)0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程(，)0的曲线2常见简单
38、曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为C(r,0)，半径为r的圆2rcos ()圆心为C(r，)，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点A(a,0)，与极轴垂直的直线cos a()过点A(a，)，与极轴平行的直线sin a(0)过点A(a,0)，且与极轴成角的直线的极坐标方程sin()asin (0)3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位利用和把曲线的两种方程进行相互转化4圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作
39、定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系如图126，设定点F到直线l的距离|FK|p，M(，)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为.图126当0e1时，方程表示椭圆当e1时，方程表示开口向右的抛物线当e1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点1曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？【提示】由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(，)，(，2)，(，)，(，)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可例如对于极坐标方程，点M(，)可以表示为(，2)或(
40、，2)或(，)等多种形式，其中，只有(，)的极坐标满足方程.2在极坐标系内，如何确定某一个点P是否在某曲线C上？【提示】在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可3试结合教材P1214例4例8，总结求简单曲线的极坐标方程的关键是什么？常需用到什么知识？【提示】求简单曲线的极坐标方程的关键，就是要找到极径和极角之间的关系，这常用到解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识及利用三角形的面积相等等来建立，之间的关系4我们由曲线的直角
41、坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线求简单图形的极坐标方程(1)求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程；(2)在极坐标系中，求半径为r，圆心为C(r，)的圆的极坐标方程【思路探究】根据题意画出草图设点M(，)建立，的方程并化简检验【自主解答】(1)如图，设M(，)(0)为直线上除点A以外的任意一点，则xAM，OAM，OMA，在OAM中，由正弦定理得，即，所以sin()，即(sincos cossin )，化简，
42、得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.(2)由题意知，圆经过极点O，设OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，如图，则|OA|2r，连接AM，则OMMA，在RtOAM中，OMOAcosAOM，即2rcos()即2rsin ，经验证，点O(0,0)，A(2r，)的坐标皆满足上式，所以满足条件的圆的极坐标方程为2rsin .求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点M(，)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实
43、质是解三角形)；(4)用极坐标，表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可(1)将本例(1)由特殊推广到一般情况，如图127，设点P的极坐标为(1，1)，直线l过点P且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程；图127(2)将本例(2)中圆心(r，)变为(1，1)，求圆的极坐标方程【解】(1)如图，设点M(，)为直线上除点P外的任意一点，连接OM，则|OM|，xOM，由点P的极坐标知|OP|1，xOP1.设直线l与极轴交于点A，则在MOP中，OMP，OPM(1)，由正弦定理得，即sin()1sin(1)，显
44、然点P的坐标也是它的解(2)设圆C的任意一点为M(，)，且O，C，M三点不共线，如图所示，在OCM中，由余弦定理得|OM|2|OC|22|OM|OC|cosCOM|CM|2，所以221cos(1)r2，可以检验，当O、C、M三点共线时的点M的坐标也适合上式，所以半径为r，圆心在C(1，1)的圆的极坐标方程为221cos(1)r20.化曲线的直角坐标方程为极坐 标方程将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线yx(x0)；(2)圆x2y22ax0(a0)【思路探究】将xcos ，ysin 代入极坐标方程【自主解答】(1)将xcos ，ysin ，代入yx，得sin cos ，tan ，或
45、.又x0，cos 0，射线yx(x0)的极坐标方程为(0)(2)将xcos ，ysin 代入x2y22ax0，得2cos22sin22acos 0，即(2acos )0，2acos ，圆x2y22ax0(a0)的极坐标方程为2acos ，圆心为(a,0)，半径为r|a|.化曲线的直角坐标方程f(x，y)0为极坐标方程f(，)0，只要将xcos ，ysin 代入到方程f(x，y)0中即可化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为0.例如x2y225化为极坐标方程时，有5或5两种情况，由于0，所以只取5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简(20
46、12江西高考)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_【解析】直角坐标方程x2y22x0可化为x2y22x，将2x2y2，xcos 代入整理得2cos .【答案】2cos 化曲线的极坐标方程为直角 坐标方程化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状(1)cos 2；(2)2cos ；(3)2cos 22；(4).【思路探究】极坐标方程直角坐标方程曲线的形状【自主解答】根据点的极坐标化为直角坐标的公式：2x2y2，cos x，sin y.(1)cos 2，x2，是过点(2,0)，垂直于x轴的直线(2)2cos ，22
47、cos ，x2y22x0，即 (x1)2y21.故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆(3)2cos 22，2(cos2sin2)2，即2cos22sin22，x2y22.故曲线是中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线(4)，1cos ，1x，两边平方并整理，得y22(x)故曲线是顶点为(，0)，焦点为F(0,0)，准线方程为x1的抛物线1将2x2y2，cos x，sin y代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程2解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如cos ，sin ，2的式子，进行整体代换方程的两边同乘以(或同除以)或方程两边平方是常用的变形方法(2013北京高考)在极坐标系中，
48、点到直线sin 2的距离等于_【解析】极坐标系中点对应的直角坐标为(，1)极坐标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线y2.故所求距离为1.【答案】1曲线极坐标方程的综合题在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上任意一点，试求RP的最小值【思路探究】解答本题可以设出动点P、M的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决【自主解答】法一(1)设动点P的极坐标为(，)，则点M为(0，)|OM|OP|12，012，得0.M在直线cos 4上0cos 4.即cos 4，于是3co
49、s (0)为所求的点P的轨迹方程(2)由于点P的轨迹方程为3cos 2cos ，所以点P的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆(去掉极点)又直线l：cos 4过点(4,0)且垂直于极轴，点R在直线l上，由此可知RP的最小值为1.法二(1)直线l：cos 4的直角坐标方程为x4，设点P(x，y)为轨迹上任意一点，点M(4，y0)，由OO得y0(x0)又|OM|OP|12，则|OM|2|OP|2144，(x2y2)(16)144，整理得x2y23x(x0)，这就是点P的轨迹的直角坐标方程(2)由上述可知，点P的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆(去掉原点)又点R在直线l：x4上，由此可知RP的最小值为1
50、.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解(2013鹤壁调研)过极点O作圆C：8cos 的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程【解】法一如图，圆心C(4,0)，半径r|OC|4，连接CM.M为弦ON的中点，CMON，故M在以OC为直径的圆上所以，动点M的轨迹方程是4cos .法二设M点的坐标是(，)，N(1，1)N点在圆8co
51、s 上，18cos 1.M是ON的中点，将它代入式得28cos ，故M的轨迹方程是4cos .(教材第14页练习第3题)求圆心在(a，)(a0)、半径为a的圆的极坐标方程(2013安徽高考)在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和cos 2B(R)和cos 2C(R)和cos 1D0(R)和cos 1【命题意图】考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，圆的方程及其切线的求解通过极坐标方程和直角坐标方程之间的转化考查了知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识【解析】由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于极轴
52、的两条切线方程为x0和x2，相应的极坐标方程为(R)和cos 2.【答案】B1如图128，已知点P的极坐标是(1，)，则过点P且垂直极轴的直线的极坐标方程是()A1Bcos C D【解析】由题图可知cos()1，即，故选C.【答案】C2直线和直线sin()1的位置关系是()A垂直 B平行C相交但不垂直 D重合【解析】直线与直线sin()1的斜率相同，故选B.【答案】B3两直线sin()2 012，sin()2 013的位置关系是_(判断垂直或平行或斜交)【解析】两直线方程可化为xy2 012，yx2 013，故两直线垂直【答案】垂直4求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程【解】设P
53、(，)为圆C上任意一点(不与O、A点重合)，圆C交极轴于另一点A，则|OA|8，在RtAOP中，|OP|OA|cos ，即8cos ，经验证点O、点A也满足该等式，所以8cos .这就是圆C的极坐标方程一、选择题1极坐标方程1表示()A直线B射线C圆 D椭圆【解析】由1得21，即x2y21，故选C.【答案】C2(2013三门峡检测)在极坐标系中，过点(2，)且平行于极轴的直线的极坐标方程是()Asin 2 Bcos 2Csin 2 Dcos 2【解析】过点(2，)与极轴平行的直线为y2，即sin 2.【答案】A3(2011北京高考)在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是()A(1，) B(
54、1，)C(1,0) D(1，)【解析】由2sin 得22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为(1，)【答案】B4在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为()A4 B.C2 D2【解析】4sin 化为普通方程为x2(y2)24，点(4，)化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为2，故选C.【答案】C二、填空题5(2013天津高考)已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|_.【解析】由4cos 可得x2y
55、24x，即(x2)2y24，因此圆心C的直角坐标为(2,0)又点P的直角坐标为(2,2)，因此|CP|2.【答案】26(2012湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，则a_.【解析】(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将(，0)代入x2y2a2得a.【答案】三、解答题7在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值【解】将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线的方
56、程为3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有1，解得a8或a2.故a的值为8或2.8(2012江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线sin()与极轴的交点，求圆C的极坐标方程【解】在sin()中，令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)，因为圆C经过点P(，)，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .9在极坐标系中，P是曲线12sin 上的动点，Q是曲线12cos()上的动点，试求|PQ|的最大值【解】12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos()，212(cos cossin s
57、in)，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236.|PQ|max6618.教师备选10(2012长春调研)在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为(2，)(1)求圆C的极坐标方程；(2)P是圆C上一动点，点Q满足3OO，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程【解】(1)设M(，)是圆C上任一点，过点C作CHOM于H点，则在RtCOH中，OHOCcosCOH.COHCOM|，OHOM，OC2，2cos|，即4cos()为所求的圆C的极坐标方程(2)设点Q的极坐标为(，)，3OO，P的极坐标为(，)，代入圆C的极坐标方程得4cos()，即6c
58、os 6sin .26cos 6sin ，令xcos ，ysin ，得x2y26x6y，点Q的轨迹的直角坐标方程为x2y26x6y0.3柱坐标系和球坐标系课标解读1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.1柱坐标系如图131，建立空间直角坐标系Oxyz.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，)，则这样的三个数r，z构成的有序数组(r，z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r，z的变化范围为0r，02，z.图131特别地，r常数，表示的是
59、以z轴为轴的圆柱面；常数，表示的是过z轴的半平面；z常数，表示的是与xOy平面平行的平面2球坐标系设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，来确定，其中r为原点O到点M间的距离，为有向线段O与z轴正方向所夹的角，为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段O的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图132)这样的三个数r，构成的有序数组(r，)叫作点M的球坐标，这里r，的变化范围为0r，0，02.图132特别地，r常数，表示的是以原点为球心的球面；常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；常数，表示的是过z轴的半平面3空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M的
60、直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，则空间直角坐标柱坐标系球坐标系(x，y，z)1空间中点的三种坐标各有何特点？【提示】设空间中点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，它们都是有序数组，但意义不同直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角2在空间的柱坐标系中，方程rr0(r0为不等于0的常数)，0，zz0分别表示什么图形？【提示】在空间的柱坐标系中，方程rr0表示中心轴为z轴，底半径为r0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的方程0表示与zOx坐标面成0角的半平面方程zz0表示平行于xOy坐标面
61、的平面，如图所示常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面3在空间的球坐标系中，方程rr0(r0为正常数)，0(002)，0(00)，各表示什么图形？【提示】在空间的球坐标系中，方程rr0(r0为正常数)，表示球心在原点，半径为r0的球面；方程0(002)，表示过z轴的半平面，它与zOx坐标面的夹角为0；方程0(00)，表示顶点在原点，半顶角为0的圆锥面，它的中心轴是z轴，0时它在上半空间，0时它在下半空间，0时它是xOy平面(如图所示).把点的柱坐标化为直角坐标根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，3)；(2)(，5)【思路探究】柱坐标直角坐标【自主解答】设点的直角坐标
62、为(x，y，z)(1)(r，z)(2，3)，(，1,3)为所求(2)(r，z)(，5)，(1,1,5)为所求点(r，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy内实际为极坐标系，且r0,02，在竖直方向上，z为任意实数化点的柱坐标(r，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算即得将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：(1)(2，1)；(2)(1，0)【解】设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)(r，z)(2，1)，(，1,1)为所求(2)(r，z)(1，0)，(1,0,0)为所求把点的球坐标化为直角坐标把下列各点的球坐标化为直角坐标(1)(2，)；(2)(，)【思路
63、探究】球坐标直角坐标【自主解答】设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)(r，)(2，)，(1，1，)为所求(2)(r，)(，)，(，)为所求首先要明确点的球坐标(r，)中角，的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0，02.化点的球坐标(r，)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：(1)(6，)；(2)(3，)【解】设点的直角坐标为(x，y，z)(1)(r，)(6，)，(，3)为所求(2)(r，)(3，)，(0,0，3)为所求化点的直角坐标为柱坐标或球 坐标图133已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图133，
64、建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标【思路探究】先求C1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标【自主解答】点C1的直角坐标为(1,1,1)设点C1的柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，其中r0，r0,0，02.由公式及得及得及结合图形，得，由cos 得tan .所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(，1)，球坐标为(，)，其中tan ，0.化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(r，z)或球坐标(r，)，需要对公式以及进行逆向变换，得到以及提醒在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值若本例中条件不变
65、，求点C、D的柱坐标与球坐标【解】结合图形知点C的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为(，0)，球坐标为(，)，同样点D的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为(1，0)，球坐标为(1，)(教材第22页练习第1题)如图134，把边长为1个单位长度的正方体分别放到空间直角坐标系中的不同位置，试说出正方体各个顶点的柱坐标和球坐标图134(2013镇江模拟)结晶体的基本单位称为晶胞，如图135是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)图形中的点代表钠原子，如图136，建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标图135图136【命题意图】本题以食盐晶胞为载体
66、，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用【解】下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，(1，0)，(，)，(1，)，(，)；它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(，0)，(1，0)，(，0).1要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应适合运用()A极坐标系B空间直角坐标系C柱坐标系 D球坐标系【解析】由题意知D正确【答案】D2已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()A(1,1,0) B(1,0,1)C(0,1,1) D(1,1,1)【解析】由点A的柱坐标为(1,0,1)知，r1，0
67、，z1，故xrcos 1，yrsin 0，z1，所以直角坐标为(1,0,1)【答案】B3已知点A的球坐标为(3，)，则点A的直角坐标为()A(3,0,0) B(0,3,0)C(0,0,3) D(3,3,0)【解析】x3sin cos 0，y3sin sin 3，z2cos 0，直角坐标为(0,3,0)故选B.【答案】B4设点M的直角坐标为(1,1，)，则点M的柱坐标为_，球坐标为_【解析】由坐标变换公式，可得，tan 1，(点(1,1)在平面xOy的第一象限)，r2.由rcos z，得cos ，.点M的柱坐标为(，)，球坐标为(2，)【答案】(，)(2，)一、选择题1在空间球坐标系中，方程r2
68、(0，02)表示()A圆B半圆C球面 D半球面【解析】由球坐标系的定义知，r2(0，02)表示半球面，故选D.【答案】D2设点M的直角坐标为(1，3)，则它的柱坐标是()A(2，3) B(2，3)C(2，3) D(2，3)【解析】r2，z3，M的柱坐标为(2，3)，故选C.【答案】C3设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为()A(2，) B(2，)C(2，) D(2，)【解析】由坐标变换公式，得r2，cos ，.tan 1，M的球坐标为(2，)，故选B.【答案】B4已知点M的球坐标为(4，)，则点M到Oz轴的距离为()A2 B.C2 D4【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)，(r，
69、)(4，)，M(2,2,2)，到Oz轴的距离为2.故选A.【答案】A二、填空题5若点M的球坐标为(3，)，则点M的直角坐标为_【解析】设M的直角坐标为(x，y，z)则点M的直角坐标为(，)【答案】(，)6(2013长春检测)在柱坐标系中，点M的柱坐标为(2，)，则|OM|_.【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)由(r，z)(2，)知xrcos 2cos1，y2sin.因此|OM|3.【答案】3三、解答题7已知点P的柱坐标为(，5)，点B的球坐标为(，)，求这两个点的直角坐标【解】设点P的直角坐标为(x，y，z)，则xcos 1，ysin 1，z5.设点B的直角坐标为(x，y，z)，则xsi
70、n cos ，ysin sin ，zcos .所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为(，)8经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80，纬度为75.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标【解】在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为原点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系由已知航天器位于经度为80，可知80.由航天器位于纬度75，可知，907515，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r2 3846 3718 755千米所以点P
71、的球坐标为(8 755，)9在柱坐标系中，求满足，的动点M(r，z)围成的几何体的体积【解】根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足r1,02，0z2的动点M(r，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱圆柱的底面半径r1，h2.所以VShr2h2.教师备选10已知在球坐标系Oxyz中，M(6，)，N(6，)，求|MN|.【解】法一由题意知，|OM|ON|6，MON，MON为等边三角形，|MN|6.法二设M点的直角坐标为(x，y，z)，则故点M的直角坐标为(，3)，同理得点N的直角坐标为(，3)，|MN|6.本章介绍了平面直角坐标系的建立及平面直角坐标系中的伸缩变换，重点介绍
72、了极坐标系的建立，极坐标和直角坐标的互化以及简单曲线极坐标方程的建立及其简单的应用，最后又简单介绍了柱坐标系和球坐标系，以及它们和空间直角坐标系的联系高考考查的主要问题有：平面直角坐标系与曲线方程1.利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)2坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单设ABC的周长为18，|AB|8，求顶点C的轨迹方程【解】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(4,0)、B(4,0)，设C点坐标为(x，y)，由此得：|CA|CB|1
73、0，又10|AB|，所以C点轨迹是中心在原点，以A、B为焦点的椭圆，但应扣除其与x轴的交点，设其方程为：1(ab0)，由此得：a5，c4，b3，故所求轨迹方程为：1(x5)极坐标与直角坐标的互化互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位互化公式为xcos ，ysin 2x2y2tan (x0)直角坐标方程化极坐标方程可直接将xcos ，ysin 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos ，sin 的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为co
74、s 3，4cos (0,0)，则曲线C1与C2交点的极坐标为_【解析】4cos23.cos .0，cos ，.将代入4cos ，得2，C1与C2交点的极坐标为(2，)【答案】(2，)(2012安徽高考)在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_【解析】极坐标系中的圆4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2y24y，即x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线转化为平面直角坐标系中的方程为yx，即x3y0.圆心(0,2)到直线x3y0的距离为.【答案】点的极坐标的建立与简单曲线 的极坐标方程1点的极坐标的建立M点到极点的距离为它的极径；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角x
75、OM即为极角.极径和极角确定，则点的极坐标确定，即为(，)一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一点，原点O的坐标(0，)，(R)和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示若0则0，我们规定M(，)与(，)关于极点对称，因此(，)和(，)表示同一点点(，)关于极轴的对称点是(，)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(，)，关于极点的对称点为(，)2知道点的极坐标确定点的位置先确定点在哪一个圆上，即利用极径表示的是点到极点的距离；再确定点的具体位置，即利用极角表示的终边所在射线射线和圆的交点，即为该点的位置3简
76、单曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程(，)0，如果曲线C是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程(，)0为曲线C的极坐标方程由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程例如：对极坐标方程，点M(，)，可以表示为(，2)或(，2)等多种形式，其中有(，)的形式满足方程对于曲线的极坐标方程，(，)0，若(，)(，)，则相应图形关于极轴对称；若(，)(，)，则图形关于所在直线对称；若(，)(，)，则图形关于极点O对称(1)
77、圆的极坐标方程半径为r的圆的圆心坐标为(r,0)(r0)的极坐标方程为2rcos .圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为r.圆心在过极点且垂直极轴的直线上，且过极点的圆(半径为r)的极坐标方程2rsin .已知圆心在(1，1)，半径为r，此圆的极坐标方程为221cos(1)(12r2)0.(2)直线的极坐标方程直线的一般方程为cos()a，其中a为极点O到直线l的距离，为极轴Ox与ON之间的夹角如图11所示：图11直线l与极轴垂直时，其方程为cos a.如图12所示：图12直线l与极轴平行时，其方程为sin a.如图13所示：图13直线l过极点时，其方程为(R)如图14所示：图14射线方程为
78、(0)如图15所示：图15直线l过点P(1，1)且与极轴所成的角为，则l的极坐标方程为sin()1sin(1)如图16所示：图16圆心为C(3，)，半径为3的圆的极坐标方程是什么？【解】法一设圆心C的直角坐标为(x0，y0)，则x03cos，y03sin.所以圆的方程为(x)2(y)29，即x2y23x3y0，所以23cos 3sin ，即6cos()法二如图，设圆上任一点为P(，)，则|OP|，POA，|OA|236.在RtPOA中，|OP|OA|cosPOA，则6cos()，即圆的极坐标方程为6cos()在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为co
79、s()1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程【解】(1)由cos()1，得(cos sin )1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，得M(2,0)；当时，得N(，)(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为(0，)所以P点的直角坐标为(1，)，则P点的极坐标为(，)所以直线OP的极坐标方程为，R.数形结合思想运用坐标方法研究曲线的形状与性质是典型的数形结合思想的体现坐标系的建立，使直观的几何图形用数量运算得以完美实现某海滨城市附近海面出现台风据监测，当前台风中心位于城市O(如图
80、17)的东偏南(cos )方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大问：几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到侵袭持续多长时间？图17【解】法一坐标法以O为原点，正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示在时刻t(h)台风中心P(，)的坐标为此时台风侵袭的区域是(x)2(y)2r(t)2，其中r(t)10t60.若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有(0)2(0)2(10t60)2，即(30020t)2(30020t)2(10t60)2.化简整理得t236t2880，解得12t2
81、4.所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为12小时法二解三角形法假设经过t小时后，台风中心位置从P处转移到P处，由于OPB，且cos cos 45，所以45，连接OP，在OPP中，OP300，PP20t，cosOPPcos(45)cos cos 45sin sin 45.由余弦定理，得OP23002(20t)2230020t.若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有OP2(6010t)2，即3002(20t)2230020t(6010t)2.化简，得t236t2880，即(t12)(t24)0，解得12t24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为12小时转化与化归思想转化
82、与化归具体体现为化未知为已知，化抽象为具体，化一般为特殊，如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，空间直角坐标与柱坐标、球坐标的互化等都是这种思想的体现求经过极点O(0,0)，A(6，)，B(6，)三点的圆的极坐标方程【解】将点O，A，B的极坐标化为直角坐标，分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，所以过这三点的圆的圆心为(3,3)，半径为3，所以圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0.将xcos ，ysin 代入上述方程，得26(cos sin )0，即6cos()已知极坐标方程C1：10，C2：sin()6，(
83、1)化C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求C1、C2交点间的距离【解】(1)由C1：10，得2100，x2y2100，所以C1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆由C2：sin()6，得(sin cos )6.yx12，即xy120.所以C2表示直线(2)由于圆心(0,0)到直线xy120的距离为d6r10，所以直线C2被圆截得的弦长为2216.分类与整合思想许多数学问题因其字母取值范围的不同，或其中几何图形的相关位置不同等，分别会得出不同的结果解题时往往需要化整为零，逐个分类再加以整合，这种思想方法就是分类与整合的思想根据曲线的极坐标方程mcos23sin26c
84、os 0(mR)，判断曲线的类型【解】将极坐标方程mcos23sin26cos 0两边同乘以得m2cos232sin26cos 0，mx23y26x0.当m3时，直角坐标方程为x2y22x0，曲线为圆；当0m3或m3时，直角坐标方程的曲线为椭圆；当m0时，直角坐标方程为y22x，曲线为抛物线；当m0时，直角坐标方程的曲线为双曲线综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013许昌模拟)将曲线ysin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为()Ay3sin xBy3sin 2xCy3
85、sinx Dysin 2x【解析】由伸缩变换，得x，y.代入ysin 2x，有sin x，即y3sin x.变换后的曲线方程为y3sin x.【答案】A2极坐标方程sin (R，0)表示的曲线是()A两条相交直线 B两条射线C一条直线 D一条射线【解析】sin ，所以(0)和(0)，故其表示两条射线【答案】B3极坐标方程cos 化为直角坐标方程为()A(x)2y2Bx2(y)2Cx2(y)2D(x)2y2【解析】由cos 得2cos ，所以x2y2x，即(x)2y2.故选D.【答案】D4点A的球坐标为(2，)，则它的直角坐标为()A(1,1，) B(1,1，)C(1，1，) D(1,1，)【解
86、析】xrsin cos 2sincos1，yrsin sin 2sinsin1，zrcos 2cos.所以直角坐标为(1,1，)，故选A.【答案】A5与点A(1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为1的动点P的轨迹方程是()Ax2y23 Bx22xy1(x1)Cy Dx2y29(x0)【解析】设P(x，y)，则kPA(x1)，kPB(x1)又kPAkPB1，即1，得 x22xy1(x1)，故选B.【答案】B6在极坐标中，与圆4sin 相切的一条直线方程为()Asin 2 Bcos 2Ccos 4 Dcos 4【解析】圆4sin 的圆心为(2，)，半径r2，逐个验证知，B正确【答案】B7(201
87、3驻马店质检)圆4cos 的圆心到直线tan 1的距离为()A. B.C2 D2【解析】圆4cos 的圆心C(2,0)，如右图，|OC|2，在RtCOD中，ODC，COD，|CD|.即圆4cos 的圆心到直线tan 1的距离为.【答案】B8点M(1，)关于直线(R)的对称点的极坐标为()A(1，) B(1，)C(1，) D(1，)【解析】点M(1，)的直角坐标为(cos，sin)(，)，直线(R)，即直线yx，点(，)关于直线yx的对称点为(，)，再化为极坐标，即(1，)【答案】A9在球坐标系中，集合M(r，)|2r6,0，02表示的图形的体积为()A. B.C. D.【解析】由球坐标中r，的
88、含义知，该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球体积之差V(6323)208.故选A.【答案】A10圆r与圆2rsin()(r0)的公共弦所在直线的方程为()A2(sin cos )rB2(sin cos )rC.(sin cos )rD.(sin cos )r【解析】圆r的直角坐标方程为x2y2r2，圆2rsin()2r(sin coscos sin)r(sin cos )两边同乘以得2r(sin cos )，xcos ，ysin ，2x2y2，x2y2rxry0.整理得(xy)r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程再将直线(xy)r化为极坐标方程为(cos sin )r.【答案】D二、填空题
89、(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11在极坐标系中，点P(2,0)与点Q关于直线对称，则|PQ|_.【解析】直线的直角坐标方程为yx.设点P到直线的距离为d，则|PQ|2d2.【答案】212(2012陕西高考)直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_【解析】直线2cos 1可化为2x1，即x；圆2cos 两边同乘得22cos ，化为直角坐标方程是x2y22x.将x代入x2y22x得y2，y.弦长为2.【答案】13在极坐标系中，极点到直线l：sin()的距离是_【解析】由sin()，得sin cos 2，即直线直角坐标方程为xy2，又极点的直角坐标为(0,0)，极
90、点到直线的距离d.【答案】14已知点M的柱坐标为(，)，则点M的直角坐标为_，球坐标为_【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，由得由得即所以点M的直角坐标为(，)，球坐标为(，)【答案】(，)(，)15已知极坐标系中，极点为O，将点A(4，)绕极点逆时针旋转得到点B，且|OA|OB|，则点B的直角坐标为_【解析】依题意，点B的极坐标为(4，)，coscos()coscossinsin，sinsin()sincoscossin，xcos 4，ysin 4，点B的直角坐标为(，)【答案】(，)三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明证明过程
91、或演算步骤)图116(本小题满分12分)设极点O到直线l的距离为d，由点O向直线l作垂线，由极轴到垂线OA的角度为(如图1所示)求直线l的极坐标方程【解】在直线l上任取一点M(，)在直角三角形OMA中，由三角知识得cos()d，即.这就是直线l的极坐标方程17(本小题满分12分)(2013安阳调研)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x5)2(y6)21，求曲线C的方程，并判断其形状【解】将代入(x5)2(y6)21，得(2x5)2(2y6)21，即(x)2(y3)2，故曲线C是以(，3)为圆心，半径为的圆18(本小题满分12分)已知C：cos sin ， 直线l：.求C上
92、点到直线l距离的最小值【解】C的直角坐标方程是x2y2xy0，即(x)2(y)2.又直线l的极坐标方程为(cos sin )4，所以直线l的直角坐标方程为xy40.设M(cos ，sin )为C上任意一点，M点到直线l的距离d，当时，dmin.19(本小题满分13分)如图2，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米(精确到整数位)?图2【解】如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)依题意，有P(1，1)，p，故抛物线的方程为x2y，设B(x，2)，则x，
93、|OB|1.所以水池的直径为2(1)5(m)即水池的直径至少应设计为5 m.20(本小题满分13分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C的方程；(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程【解】(1)设M(，)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，COM1，作CKOM于K，则|OM|2|OK|2cos(1)，故圆C的极坐标为2cos(1)(2)将圆C：2cos(1)按逆时针旋转得到圆D：2cos(1)，即2sin(1)，故2sin(1)为所求21(本小题满分13分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：2与曲线C2：sin()交于不同的两点A、B.(1)求|AB|
94、的值；(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程【解】(1)法一2，x2y24.又sin()，yx2.|AB|222.法二设A(，1)，B(，2)，1，20,2)，则sin(1)，sin(2)，1，20,2)，|12|，即AOB，又|OA|OB|2，|AB|2.(2)法一曲线C2的斜率为1，过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为yx1，直线l的极坐标为sin cos 1，即cos().法二设点P(，)为直线l上任一点，因为直线AB与极轴成的角，则PCO或PCO，当PCO时在POC中，|OP|，|OC|1，POC，PCO，OPC，由正弦定理可知：，即sin()，即直线l的极坐标方程为：sin().同理，当PCO极坐标方程也为sin().当P为点C时显然满足sin().综上，所求直线l的极坐标方程为sin().
