1、第二节函数的单调性与最值一、基础知识批注理解深一点1增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可2单调性、单调区间若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间具有(严格
2、的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间. 有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接3函数的最值设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M或f(x)M.(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值或最小值函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值二、常用结论汇总规律多一点在公共定义
3、域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)g(x)是增函数；(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)g(x)是减函数；(5)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反；(7)复合函数yfg(x)的单调性与yf(u)和ug(x)的单调性有关简记：“同增异减”三、基础小题强化功底牢一点(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)具有相同单调性的函数的和、差、
4、积、商函数还具有相同的单调性()(3)若定义在R上的函数f(x)有f(1)Bm Dm解析：选B若函数y(2m1)xb在R上是减函数，则2m10，即m.2下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，)上单调递减的是()Ay Byx21 Cy2x Dylog2|x|解析：选B因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又yx21在 (0，)上单调递减，ylog2|x|在(0，)上单调递增，所以排除D.故选B.3函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2 B1,0 C0,2 D2，)解析：选A由于f(x)|x2|x结合图象(图略)可知函数的单调减区间是1,2(三)填一填4.设定义在1,7上的函数
5、yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_解析：由图可知函数的增区间为1,1和5,7答案：1,1和5,75函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之差为_解析：易知f(x)在2,0上是减函数，f(x)maxf(x)minf(2)f(0)(2).答案： 典例(1)求函数f(x)x22|x|1的单调区间(2)试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解(1)易知f(x)画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)法一：定义法设1x1x21，f(x)aa，则f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x
6、2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增解题技法判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减
7、来确定题组训练1下列函数中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)2xBf(x)|x1|Cf(x)x Df(x)ln(x1)解析：选C由(x1x2)f(x1)f(x2)0)在(0，)上的单调性解：设x1，x2是任意两个正数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0， 上是减函数；当x1a，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0， 上是减函数，在，)上是增函数 典例(1)(2019深圳调研)函数y|x1|x2|的值域为_(2)
8、若函数f(x)b(a0)在上的值域为，则a_，b_.(3)函数f(x)的最大值为_解析(1)图象法函数y作出函数的图象如图所示根据图象可知，函数y|x1|x2|的值域为3，)(2)单调性法f(x)b(a0)在上是增函数，f(x)minf，f(x)maxf(2)2.即解得a1，b.(3)当x0时，f(x)x24x(x2)24，而2(，0，此时f(x)在x2处取得最大值，且f(2)4；当x0时，f(x)sin x，此时f(x)在区间(0，)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.答案(1)3，)(2)1(3)4解题技法求函数最值的5种常用方法单调性法先确定函数的单调性，再由单调性结合端
9、点值求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值口诀归纳单调性，左边看，上坡递增下坡减；函数值，若有界，上界下界值域外提醒(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值题组训练1函数f(x)的值域为_解析：当x0时，f(x)x4，当且仅当x2时取等号
10、；当x0恒成立，则实数a的取值范围是_解析：对任意x1，)，f(x)0恒成立等价于x22xa0在x1，)上恒成立，即ax22x在x1，)上恒成立又函数yx22x在1，)上单调递减，(x22x)max3，故a3，又a1，3f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)答案A解题技法比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解考法(二)解函数不等式典例设函数f(x)若f(a1)f(2a1)，则
11、实数a的取值范围是()A(，1B(，2C2,6 D2，)解析易知函数f(x)在定义域(，)上是增函数，f(a1)f(2a1)，a12a1，解得a2.故实数a的取值范围是(，2答案B解题技法求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x)考法(三)利用单调性求参数的范围(或值)典例 (2019南京调研)已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_解析设1x11.函数f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.x1x20，
12、即ax1x2.1x11，x1x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac解析：选D由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数yf(x)的图象关于直线x1对称，所以aff.当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac.2已知函数f(x)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B由对数函数的定义可得a0，且a1.又函数f(x)在R上单调，而二次函数yax2x的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，故有即所以a.A级保大分专练1下列四个函数中，在x(0，)上为增函数的是()Af(x)3xBf(
13、x)x23xCf(x) Df(x)|x|解析：选C当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数2若函数f(x)ax1在R上单调递减，则函数g(x)a(x24x3)的单调递增区间是()A(2，) B(，2)C(4，) D(，4)解析：选B因为f(x)ax1在R上单调递减，所以a0.而g(x)a(x24x3)a(x2)2a.因为a0，所以g(x)在(，2)上单调递增3已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()
14、A. B.C. D.解析：选D因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.4(2019菏泽模拟)定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C由题意知当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32，又f(x)x2，f(x)x32在相应的定义域内都为增函数，且f(1)1，f(2)6，f(x)的最大值为6.5已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式3f(x1)1的解集的补集是(全集为R)()A(1,2) B(1
15、,4)C(，1)4，) D(，12，)解析：选D由函数f(x)是R上的增函数，A(0，3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式3f(x1)1即为f(0)f(x1)f(3)，所以0x13，所以1x2，故不等式3f(x1)1的解集的补集是(，12，)6已知函数f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，2C3，2 D(，0)解析：选C若f(x)是R上的增函数，则应满足解得3a2.7已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为_解析：设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3，所以函数f(x)的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数
16、tx22x3在(，1上单调递减，在3，)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为3，)答案：3，)8函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.答案：29若函数f(x)在区间2，a上的最大值与最小值的和为，则a_.解析：由f(x)的图象知，f(x)在(0，)上是减函数，2，a(0，)，f(x)在2，a上也是减函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(a)，a4.答案：410(2019甘肃会宁联考)若f(x)在区间(2，)上是增函
17、数，则实数a的取值范围是_解析：f(x)1，要使函数在区间(2，)上是增函数，需使a30，解得a0，解得m0.综上可得，m的取值范围是(0,12已知函数f(x)ln xx，若f(a2a)f(a3)，则正数a的取值范围是_解析：因为f(x)ln xx在(0，)上是增函数，所以解得3a3.又a0，所以a3.答案：(3，)3已知定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)1，当x0时，f(x) 1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解：(1)令xy0，得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x1，故原不等式的解集为x|x1