1、4.2曲线的极坐标方程42.1曲线的极坐标方程的意义课标解读1.理解曲线的极坐标方程的意义2.掌握求曲线的极坐标方程的基本方法和一般步骤3.掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化.1曲线的极坐标方程一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(，)0；并且，极坐标适合方程f(，)0的点都在曲线上那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线2求曲线的极坐标方程的基本步骤(1)建系(建立适当的极坐标系)；(2)设点(在曲线上任取一点P(，)，使点与坐标对应)；(3)列式(根据曲线上的点所满足的条件列出等式)；(4)化简(用极坐标，表示上述等式，化简得极坐标方程
2、)；(5)证明(证明所得的方程是曲线的极坐标方程)3直角坐标方程与极坐标方程的互化或1曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？【提示】由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(，)，(，2)，(，)，(，)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可例如对于极坐标方程，点M(，)可以表示为(，2)或(，2)或(，)等多种形式，其中，只有(，)的极坐标满足方程.2在极坐标系内，如何确定某一个点P是否在某曲线C上？【提示】在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所
3、有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一个坐标适合曲线C的方程即可求曲线的极坐标方程(1)求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程；(2)在极坐标系中，求半径为r，圆心为C(r，)的圆的极坐标方程【自主解答】(1)如图，设M(，)(0)为直线上除点A以外的任意一点，则xAM，OAM，OMA，在OAM中，由正弦定理得，即，所以sin()，即(sincos cossin )，化简，得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.(2)由题意知，圆经过极点
4、O，设OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，如图，则OA2r，连接AM，则OMMA，在RtOAM中，OMOAcosAOM，即2rcos()，即2rsin ，经验证，点O(0,0)，A(2r，)的坐标皆满足上式，所以满足条件的圆的极坐标方程为2rsin .(1)求从极点出发，倾斜角为的射线的极坐标方程(2)在极坐标平面上，求圆心为A，半径为5的圆的方程【解】(1)设M(，)是所求射线上的任意一点，则射线OM就是集合.所以所求射线的极坐标方程是(0)(2)在圆上任取一点P(，)，那么，在AOP中，OA8，AP5，AOP或.由余弦定理得5282228cos()，即216cos3
5、90为所求圆的极坐标方程.直角坐标方程与极坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)；(4)cos21；(5)2cos 24；(6).【自主解答】(1)将xcos ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos ，化简得sin24cos .(2)将xcos ，ysin 代入y2x22x10得(sin )2(cos )22cos 10，化简得22cos 10.(3)tan .tan，化简得yx(x0)(4)cos21.1即cos 2.x2，化简得y24(x1)(5)2cos 24，2(cos2sin2)4，即2cos22sin24，x2y2
6、4.(6)，2cos 1，2x1，化简得3x24y22x10.进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)yx；(2)x2y21；(3)cos 2；(4)2cos .【解】(1)将xcos ，ysin 代入yx得sin cos ，从而.(2)将xcos ，ysin 代入x2y21，得2cos22sin21，化简，得2.(3)cos 2，x2，是过点(2,0)且垂直于x轴的直线(4)2cos ，22cos ，x2y22x0，即 (x1)2y21.故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆.极坐标方程的应用已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos (0,0)，求曲线C1与C2交点的极坐标【
7、思路探究】联立两极坐标方程求解、即为交点的极坐标【自主解答】联立方程组得即4cos23，cos .又0，0，.将代入方程组，得2，C1与C2交点的极坐标为(2，)解决极坐标系中曲线问题大致有两种思路：化方程为直角坐标方程再处理；根据、的几何意义，数形结合在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长【解】直线l与曲线C的直角坐标方程分别是xy6和y28x.解方程组得或设A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.(教材第32页习题4.2第5题)将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)sin()3；(2)5
8、sin()；(3)2cos 216；(4).(2013泰州模拟)若曲线的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_【命题意图】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】2sin 4cos ，22sin 4cos ，x2y22y4x，即x2y22y4x0.【答案】x2y22y4x01在极坐标系中有如下三个结论：点P在曲线C上，则点P的极坐标满足C的极坐标方程；tan 1(R)和(R)表示同一条曲线；1和1表示同一条曲线其中正确的命题是_(填写相应的序号)【解析】在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中必有满足曲线方程的坐标，
9、但不一定所有坐标都满足极坐标方程，错误；tan 1(R)和 (R)均表示经过极点倾斜角为的直线，正确；1和1均表示以极点为圆心，1为半径的圆，正确【答案】2在极坐标系中，过点P(3，)且垂直于极轴的直线方程为_【解析】设直线与极轴的交点为A，则OAOPcos ，又设直线上任意一点M(，)，则OMcos OA，即cos .【答案】cos 3极坐标方程1表示_【解析】由1得21，即x2y21，故表示圆【答案】圆4在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是_【解析】由2sin 得22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为(1，
10、)【答案】(1，)1将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线yx(x0)；(2)圆x2y22ax0(a0)【解】(1)将xcos ，ysin 代入yx，得sin cos ，tan ，或.又x0，cos 0，射线yx(x0)的极坐标方程为(0)(2)将xcos ，ysin 代入x2y22ax0，得2cos22sin22acos 0，即(2acos )0，2acos ，圆x2y22ax0(a0)的极坐标方程为2acos .2分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)；(2)2tan .【解】(1)由cos 5，得x5.(2)x2y2(x0)，即x(x2y2)y0(x0)又在极坐标方程2
11、tan 中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x2y2)y0.3已知曲线C1的极坐标方程为6cos ，曲线C2的极坐标方程为(R)，曲线C1，C2相交于A，B两点(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度【解】(1)曲线C2：(R)表示直线yx；曲线C1：6cos 化为直角坐标方程，即x2y26x，即(x3)2y29.(2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d，r3，所以弦长AB3.4求点A(2，)到直线l：sin()2的距离【解】A(2，)的直角坐标为(1，)，l：sin()2，(sin cos )2.即： xy40.故A(1，)到
12、l：xy40的距离为3.5在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程【解】(1)由cos()1得(cos sin )1，即xy2，当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N(，)(2)M的直角坐标为(2,0)，N的直角坐标为(0，)P的直角坐标为(1，)P的极坐标为(，)所以直线OP的极坐标方程为(R)6在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2y21上的一个动点，且AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹方程【解】
13、以圆心O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(，)，P(1,2)因为SOAQSOQPSOAP.即3sin 1sin 31sin 2.整理得：cos .7(2013南京质检)在极坐标系中，圆C：10cos 和直线l：3cos 4sin 300相交于A、B两点，求线段AB的长【解】分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2y210x，即(x5)2y225，圆心C(5,0)；直线l：3x4y300，因为圆心C到直线l的距离d3，所以AB28.教师备选8在极坐标系中，P是曲线12sin 上的动点，Q是曲线12cos()上的动点，试求PQ的最大值【解】12sin ，212sin
14、，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos()，212(cos cossin sin)，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236.PQ的最大值为6618.42.2常见曲线的极坐标方程第1课时直线和圆的极坐标方程课标解读1.会求极坐标系中直线和圆的极坐标方程2.进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法3.进一步体会极坐标的特点，感受极坐标方程的美.1直线的极坐标方程若直线l经过点M(0，0)，且直线l的倾斜角为，则此直线的极坐标方程为sin()0sin(0)几种常见直线的极坐标方程：图4212圆的极坐标方程若圆心的坐标为M(0，0)，圆的半径为r，则圆的极坐标方程为220cos
15、(0)r20.几种常见圆的极坐标方程图4221求直线和圆的极坐标方程的关键是什么？【提示】求直线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表示成和之间的关系式这一过程需要用到解三角形的知识用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的一个难点直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转化而来2直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？【提示】(1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但一般约定只在规定范围内求值；(2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端.求直线的极坐标方程求：(1)过A且平行于极轴的直线；(2)过A且
16、和极轴成的直线【自主解答】(1)如图1所示，在所求直线上任意取点M(，)，过M作MHOx于H，连OM.A，MH2sin，在RtOMH中，MHOMsin ，即sin ，所以，过A平行于极轴的直线方程为sin . (2)如图2所示，在所求直线上任取一点M(，)，A，OA3，AOB，由已知ABx，所以OAB，OAM.又OMAMBx，在MOA中，根据正弦定理得.sinsin.将sin展开，化简上面的方程，可得(cos sin ).所以，过A且和极轴成的直线方程为(cos sin ).设P(2，)，直线l过P点且倾斜角为，求直线l的极坐标方程【解】如图所示，设M(，)(0)为直线l上除P点外的任意一点，
17、极点为O，连接OM，OP，该直线交Ox于点A，则有OM，OP2，MOP|，OPM，所以OMcosMOPOP，即cos|2，即cos()2，显然点P也在这条直线上故所求直线的极坐标方程为cos()2.求圆的极坐标方程(1)求以B(3，)为圆心，3为半径的圆(2)求以极点和点N所连线段为直径的圆的极坐标方程【自主解答】(1)圆心为B(3，)，半径为3.所求圆的极坐标方程为6sin .(2)如图，设M(，)为圆上任一点，则有ONcosNOMOM，即2cos就是所求圆的极坐标方程求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程【解】如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一
18、个交点是A，在圆上任取一点P(，)，连接OP，PA，在RtOPA中，OA8，OP，AOP，OAcos ，即8cos ，即8cos 就是圆C的极坐标方程.极坐标的应用在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值【思路探究】将圆2cos 与直线3cos 4sin a0化为普通方程后求解【自主解答】2cos ，22cos ，圆的普通方程为：x2y22x，(x1)2y21，直线3cos 4sin a0的普通方程为：3x4ya0，又圆与直线相切，所以1，解得：a2，或a8.理解极坐标的概念，能进行极坐标与直角坐标的互化，根据条件建立相应曲线的极坐标方程已知圆C1：2co
19、s ，圆C2：22sin 20，试判断这两个圆的位置关系【解】法一圆C1是圆心C1(1,0)，半径r11的圆化圆C2为极坐标系下圆的一般方程为22cos()2120，得：122()22cos()知圆心C2(，)，半径为r21，C1C2的距离为2，则C1与C2外切法二将极坐标方程化为直角坐标方程C1：22cos ，即x2y22x，即(x1)2y21，圆心C1(1,0)，半径r11.C2：x2y22y20，即x2(y)21.圆心C2(0，)，半径r21，C1C2211r1r2，故C1与C2外切(教材第32页习题4.2第2题)按下列条件写出圆的极坐标方程：(1)以A(2,0)为圆心，2为半径的圆；(
20、2)以B(4，)为圆心，4为半径的圆；(3)以C(5，)为圆心，且过极点的圆；(4)以D(，)为圆心，1为半径的圆(2013安徽高考改编)在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为_(填序号)0(R)和cos 2(R)和cos 2(R)和cos 10(R)和cos 1【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，圆的方程及其切线的求解，考查知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识【解析】由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于极轴的两条切线方程为x0和x2，相应的极坐标方程为(R)和cos 2.【答案】1极坐标方程
21、为2cos 的圆的半径是_【解析】2cos ，22cos ，即x2y22x.化简，得(x1)2y21.半径为1.【答案】12直角坐标方程xy20的极坐标方程为_【答案】sin()3过点A(2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是_【解析】如图所示，设M(，)为直线上除A(2,0)外的任意一点，连接OM，则有AOM为直角三角形，并且AOM，OA2，OM，所以有OMcos OA，即cos 2，显然当2，0时，也满足方程cos 2，所以所求直线的极坐标方程为cos 2.【答案】cos 24(2012江西高考)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲
22、线C的极坐标方程为_【解析】直角坐标方程x2y22x0可化为x2y22x，将2x2y2，xcos 代入整理得2cos .【答案】2cos 1极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是什么？【解】由(1)()0(0)得，1或.其中1表示以极点为圆心半径为1的圆，表示以极点为起点与Ox反向的射线2在极坐标系(，)(02)中，求曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标【解】曲线(cos sin )1与(sin cos )1的直角坐标方程分别为xy1和yx1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，)3(2012安徽高考改编)在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线
23、(R)的距离【解】极坐标系中的圆4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2y24y，即x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线转化为平面直角坐标系中的方程为yx，即x3y0.圆心(0,2)到直线x3y0的距离为.4已知A是曲线3cos 上任意一点，则点A到直线cos 1距离的最大值和最小值分别为多少？【解】将极坐标方程3cos 转化成直角坐标方程：x2y23x，即2y2.cos 1即x1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.图4235如图423，点A在直线x5上移动，等腰三角形OPA的顶角OPA120(O、P、A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程【解】取O为极点，x
24、轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线x5的极坐标方程为cos 5.设P、A的坐标依次为(，)，(0，0)，则0，030.代入直线的极坐标方程cos 5，得cos(30)5，即为点P的轨迹方程6在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r3.(1)写出圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQQP32，求动点P的轨迹方程【解】(1)圆C的极坐标方程为6cos.(2)设P的坐标为(，)，因为P在OQ的延长线上，且OQQP32，所以点Q的坐标为，因为点Q在圆C上运动，所以6cos，即10cos，故点P的轨迹方程为10cos.7(2012常州质检)已知圆M的极坐标方程为24
25、cos()60，求的最大值【解】原方程化为24(cos sin )60.即24(cos sin )60圆的直角坐标方程为x2y24x4y60，圆心M(2,2)，半径为，maxOM23.教师备选8(2012江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线sin()与极轴的交点，求圆C的极坐标方程【解】在sin()中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P(，)，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .第2课时圆锥曲线的统一极坐标方程及应用课标解读1.掌握极坐标系中圆锥曲线的方程2.会求简单的圆锥曲线的极坐标方程3.感受在极坐标系中椭圆、
26、双曲线、抛物线方程的完美统一.圆锥曲线的统一极坐标方程， (*)其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距当0e1时，方程表示椭圆；当e1时，方程(*)为，表示抛物线；当e1时，方程表示双曲线，其中R.1用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？【提示】应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，cos 的系数的绝对值才表示曲线的离心率如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为，则e，表示椭圆2我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】如果对简
27、单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线椭圆极坐标方程的应用已知A、B为椭圆1(ab0)上两点，OAOB(O为原点)求证：为定值【自主解答】以O为极点，x轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则xcos ，ysin ，代入1中得.设A(1，)，B.(为定值)本例条件不变，试求AOB面积的最大值和最小值【解】由例题解析得，SAOB12，而1，2，SAOB当sin21时，(SAOB)maxab；当sin2时，(SAOB)min.双曲线极坐标方程的应用过双曲线1的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，求AB
28、.【思路探究】求出双曲线极坐标方程，得出A、B两点极坐标，进而求AB.【自主解答】双曲线1中，a2，b，c3，所以e，p.取双曲线的右焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为.代入数据并化简，得.设A，B，于是AB|12|.应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便椭圆和抛物线中，该弦长都表示为12，而双曲线中，弦长的一般形式是|12|.已知双曲线的极坐标方程是，求双曲线的实轴长、虚轴长和准线方程【解】双曲线方程可以化为，所以e，p.设c5r，a4r，则b2c2a29r2.由p，得r1.所以2a8,2b6.所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6.准线方程c
29、os p，即cos ；或cos p2，即cos .抛物线极坐标的应用已知抛物线y24x的焦点为F.(1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；(2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若AB16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜角【自主解答】(1)极坐标方程为.(2)设A(1，)，B(2，)AB1216，即sin2得sin .故l的倾斜角为或.平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l：x2.求与定点F的距离和定直线l的距离的比等于常数的点的轨迹的极坐标方程【解】过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系由题
30、意，设所求极坐标方程为，定点F(2,0)，定直线l：x2，p为F点到直线l的距离，为2(2)4.又常数e，所求点的轨迹的极坐标方程为，即.(教材第33页习题4.2第10题)我国自行研制的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为439 km和2 384 km.若地球半径取6 378 km，试写出卫星运行轨道的极坐标方程(2013西安模拟)已知双曲线的极坐标方程为，过极点作直线与它交于A，B两点，且AB6，求直线AB的极坐标方程【命题意图】本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程【解】 设直线AB的极坐标方程为1，A(1，1)，B(2，1)
31、则1，2.AB|12|6，1.cos 10或cos 1.故直线AB的极坐标方程为或或.1抛物线(0)的准线方程为_【答案】cos 42设椭圆的极坐标方程是，则的取值范围是_【解析】，所以离心率e，由01，得(0,2)【答案】(0,2)3椭圆的焦距是_【答案】4双曲线的焦点到准线的距离为_【答案】1过椭圆1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA2FB，求直线l的斜率【解】椭圆1中，a5，b3，c4，所以e，p.取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为.设A(1，)、B(2，)由题设得122.于是2，解得cos ，所以tan ，即直线l的斜率
32、为.2已知椭圆方程为，过左焦点引弦AB，已知AB8，求AOB的面积【解】如图，设A(1，)、B(2，)所以12.因为AB8，所以8，所以cos2，sin .由椭圆方程知e，则c3.SAOBSAOFSBOFOF1sin OF2sin 8.图4243如图424，过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MNAB，并交对称轴于N.求证：MN2AFBF.【证明】取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为.设A(1，)、B(2，)，则AFBF.不妨设0，则MF(12)().所以MNMFtan tan .所以MN2AFBF.图4254如图425，已知圆F：x2y
33、24x0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点(1)当直线的斜率为2时，求ABCD；(2)当为何值时，ABCD有最小值？并求这个最小值【解】圆F：x2y24x0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系则圆F的坐标方程为2，抛物线G的极坐标方程为.设A(1，)、D(2，)，所以ABAF2，CDFD2，即ABCDAFFD41244444.(1)由题意，得tan 2，所以sin2.所以ABCD46.(2)ABCD4，当sin21，即时ABF2的面
34、积取到最小值4.5已知抛物线，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求FAB的面积的最小值【解】设A(1，)、B，则1，2.FAB的面积为S12.设tsin cos ，则sin cos .所以1cos sin sin cos 1t(t1)2.又tsin cos sin，所以当t，即时，FAB的面积S有最小值.6已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个顶点，且F1PF290.(1)求椭圆C的离心率；(2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，且ABF2的面积的最大值为12，求椭圆C的方程【解】(1)因为F1PF290，所以PFPFF1F，即a2a24c2.所以e.(2
35、)以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为.设A(1，)、B(2，)，则ABAFFB12.因为F1F22c，所以ABF2的边AB上的高h为2c|sin |，ABF2的面积SABh.因为|sin |2，所以当|sin |1，即或时S取到最大值所以当l过左焦点且垂直于极轴时，ABF2的面积取到最大值pc，所以pc12，即b26.故a2c26.又，所以a212，c26.所求椭圆的方程为1.7已知椭圆1，直线l：1，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线【解】如图，以O为极点，O
36、x为极轴，建立极坐标系，则：椭圆的极坐标方程为2，直线l的极坐标方程.由于点Q、R、P在同一射线上，可设点Q、R、P的极坐标分别为(，)、(1，)、(2，)，依题意，得，2.由|OQ|OP|OR|2得2(0)将代入，得，则(0)这就是点Q的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程，得2x23y24x6y，即1(x、y不同时为0)点Q的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于x轴，长、短半轴长分别为，的椭圆(去掉坐标原点)教师备选8建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB|2r(r0)，半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T，并且|AT|2a(2a)若半圆上相异两点M，N到l的距离|MP|、|NQ|满足
37、|MP|：|MA|NQ|：|NA|1，则|MA|NA|AB|.【证明】法一以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为2rcos ，设M(1，1)，N(2，2)，则12rcos 1，22rcos 2，又|MP|2a1cos 12a2rcos21，|NQ|2a2cos 22a2rcos22，|MP|2a2rcos212rcos1，|NQ|2a2rcos222rcos 2，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的两个根，由韦达定理：cos 1cos 21，|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为2rcos ，设M(1，1)，N(2，2)，又由题意知，M(1，1)，N(2，2)在抛物线上，2rcos ，rcos2rcos a0，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的两个根，由韦达定理：cos 1cos 21，得|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.