1、第4节数系的扩充与复数的引入最新考纲1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义知 识 梳 理1复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚
2、数，各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为zabi(a，bR)，则向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：(cdi0)常用
3、结论与微点提醒1(1i)22i；i；i.2baii(abi)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)4i4ni4n1i4n2i4n30(nN)诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(3)原点是实轴与虚轴的交点()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小答案(1)(2)(3)(4)2(2018湖州调研)设i是虚数单位，复数12i的虚部是()A2 B2 C2i D2i解析复数12i的
4、虚部是2.答案A3(2017全国卷)()A12i B12iC2i D2i解析2i.答案D4(选修22P112A2改编)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i解析A(6，5)，B(2，3)，线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z24i.答案C5已知(12i)43i，则z_解析2i，z2i.答案2i6(2018金华调研)设aR，若复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a_，|_解析复数，由于复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a11a，解得a0，则zi，则|.答案0考点一复数的有关概念【例1
5、】 (1)i为虚数单位，i607的共轭复数为()Ai Bi C1 D1(2)(2018台州调考)已知复数z(aR)的实部为1，则a_，|z|_解析(1)因为i607(i2)303ii，i的共轭复数为i.所以应选A.(2)zai，实部a1，所以z1i，|z|.答案(1)A(2)1规律方法(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部【训练1】 (1)(2017天津卷)已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_(2)设复数ab
6、i(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_解析(1)i为实数，则0，即a2.(2)因为复数abi(a，bR)的模为，即，所以(abi)(abi)a2b2i2a2b23.答案(1)2(2)3考点二复数的几何意义【例2】 (1)(2018浙江“超级全能生”联考)在复平面内，复数z1i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为()A1i B1i C1i D1i(2)(2017北京卷)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)解析(1)因为z22i，而，故向量对应的复数为2i(1i)1i，故选D.(2)(1
7、i)(ai)a1(1a)i的对应点在第二象限，则a1，故选B.答案(1)D(2)B规律方法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可【训练2】 (1)复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为()A(1，1) B(1，1)C(1，1) D(1，1)(2)设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_解析(1)因为zi(1i)1i，故复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为(1，1)，故选D.(2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1.答案(1)D(2)1
8、考点三复数的运算【例3】 (1)(2017山东卷)已知i是虚数单位，若复数z满足zi1i，则z2()A2i B2i C2 D2(2)(2018绍兴调测)已知i是虚数单位，复数z，则z()A25 B5 C. D.解析(1)由zi1i，得z1i，z2(1i)22i.(2)zi，i，则z.答案(1)A(2)D规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)【训练3】 (1)(2016北京卷)复数()Ai
9、B1i Ci D1i(2)_解析(1)i，故选A.(2)原式i61i.答案(1)A(2)1i基础巩固题组一、选择题1(2018金华十校模拟)已知i为虚数单位，则|32i|()A. B. C. D3解析|32i|.答案C2(2017全国卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)解析由(1i)22i为纯虚数知选C.答案C3(2017全国卷)复平面内表示复数zi(2i)的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析由题意：z12i，其在复平面内所对应的点位于第三象限答案C4(2017山东卷)已知aR，i是虚数单位若zai，z4，则a(
10、)A1或1 B.或C D.解析由已知得(ai)(ai)4，a234，解得a1.答案A5(2018杭州模拟)设z(i为虚数单位)，则()A. B. C. D2解析复数zi，则|z|，.答案B6已知复数z(i为虚数单位)，则z的虚部为()A1 B0 C1 Di解析zi，故虚部为1.答案C7已知复数z满足(z1)i1i，则z等于()A2i B2i C2i D2i解析由(z1)i1i，两边同乘以i，则有z11i，所以z2i.答案C8(2018浙江三市联考)若复数za在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A4 B3 C1 D2解析因为za(3a)ai在复平面上对应的点在第二象限，所以a3，选A
11、.答案A9设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数 B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20 D若z是纯虚数，则z20解析举反例说明，若zi，则z210，故选C.答案C10(2017北京东城综合测试)若复数(m2m)mi为纯虚数，则实数m的值为()A1 B0 C1 D2解析因为复数(m2m)mi为纯虚数，所以解得m1，故选C.答案C11(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1 B. C. D2解析由(1i)x1yi，得xxi1yi所以|xyi|，故选B.答案B12设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则12
12、B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z11z22D若|z1|z2|，则zz解析A中，|z1z2|0，则z1z2，故12，成立B中，z12，则1z2成立C中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即z11z22，C正确D不一定成立，如z11i，z22，则|z1|2|z2|，但z22i，z4，zz.答案D二、填空题13设i是虚数单位，则复数i_解析ii2i.答案2i14(2017江苏卷)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_解析z(1i)(12i)13i，所以|z|.答案15(2017浙江卷)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_解析由
13、已知(abi)234i.即a2b22abi34i.从而有解得则a2b25，ab2.答案5216(2018宁波质测)若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a_；b_解析(3b)(3b)ii.解得答案03能力提升题组17设zi，则|z|()A. B. C. D2解析ziiii，|z|，故选B.答案B18(一题多解)(2018金丽衢十二校二联)设z是复数，|zi|2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是()A1 B2 C3 D4解析法一|zi|2表示复数z在复平面上的对应的点在以(0，1)为圆心，半径为2的圆内(含边界)，而|z|表示此圆内(含边界)到原点的距离，其最大值为123.法二因为2|zi
14、|z|i|z|1，即|z|3.答案C19(一题多解)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z等于()A1i B1i C1I D1i解析法一设zabi，a，b为实数，则abi.z2a2，a1.又(z)i2bi22b2，b1.故z1i.法二(z)i2，z2i.又z2，(z)(z)2i2，2z2i2，z1i.答案D20(2018温州月考)已知复数z(cos isin )(1i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A B C D解析因为z(cos sin )(cos sin )i，所以当时，zi为纯虚数，当z为纯虚数时，k(kZ)故选C.答案C21若1i(i是虚数单位)是关于x
15、的方程x22pxq0(p，qR)的一个解，则pq()A3 B1 C1 D3解析依题意得(1i)22p(1i)q(2pq)2(p1)i0，即解得p1，q2，所以pq1，故选C.答案C22(2018杭州月考)i是虚数单位，若abi(a，bR)，则lg(ab)的值是()A2 B1 C0 D.解析iabi，lg(ab)lg 10.答案C23若复数z满足iz(1i)，则z的共轭复数的虚部是()Ai B.I C D.解析iz(1i)z(1i)，则z的共轭复数(1i)，其虚部是.答案C24下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2; p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i; p4：z的虚部为1.其中的真命
16、题为()Ap2，p3 Bp1，p2Cp2，p4 Dp3，p4解析z1i，|z|，p1是假命题；z2(1i)22i，p2是真命题；1i，p3是假命题；z的虚部为1，p4是真命题其中的真命题共有2个：p2，p4.答案C25复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_解析z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)在第三象限内，故3m20且m10，m.答案26(2018绍兴一中适应性考试)设zabi(a，bR，i为虚数单位)，若(1i)2|2i|，则直线bxaya0的斜率为_解析由于(1i)2|2i|2i2，则z22i，可得a2，b2，即直线的方程为2x2y20，亦即yx1，故斜率k1.答案127(2018宁波月考)已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_；最小值为_解析|z2|，(x2)2y23.由图可知.答案解析因为xi.答案2