1、单元质检卷六平面向量、复数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021北京,2)在复平面内,复数z满足(1-i)z=2,则z=()A.2+iB.2-iC.1-iD.1+i2.已知向量a=(1,2),b=(2,x),且ab=-1,则x的值等于()A.12B.-12C.32D.-323.已知i是虚数单位,若复数z=54+3i,则z的共轭复数z=()A.45+35iB.4535iC.-45+35iD.-4535i4.(2021山东临沂一模)如图,若向量OZ对应的复数为z,且|z|=5,则1z=(
2、)A.15+25iB.-1525iC.1525iD.-15+25i5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为边DC的中点,F为BE的中点,则AFAE=()A.3B.2C.32D.126.(2021福建厦门模拟)向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)(a-b),则x=()A.-2B.2C.2D.27.已知向量a=(1,2),|b|=2,|a-b|=13,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.568.在ABC中,ABBC3=BCCA2=CAAB,则sin Asin Bsin C=()A.534B.543C.523D.5329.若mR,则复数m+i1-i在复平面内所对应的点
3、不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.已知平面向量a=(2,2),b=(1,m),且|2a-b|=|a+b|,则()A.ab=4B.ab=0C.m=-1D.|b|=211.设z为复数,则下列选项错误的是()A.|z|2=zzB.z2=|z|2C.若|z|=1,则|z+i|的最大值为2D.若|z-1|=1,则0|z|212.已知P为ABC所在平面内一点,则下列选项错误的是()A.若PA+3PB+2PC=0,则点P在ABC的中位线上B.若PA+PB+PC=0,则P为ABC的重心C.若ABAC0,则ABC为锐角三角形D.若AP=13AB+23AC,则ABC与ABP的面积比
4、为32二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(m,1),b=(4,m),向量a在b上的投影向量的模为5,则m=.14.(2021山东省实验中学二模)设向量a=(1,m),b=(2,1),且b(2a+b)=7,则m=.15.(2021湖北七市联考)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,设AC与BD交于点O,则AOBO=.16.(2021天津,15)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DEAB且交AB于点E.DFAB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为,(DE+DF)DA的最小值为.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤.17.(10分)已知复数z=bi(bR),z-21+i是纯虚数,i是虚数单位.(1)求复数z;(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第二象限,求实数m的取值范围.18.(12分)(2021江苏海门第一中学高三期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,3),B(2,-2),C(4,1).(1)若AB=3CD,求点D的坐标;(2)设实数k满足(kAB+2OC)OC=4,求实数k的值.19.(12分)已知a=(cos x,sin x),b=(1,0),c=(4,4).(1)若a(c-b),求tan x;(2)求|a+b|的最大值,并求出对应的x的值.20.(12分)如图,在长方形
6、ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且CFCB=23.设AB=a,AD=b.(1)试用基a,b表示AE,EF;(2)若G为长方形ABCD内部一点,且AG=34a+23b,求证:E,G,F三点共线.21.(12分)已知O为坐标原点,OA=(2cos x,3),OB=(sin x+3cos x,-1),若f(x)=OAOB+2.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;(2)当x0,2时,若函数g(x)=f(x)+m有零点,求实数m的取值范围.22.(12分)已知e1,e2是平面内的两个不共线向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+e2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求
7、实数的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标;(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.单元质检卷六平面向量、复数1.D解析:由题意可得z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i.故选D.2.D解析:因为a=(1,2),b=(2,x),所以ab=12+2x=-1,解得x=-32.故选D.3.A解析:复数z=54+3i=5(4-3i)(4+3i)(4-3i)=4535i,则z=45+35i,故选A.4.D解析:根据图形可设z=-1+bi,b0,因为|z|=5,所以(-1)2+b2=5
8、,解得b=2,所以z=-1+2i,则z=-1-2i,所以1z=1-1-2i=-1+2i(-1-2i)(-1+2i)=-1+2i5=-15+25i.故选D.5.B解析:以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,1),F32,12,AF=32,12,AE=(1,1),AFAE=32+12=2.故选B.6.C解析:(方法1)a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=0,即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=2.(方法2)因为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=0,即a2-b2=0,即|a|=|b|,所
9、以x=2.故选C.7.D解析:因为|a-b|=13,所以(a-b)2=13,即a2-2ab+b2=13.设a与b的夹角为,则3-232cos+4=13,解得cos=-32,所以a与b的夹角为56.故选D.8.D解析:由题意,在ABC中,ABBC3=BCCA2=CAAB,设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,利用向量的数量积的定义可知accos(-B)3=abcos(-C)2=bccos(-A),即accosB3=abcosC2=bccosA1,即ac3a2+c2-b22ac=ab2a2+b2-c22ab=bc1b2+c2-a22bc,即2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=
10、6b2+6c2-6a2,设2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2=12k,k0,解得a2=5k,b2=3k,c2=4k,所以a=5k,b=3k,c=4k,所以由正弦定理可得abc=sinAsinBsinC=532.故选D.9.D解析:m+i1-i=(m+i)(1+i)(1-i)(1+i)=m-12+m+12i,当m1时,对应的点在第一象限;第-1m1时,对应的点在第二象限;当m0,AB与AC夹角为锐角,即A为锐角,但此时B,C有可能是直角或钝角,故无法说明ABC为锐角三角形,故C错误;对于D,AP=13AB+23AC,13(ABAP)+23(ACAP)=0,PB
11、+2PC=0,P为线段BC上靠近C的三等分点,即BP=23BC,SABCSABP=BCBP=32,故D正确.故选C.13.2或-2解析:由题意可知,向量a在b上的投影数量为ab|b|=|m4+1m|42+m2=|5m|16+m2=5,两边平方,可得25m216+m2=5,解得m=-2或m=2.14.-1解析:向量a=(1,m),b=(2,1),2a+b=(4,2m+1).b(2a+b)=7,8+2m+1=7,解得m=-1.15.-34解析:AOBO=12AC12BD=14(AB+AD)(ADAB)=14(AD2AB2)=14(12-22)=-34.16.11120解析:设BE=x,x0,12,
12、ABC为边长为1的等边三角形,DEAB,BDE=30,BD=2x,DE=3x,DC=1-2x.DFAB,DFC为边长为1-2x的等边三角形,DEDF,(2BE+DF)2=4BE2+4BEDF+DF2=4x2+4x(1-2x)cos0+(1-2x)2=1,|2BE+DF|=1.(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE+EA)=DE2+DFEA=(3x)2+(1-2x)(1-x)=5x2-3x+1=5x-3102+1120,当x=310时,(DE+DF)DA取最小值为1120.17.解(1)z=bi(bR),z-21+i=bi-21+i=(bi-2)(1-i)(1+i)(1-i)=(b-2)+(b
13、+2)i2=b-22+b+22i.又z-21+i是纯虚数,b-22=0,b=2,即z=2i.(2)z=2i,mR,(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi.又复数在复平面内对应的点在第二象限,m2-40,解得0m2,故实数m的取值范围为(0,2).18.解(1)因为A(1,3),B(2,-2),C(4,1),所以AB=(1,-5).设D(x,y),则CD=(x-4,y-1).因为AB=3CD,所以(1,-5)=(3x-12,3y-3),所以3x-12=1,3y-3=-5,解得x=133,y=-23,所以点D的坐标为133,-23.(2)OC=(4,1),kAB+
14、2OC=(k+8,-5k+2).因为(kAB+2OC)OC=4,所以4(k+8)+(-5k+2)=4,解得k=30.19.解(1)c-b=(3,4),由a(c-b)得4cosx-3sinx=0,tanx=sinxcosx=43.(2)a+b=(cosx+1,sinx),(a+b)2=(cosx+1)2+sin2x=2+2cosx,|a+b|=2+2cosx,当cosx=1,即x=2k,kZ时,|a+b|取得最大值为2.20.(1)解AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB=b+12a,EF=EC+CF=12AB+23CB=12AB23AD=12a-23b.(2)证明AG=34a+23b
15、,EG=AGAE=14a-13b,EF=12a-23b=2EG,EF,EG共线.又EF,EG有一公共点E,E,G,F三点共线.21.解(1)OA=(2cosx,3),OB=(sinx+3cosx,-1),f(x)=OAOB+2=2cosxsinx+23cos2x-3+2=sin2x+3cos2x+2=2sin2x+3+2,令2x+3=2+k,kZ,得x=k2+12,kZ,故f(x)图象的对称轴方程为x=k2+12,kZ.(2)x0,2,g(x)=f(x)+m有零点,-m=f(x)在0,2上有解.x0,2,2x+33,43,-32sin2x+31,f(x)(-3+2,4,实数m的取值范围为-4,
16、3-2).22.解(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+e2)=e1+(1+)e2.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得AE=kEC,即e1+(1+)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-)e2.因为e1,e2是平面内的两个不共线向量,所以1+2k=0,k-1-=0,解得k=-12,=-32.(2)BC=BE+EC=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以AD=BC.设A(x,y),则AD=(3-x,5-y).因为BC=(-7,-2),所以3-x=-7,5-y=-2,解得x=10,y=7,即点A的坐标为(10,7).