1、安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期模拟考试题（五）理（含解析）测试范围：学科内综合共150分，考试时间120分钟第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集，集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出后可求.【详解】，故.故选：B.【点睛】本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题.2.若复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先由，解得，再求，然后用几何意
2、义判断.【详解】因为，所以，所以，所以对应的点在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3.已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数是幂函数，得到，再由在区间上是奇函数，得到，然后用函数的单调性判断.【详解】因为函数是幂函数，所以 ，所以，又因为在区间上是奇函数，所以，即，因为，又为增函数，所以.故选：A【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4.已知双曲线的两个实轴顶点为，点为虚轴顶点，且，则双曲
3、线的离心率的范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，所以为钝角，有求解.【详解】根据题意，所以为钝角，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.5.已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设A=抽取1张红桃和2张其他纸牌，B=第二次从中抽取1张红桃和2张方片，先明确是条件概率类型，求，再代入公式求解.【详解】设A=抽取1张红桃和
4、2张其他纸牌；B=第二次从中抽取1张红桃和2张方片；，所以.故选：C【点睛】本题主要考查了条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.已知向量，函数在区间上单调，且的最大值是，则（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】由，利用数量积运算得到，再根据函数在区间上单调，且的最大值是，求得周期，确定函数再求值.【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调，且的最大值是，所以，即，所以.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量，数量积运算及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7.如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）A. 10B
5、. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】根据循环结构，从开始，一一验证，直至时，对应的值.【详解】输入的，程序框图运行如下：，.所以输出的故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.8.设是的对角线的交点，三角形的高为2，为任意一点，则（ ）A. 6B. 16C. 24D. 48【答案】B【解析】【分析】根据，有在向量的射影为，根据向量加、减法运算，将转化求解.【详解】因为，所以在向量的射影为，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的加法，减法运算及向量的投影，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.9.设
6、满足约束条件，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据约束条件，作出可行域，目标函数表示表示点和两点的距离的平方，然后用数形结合求解.【详解】由约束条件作出可行域如图，令，则表示点和两点的距离，由图可得，联立，解得，所以过作于，则，所以.故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10.已知数列满足，则展开式中的常数项为（ ）A. B. C. 80D. 160【答案】D【解析】【分析】根据，得数列等比数列，求得，再由，确定n，得到为 ，然后利用通项公式求解.【详解】因为，所以数列为等比数列，所以，所以，解得
7、所以，其中展开式的第r+1项为，令，得（舍去），令，得 可得，所以二项式展开式中常数项为故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.如图，已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据图形，外面的六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个同底的圆台，再根据圆台的体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求.【详解】根据题意，外面的六边
8、形边长为，旋转得到的几何体是两个同底的圆台，上底半径为，下底半径为，高为 ，所以旋转得到的几何体的体积为，内部的六边形边长为1旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥，圆锥的底面半径为，高为，圆柱的底面半径为，高为1，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为，所以几何体的体积为.故选：B【点睛】本题主要考查了空间几何体的组合体的体积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.12.已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分段函数，分当，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究.【详解】当时，令，在是增函数，时，有一个零点，
9、当时，令当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以当时，取得最大值，因为在上有3个零点，所以当时，有2个零点，如图所示：所以实数的取值范围为综上可得实数的取值范围为， 故选：B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上）13.已知抛物线，是上的一点，若焦点关于的对称点落在轴上，则_.【答案】6【解析】【分析】根据间的对称关系，结合点在轴上，求得点的横坐标，再利用抛物线的定义求解.【详解】设, 因为为的中点，且点在轴上， 所以的横坐标为，由抛物线的定义
10、得，.故答案为：6【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及对称问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.14.南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式例如方亭(正四梭台)体积为，其中为上底边长，为下底边长，为高杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有层，最下层(即下底)由个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：根据以上材料，我们可得_.【答案】【解析】【分析】根据题意，在中，令，即可得到结论.【详解】根据题意，令，.故答案为：【点睛】本题主要考
11、查了类比推理，还考查了抽象概括问题的能力，属于基础题.15.某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为，则俯视图的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据三视图，得到这个几何体为一个放倒的四棱锥，画出直观图，根据三视图，正视图为底面，高为俯视图的高，由体积求得高，得到俯视图的边长即可.【详解】由三视图可知，几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为，几何体的体积为，即点到平面的距离为，又因为俯视图三角形底边长为2，所以俯视图的面积为故答案为：【点睛】本题主要考查了三视图与直观图，还考查了数形结合的思想和空间想象的能力，属于中档题.16.在中，分别是的中点，且，若的面积不小于，则的最小值为_
12、.【答案】【解析】【分析】根据题意，在，中，利用余弦定理分别求得，建立模型，然后根据的面积不小于，确定的范围，再利用函数求最值.【详解】根据题意，如图所示：因为点分别为的中点，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，又因为的面积不少于6，所以所以 当取最大时，有最小值，最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列的前项和记为，；等差数列中，且的前项和为，.（1）求与的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和.【答案】（1） （
13、2）【解析】分析】（1）由，得到 然后两式相减得 从而得到数列是等比数列，再分别求与的通项公式.（2）根据（1）得到，再用裂项相消法求和.【详解】（1）， 又，所以数列为等比数列，.设数列的公差为，.（2）由题意得：所以前项和.【点睛】本题主要考查了数列通项与前n项和之间的关系以及裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18.京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台我爱京剧的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目贵妃醉酒选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场
14、40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：京剧票友一般爱好者合计50岁以上15102550岁以下31215合计182240试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜次，求随机变量的分布列与期望.参考数据：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0
15、050.0013.8415.0246.6357.87910.828参考公式：【答案】（1）在犯错误的概率不超2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（2）见解析，【解析】【分析】（1）根据列联表，利用公式求得卡方值，对应卡值下结论.（2）根据题意，分四种情况，一是猜2次，2人全是“梅派”传人”，二猜3次是第3次是“梅派”传人，三是猜4次，第4次是“梅派”传人，四是猜5次，分两类，一类是第5次是“梅派”传人，第二类是第5次不是“梅派”传人，分别用古典概型求得概率，列出分布列，求期望.【详解】（1）因为， 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.
16、（2）由题意，随机变量的取值分别为.， 随机变量的分布列为：2345随机变量的期望为：.【点睛】本题主要考查了独立性检验和分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.19.在如图（1）梯形中，过作于，沿翻折后得图（2），使得，又点满足，连接，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接与交于点，由，得到，由比例关系得到，再由线面平行的判定定理证明.（2）根据由，得四边形为平行四边形，由，得，再由，得平面，所以，从而平面，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求得平面BMD和平面得一
17、个法向量，再利用面面角的向量法求解.【详解】（1）如图所示：连接与交于点，则，又平面，平面，平面.（2）证明：由，得四边形为平行四边形，所以，所以，所以，又，所以平面，所以，又，平面以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以设平面BMD的一个法向量为，所以 令，则，又平面得一个法向量为， 所以，又平面与平面所成的二面角显然为锐角，所以平面与平面所成的二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查了线面平行和空间中二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证，空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆的左、右焦点为，左右两顶点，点为椭圆上任意一点，满足直线的斜率之积为，且的最大
18、值为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与轴的交点为，过点的直线与椭圆相交与两点，连接点并延长，交轨迹于一点.求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）因为的最大值为4，根据椭圆的定义，利用基本不等式求得，再根据直线的斜率之积为，有，求得，写出椭圆方程.（2）由条件知，设直线的方程，与椭圆方程联立，消得，设，则.由根与系数的关系得，.，设直线的方程为，所以，得，因为要证.根据椭圆的对称性，只要证得点与 关于x轴对称， 即.【详解】（1）根据题意， 又设，所以，所以， 故，从而椭圆的标准方程为.（2）根据题意，所以设直线的方程，联立，消得，即. 设，则.由根与系数的关系得，.
19、设直线的方程为，所以，得，所以所以.所以故，所以.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.21.已知函数在点处的切线方程为.（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设，对于，的值域为，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据在点处的切线方程为.有求得函数.然后将函数存在单调递减区间，转化为存在取值区间求解；（2）根据，求导，根据，分当时，当时，当时，三种情况讨论值域，然后再分别研究成立，确定实数t范围.【详解】因为，所以，又，故.（1）由题意得，若函数存在单调减区间，则即存在取值区间
20、，即存在取值区间，所以.当时，当，则，无解.当，则，.当，则，且所以时，函数不存在单调减区间.故（2）因为，所以当时，在上单调递减，由，所以，即，得；当时，在上单调递增，所以，即，得，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，即 令，则，所以在上单调递减，故，而，所以不等式（）无解，综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数与函数的极值，最值问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22.已知直线的普通方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，将
21、直线向右平移2个单位后得到直线，又点的极坐标.（1）求直线以及曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求三角形的面积值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根据 分别求解直线的极坐标方程和曲线C的极坐标方程.（2）由直线的极坐标方程和曲线C的极坐标方程联立得，再求弦长，点到直线的距离，代入面积公式求解.【详解】（1）因为直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程， 因为曲线的普通方程，所以曲线C的极坐标方程. （2）由（1）得，所以，点到直线的距离为，所以.【点睛】本题主要考查了普通方程，极坐标方程，参数方程间的转化，以及直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.23.已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）当时，若的最小值为2，求的最小值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用绝对值的几何意义，转化函数，再分类讨论解不等式. （2）由，再根据，的最小值为，即，然后用“1”的代换利用基本不等式求最小值.【详解】（1）根据题意， 因为所以或，解得或，所以解集为.（2）因为，当且仅当时，等号成立， 又，所以，所以的最小值为，所以.所以.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及最值的求法，基本不等式的应用，还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.