1、2019-2020学年山东省济南市高二第二学期期中数学试卷一单择题（共8小题）.1若复数z满足（1+i）z2i，其中i为虚数单位，则（）A1iB1+iC22iD2+2i2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且，则实数x+y的值为（）ABCD3函数f（x）3x4x3（x0，1）的最大值是（）A1BC0D14抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于（）ABCD5已知函数yf（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（）Af（x）x+tanxBf（x）x+sin2xCf（x）xsin2xDf（x）
2、xcosx6已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（）x23456y3711a21A16B18C20D227已知函数f（x）x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2020的值为（）ABCD8如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落号球槽的概率为（）ABCD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
3、求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9下列说法正确的是（）A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B设有一个回归方程y35x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），则P（1）0.510在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（）ABC1平面AQPB平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形CA1D平面AQPD异面直线QP与A1C1所成的角为6011若（2x1）10a0+a1x+a2x
4、2+a10x10，xR，则（）Aa2180B|a0|+|a1|+|a2|+|a10|310Ca1+a2+a101D112已知ab1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）AaeabebBalnbblnaCalnablnbDbeaaeb三填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有1名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有 种14设的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为 15易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组
5、成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 16对于三次函数f（x）ax3+bx2+cx+d（a0），定义：设f（x）是函数yf（x）的导数yf（x）的导数，若方程f（x）0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数yf（x）的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，解答如下问题：若已知函数f（x）x3，则f（x）的对称中心为 ；计算 四解答题（本大题共6个小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17在等差数列an中，a41，a7
6、5，（1）求数列an的通项公式；（2）现从an的前10项中随机取数，_，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答条件：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响；条件：若从10个数中一次取出三个数18在如图所示的几何体中，DEAC，AC平面BCD，AC2DE4，BC2，DC1，BCD60（1）证明：BD平面ACDE；（2）求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值19已知f（x）kxsin2x+asinx（k，a为实数）（1）当k0，a2时，求f（x）在0，上的最大值；（2）当k4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范
7、围20在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮每次投篮之间相互独立某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数列期望（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由21推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节为了解居民对垃圾分类的了解程度
8、，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分30，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居
9、民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望附：K2，（na+b+c+d）临界值表：P（K2k0） 0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.87922已知函数f（x）a（aR）（1）若f（x）0在（0，+）上恒成立，求a的取值范围；（2）设g（x）（x1）2ex，当a0时，若t（x）f（x）g（x），求t（x）零点的个数参考答案一单择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数z满
10、足（1+i）z2i，其中i为虚数单位，则（）A1iB1+iC22iD2+2i【分析】通过化简求出z，从而求出z的共轭复数即可解：（1+i）z2i，zi（1i）1+i，则1i，故选：A2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且，则实数x+y的值为（）ABCD【分析】直接利用向量的线性运算和三角形法则的应用求出结果解：正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，所以，所以，故x+y故选：D3函数f（x）3x4x3（x0，1）的最大值是（）A1BC0D1【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是
11、最大值，从而求出所求解：f（x）312x23（12x）（1+2x）令f（x）0，解得：x或（舍去）当x（0，）时，f（x）0，当x（，1）时，f（x）0，当x时f（x）（x0，1）的最大值是f（）1故选：A4抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于（）ABCD【分析】P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率解：由题意，P（B|A）为抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率抛掷甲、乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4，基本事件有2612个，甲骰
12、子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7，基本事件有2个，P（B|A）故选：C5已知函数yf（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（）Af（x）x+tanxBf（x）x+sin2xCf（x）xsin2xDf（x）xcosx【分析】函数f（x）x+tanx的定义域为，不合题意；而由图象可知，f（0）0，可排除BD，由此选C解：由图象可知，函数的定义域为R，故排除A；又f（0）0，故排除D；若选择B，则，与图象不符故选：C6已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（）x23456y3711a21A16B18C20D22【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标，根据回归直线经过样
13、本中心点求出的值，从而求出a的值解：由表中数据知，样本中心点的横坐标为：（2+3+4+5+6）4，由回归直线经过样本中心点，得44412，即（3+7+11+a+21）12，解得a18故选：B7已知函数f（x）x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2020的值为（）ABCD【分析】求得f（x）的导数，将x1代入可得切线的斜率，解得b1，可得f（n）n2+n，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和解：函数f（x）x2+bx的导数为f（x）2x+b，可得f（x）的图象在点A（1，f（1）处的切线的斜率为2+b3，解得b1，则f（x）x2+x，即f（n）n2
14、+n，S202011故选：A8如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落号球槽的概率为（）ABCD【分析】用小球落入球槽的种数除以小球落入下方的各个球槽的种数即可求得概率解：由题可知：小球落入号球槽有C10种情况，小球落入下方球槽共有2532，小球最终落号球槽的概率为故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，
15、有选错的得0分9下列说法正确的是（）A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B设有一个回归方程y35x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），则P（1）0.5【分析】直接利用回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用求出结果解：对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍故错误对于选项B：若有一个回归方程y35x，变量x增加1个单位时，故y35（x+1）35x5故y平均减少5个单位，正确对于选
16、项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误对于选项D：在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），由于正态曲线关于x1对称，则P（1）0.5，正确故选：BD10在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（）ABC1平面AQPB平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形CA1D平面AQPD异面直线QP与A1C1所成的角为60【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的判定的应用，共面的判定的应用求出结果解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中
17、点，如图所示：对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQBC1，由于PQ平面APQ，BC1不在平面APQ内，所以BC1平面APQ，故选项A正确对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1PQ，D1QAP，所以：平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故正确对于选项C：由于A1D平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以A1D平面AQP，错误对于选项D：PQBC1，A1BC1为等边三角形，所以A1C1B60，即异面直线QP与A1C1所成的角为60故正确故选：ABD11若（2x1）10a0+a1x+a2x2+a10x10，xR，则（）Aa2180B|a0|+
18、|a1|+|a2|+|a10|310Ca1+a2+a101D1【分析】分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，即可判断答案解：（2x1）10a0+a1x+a2x2+a10x10，其通项公式为：Tr+1（2x）10r（1）r；令x0可得：a01；所以：a2为x2的系数；故a222（1）8180成立；由二项式定理可得：x的偶次项系数为正，奇次项系数为负；故令x1可得：|a0|+|a1|+|a2|+|a10|310；即B对；令x1可得a0+a1+a2+a101；a1+a2+a100；即C错；令x可得：（21）100a0a1a2a10，a1a2a100a01；故D对；故选：ABD12已知ab1，e
19、为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）AaeabebBalnbblnaCalnablnbDbeaaeb【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数 ，根据这些函数在 （1，+） 的单调性可得结果解：设 f（x）xex，x1，则 f（x）（x+1）ex0 在 （1，+） 上恒成立，故函数单调递增，故 f（a）f（b），即 aeabeb，故A正确；设 ，则 ，函数在 （1，e） 上单调递增，在 （e，+） 上单调递减，故当 1bae 时，g（a）g（b），即 ，故 alnbblna，故B错误；设 h（x）xlnx，x1，则 h（x）lnx+10 在 （1，+） 上恒成立，故函数单调递增，故h（
20、a）h（b），即 alnablnb，故C正确；设 ，则 在 （1，+） 上恒成立，故函数单调递增，故 k（a）k（b），即 ，故 beaaeb，故D正确故选：ACD三填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有1名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有72种【分析】利用捆绑法，结合排列知识可得结论解：因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，所以由捆绑法，可得72故答案为：7214设的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为4【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，
21、求出r的值，即可求得展开式中x3的系数，再根据x3的系数为a，二项式系数为b，求得a、b的值，可得的值解：的展开式的展开式通项公式为，令，得k2，即即系数为a60，二项式系数为b15，则，故答案为：415易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为【分析】找两卦中含两根阳线分为两类，一类两阳线来自同一卦，一类两阳线来自两卦，分别求出取法，再找出总取法，相比即可解：从八卦中任取两卦有C28种；这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线有CC
22、C6，则两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率P故答案为：16对于三次函数f（x）ax3+bx2+cx+d（a0），定义：设f（x）是函数yf（x）的导数yf（x）的导数，若方程f（x）0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数yf（x）的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，解答如下问题：若已知函数f（x）x3，则f（x）的对称中心为（，1）；计算2020【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1x）2，即可得到结论解：f（x）x3，则f（x）3x23x+3，f（x）
23、6x3，令f（x）0，解得：x，则f（）1故f（x）的对称中心是（，1），f（x）+f（1x）2，f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）210102020，故答案为：（，1），2020四解答题（本大题共6个小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17在等差数列an中，a41，a75，（1）求数列an的通项公式；（2）现从an的前10项中随机取数，_，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答条件：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响；条件：若从10个数中一次取出三个数【分析】第一问根据等差
24、数列的概念求出公差d第二问根据古典概型公式，注意有放回取球的特点解：（1）设等差数列an的公差为d则d，又已知a41，a75，d2所以，等差数列an的通项公式为：an2n+9（2）由（1）知等差数列an的前10项分别为：7、5、3、1、1、3、5、7、9、11若选择：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率 P0.108若条件：若从10个数中一次取出三个数取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率：P0.3018在如图所示的几何体中，DEAC，AC平面BCD，AC2DE4，BC2，DC1，BCD60（1）证明：BD平面ACD
25、E；（2）求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值【分析】（1）推导出BDCD，ACBD，由此能证明BD平面ACDE（2）法一：延长AE，CD相交于G，连接BG，二面角A_BGC就是平面BCD与平面BAE所成二面角由此能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值法二：建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值【解答】证明：（1）在BCD中，BD24+1212cos603BC2BD2+DC2，BCD为直角三角形，BDCD又AC平面BCD，ACBD而ACCDC，BD平面ACDE解：（2）方法一：如图延长AE，CD相交于G，连接BG，则平面AEB平面BC
26、DBG二面角A_BGC就是平面BCD与平面BAE所成二面角DEAC，AC2DE，DE是AGC的中位线GDDC1，这样GCBC2，BCD60，BGC是等边三角形取BG的中点为H，连接AH，GH，AC平面BCDAHC就是二面角ABGC的平面角在RtAHC中，AC4，GH，所以sin平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为方法二：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，可得D（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），E（0，0，2），A（0，1，4）（，1，4），（0，1，2）设（x，y，z）是平面BAE的法向量，则，令z，得（2，2，）取平面BCD的法向量为（0，0，1）设平面BCD与平面
27、BAE所成二面角的平面角为，则|cos|，sin平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为19已知f（x）kxsin2x+asinx（k，a为实数）（1）当k0，a2时，求f（x）在0，上的最大值；（2）当k4时，若f（x）在一、选择题上单调递增，求a的取值范围【分析】（1）求导后，列表得x，f（x），f（x）的变化情况，进而求得最大值；（2）依题意，4cos2xacosx60恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解解：（1）当k0，a2时，f（x）sin2x+2sinxf（x）2cos2x+2cosx4cos2x+2cosx+22（2cosx+1）（1cosx），则x，f（x），f（x）的
28、变化情况如下：x f（x）+0f（x）增函数极大值减函数（2）f（x）在R上单调递增，则f（x）42（cos2xsin2x）+acosx0对xR恒成立得4cos2xacosx60，设tcosx1，1，g（t）4t2at6，则g（t）0在1，1上恒成立，由二次函数图象，得2a220在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮每次投篮之间相互独立某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮
29、，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数列期望（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由【分析】（1）在A点投篮命中记作A，不中记作；在B点投篮命中记作B，不中记作，求出概率，判断的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率，得到的分布列，然后求解的数学期望（2）求出选手选择方案甲通过测试的概率，选手选择方案乙通过测试的概率，即可判断该选手应选择方案甲通过测试的概率更大解：（1）在A点投篮命中记作A，不中记作；在B点投篮命中记作B，不中记作，其中，的所有可能取值为0，2，3，4，则，的分布列为： 0 2 3 4 P 所以，所以
30、，的数学期望为3.05（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，选手选择方案乙通过测试的概率为P2P（3），因为P2P1，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大21推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分30，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概
31、率；（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望附：K2，（na+b+c+d）临界值表：P（K2k0） 0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879【分析】（1）计算小区中得
32、分不低于60分的人数，根据古典概型的概率公式计算；（2）计算四类人数填表，计算观测值K2，与3.841比较得出结论；（3）计算10人中男女人数，按超几何分布得出分布列和数学期望解：（1）小区1000名居民中，得分不低于60分的人数为：130+110+60+30+110+100+40+20600，故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率为P（2）22联表如下：不太了解比较了解合计男性250330580女性150270420合计4006001000K25.54，5.543.841，有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关（3）参与问卷测试且得分不低
33、于80分的居民中，男性有90人，女性有60人，若按分层抽样的办法从中抽取10人，则男性人数为106，女性人数为104故的可能取值有0，1，2，3P（0），P（1），P（2），P（3）的分布列为： 0 1 2 3 P E（）01231.822已知函数f（x）a（aR）（1）若f（x）0在（0，+）上恒成立，求a的取值范围；（2）设g（x）（x1）2ex，当a0时，若t（x）f（x）g（x），求t（x）零点的个数【分析】（1）变换得到a，设F（x），求导得到函数单调区间，计算最值得到答案（2）求导得t（x）（x21）ex，得到函数单调区间，得到t（x）maxt（1）1，且当x0时，t（x）；当x+时，t（x），根据零点存在性定理，得到答案解：（1）f（x）0在（0，+）上恒成立，故a，设F（x），则F（x），当x（0，1）时，函数单调递增，当x（1，+）时，函数单调递减，故F（x）maxF（1）1，故a1（2）a0时，t（x）f（x）g（x）（x1）2ex，则t（x）（x21）ex，当x（0，1）时，0，（x21）ex0，故t（x）0，函数单调递增，当x（1，+）时，0，（x21）ex0，故t（x）0，函数单调递减，t（x）maxt（1）1，且当x0时，t（x）；当x+时，t（x），根据零点存在性定理知：函数在（0，1）和（1，+）上各有一个零点，故函数t（x）有两个零点