1、六安一中20212022学年第二学期高一年级期末考试数学试卷满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 计算A. B. C. D. 2. 独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%则下列说法不正确的是（）A. 2021年我国独角兽企业共有170家B. 京、沪、粤三地的独
2、角兽企业共有119家C. 独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半D. 各行业独角兽企业数量的中位数为133. 在下列判断两个平面与平行4个命题中，真命题的个数是（）都垂直于平面r，那么都平行于平面r，那么都垂直于直线l，那么如果l、m是两条异面直线，且，那么A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知，且向量在向量上的投影向量为，则的模为（）A. 1B. C. 3D. 95. 已知一组数据，1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（）A. 5B. 6C. 7D. 86. 在，其内角，的对边分别为，若，则的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. .等腰直角三角形D.
3、 等腰或直角三角形7. 如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（）A. 平面平面B. 线段最小值为C. 当，时，点D到直线的距离为D. 当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知是单位向量，且，则（）A. B. 与垂直C. 与的夹角为D. 1
4、0. 袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A. 甲与乙互斥B. 乙与丙互斥C. 甲与乙独立D. 甲与乙对立11. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（）A. 若，则有2解；B. 若，则；C. 若，则为锐角三角形；D. 若，则为等腰三角形或直角三角形.12. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（）A. 三棱锥的体积为定值B. 线段上存在点，使平面C. 线段上存在点，使平面平面D. 设直线与平面所成角为，则的最
5、大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若复数（其中为虚数单位）所对应的向量分别为和，则的面积为_14. 如图所示，已知四面体顶点和，则从顶点D所引四面体的高_15. 己知数据的平均数为10，方差为2，则数据的平均数为a，方差为b，则_16. 如图，四边形为平行四边形，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 根据要求完成下列问题：（1）关于的方程有实根，求实数的取值范围；（2）若复数（）的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合18. 第24届冬奥会于2022年2
6、月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图2所示的频率分布直方图已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率19. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：（1）两个人都译
7、出密码的概率；（2）恰有1个人译出密码的概率；（3）若要达到译出密码的概率为99%，至少需要像乙这样的人多少个？20. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，面，点为线段中点（1）求证：面；（2）求异面直线与所成角大小.21. 如图所示，在平面五边形中，已知，.（1）当时，求；（2）当五边形的面积时，求的取值范围.22. 已知正方形的边长为，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上.（1）若为的中点，且直线与由，三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；（2）是否存在点，使得直线与平面所成角为；若存在，求此时平面与平面的夹角的余弦值，若不存在，说明理由.1【答
8、案】B2【答案】C3【答案】D4【答案】C5【答案】C6【答案】D7【答案】C8【答案】C9【答案】BC10【答案】BC11【答案】BCD12【答案】ABD13【答案】514【答案】1115【答案】2716【答案】17【答案】（1）（2）【小问1详解】设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义，得，解得；【小问2详解】由题意得，即，解得，故实数的集合为 .18【答案】（1）；（2）估计平均数为69.5，第分位数为71.7；（3）.【小问1详解】，解得：，所以；【小问2详解】，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为，前三组志愿者的频率为，所以第分位数落在第三组
9、志愿者中，设第分位数为，则，解得：，故第分位数为71.7【小问3详解】第四、第五两组志愿者的频率比为，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为19【答案】（1）（2）（3）17名【小问1详解】记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且，两个人都译出密码的概率为【小问2详解】恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为【小问3详
10、解】假设有n个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有1个人译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为，即，故，所以，即至少有17名像乙这样的人，才能使译出密码的概率达到99%20【小问1详解】证明：由面建立如图所示的直角坐标系，以A点为坐标原点，分别以，垂直于AD以及为方向建立轴，如图所示:由底面是等腰梯形以及可知：，又由点为线段中点，可知，设为平面的法向量，故可知：，解得令，可知平面的法向量一个法向量为：根据线面平行向量法判断法则可知面【小问2详解】解：由题意得：由（1）分析可知，可知向量互相垂直，故异面直线与所成角的大小为21【答案】（1）；（2）.【小
11、问1详解】连接，由五边形内角和得：，则四边形为等腰梯形，则，又，故，所以在中，由余弦定理得，过点作于，可得，；【小问2详解】由，又五边形的面积，设，则，整理得，解得或，又，即，的取值范围是.22【小问1详解】证明：因为直线平面，故点在平面内也在平面内，所以点在平面与平面的交线上(如图所示).因为，为的中点，所以，所以，所以点在的延长线上，且.连接交于，因为四边形为矩形，所以是的中点.连接，所以为的中位线，所以，又因为平面，所以直线平面.【小问2详解】解：存在.由已知可得，所以平面，所以平面平面,取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以设（），则，设平面的法向量，则所以，取，则，所以.因为与平面所成的角为，所以所以，解得或，所以存在点，使得直线与平面所成的角为.设平面的法向量为，则，所以，取，则，所以，设二面角的大小为.所以.因为当时，此时平面平面，所以当时，为钝角，所以.当时，为锐角，所以