1、一、选择题1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是()A.aBaC.aD【解析】如图建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)(0，a，a)，|a，(a,0，a)，|a.点A1到BC1的距离d 2a.【答案】A2.如图265已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为()图265A.aBaC.a Da【解析】ABB1A1为正方形，A1BAB1，又平面AB1D平面ABB1A1，A1B面AB1D，是平面AB1D的一个法向量，由于C1DCD，所以C1到平面AB
2、1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则da.【答案】A3正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，EFBDG.则三棱锥B1EFD1的体积V等于()A.BC.D16【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0,0,4)，E(2，0)，F(，2，0)，(2，4)，(，2，4)，(2，2，0)，cos，sin，所以SD1EF|D|DF|sin5，又平面D1EF的法向量为n(1,1，)，点B1到平面D1EF的距离d，VB1EFD1SEFD1d5.【答案】C4ABC的顶点分别为A(1
3、，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于()A5 B C4 D2【解析】设，D(x，y，z)则(x1，y1，z2)(0,4，3)x1，y41，z23，(4,45，3)4(45)3(3)0，(4，)，| 5.【答案】A5正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.aBaC.aDa【解析】由正方体的性质易得平面AB1D1平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离明显，A1C平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n
4、(1，1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，(0，a,0)，则两平面间的距离d|a.【答案】D二、填空题6若平面平面，直线l，且平面与之间的距离为d，下面给出了四个命题：内有且仅有一条直线与l的距离等于d；内所有直线与l的距离等于d；内无数条直线与l的距离等于d；内所有的直线与的距离都等于D其中正确的命题的序号为_【解析】由面面平行的性质可知正确【答案】7设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_【解析】设平面ABC的法向量n(x，y，z)，nA0，nA0，即令z2，则n(3,2，2)又A(7，7,7)，点D到平面ABC的距离
5、为d|A|.【答案】8设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_【解析】如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.【答案】三、解答题9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离【解】建立如图所示的空间直角坐标系设EFBD，F为垂足，由于F的位置未确定，设(R)，则F(，0)(，0，)，(，)，(1,1,0)，0
6、，即()0.(，)|，故点E到直线BD的距离为.10正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离【解】取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，F(，1,0)，D1(0,1,1)(1,0，)，A1D1(0,1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)则，即令z2，则x1.n(1,0,2)又(，1，1)，点F到平面A1D1E的距离d.11如图266已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点(1)设A
7、B1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为.求证：tan tan ；(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高图266【解】设正四棱柱的高为h.(1)证明：连AO1，AA1底面A1B1C1D1，AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，AB1A1.在等腰AB1D1中，AO1B1D1.又A1C1B1D1，AO1A1是二面角AB1D1A1的一个平面角，AO1A1.在RtAB1A1中，tan h；在RtAO1A1中，tan h.tan tan .(2)如图建立空间直角坐标系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，则(1,0，h)，(0,1，h)，(1,1,0)设平面AB1D1的法向量为n(u，v，w)n，n，n0，n0.由得uhw，vhw，n(hw，hw，w)令w1，得n(h，h,1)由点C到平面AB1D1的距离为d，解得高h2.