1、基础达标检测一、选择题1若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案D解析把直线x1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义2已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离 B相交C相切 D不确定答案C解析设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，A1，B1分别为A，B在直线上的射影，则|AA1|AF|，|BB1|BF|.于是M到l的距离d(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|半径，故相切3抛物线y24x上点P(a,2)到焦点F的距离为()A1 B2C4 D8答案B解析因为P(a
2、,2)在抛物线y24x上，求得P(1,2)，又抛物线y24x的焦点为F(1,0)，则|PF|2.本题也可转化为P到准线的距离求解4(文)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24C36 D48答案C解析本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等设抛物线为y22px，则焦点F，准线x，由|AB|2p12，知p6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S12636.(理)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x
3、By28xCy24x Dy28x答案B解析本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系由已知得抛物线焦点为F，AF所在直线方程为y2.A，SOAF4，a264，a8，抛物线的方程为y28x.5(2013江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|()A2: B1:2C1: D1:3答案C解析本题考查了抛物线定义等如图：过M作准线的垂线MH，设FAOMNH，则tan，sin.6设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px(p0)上的两点，并且满足OAOB，则y1y2等于()A4p2 B3p2C2p2
4、 Dp2答案A解析OAOB，0.x1x2y1y20.A、B都在抛物线上，代入得y1y20，解得y1y24p2.二、填空题7(文)(2013北京高考)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_答案2x1解析本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由1知p2，则准线方程为x1.(理)设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上的点P(k，2)到点F的距离为4，则k的值为_答案4或4解析由题意可设抛物线的方程为x22py(p0)，则24，p4，k224(2)，k4或4.8下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽_m.答案2解析本题考查
5、了抛物线的标准方程与数学建模能力设抛物线方程为x22py，代入P(2，2)得2p2，x22y，当y3时，x26，x，则此时水面宽为2m.9(2013河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x24y的图像上，F为其焦点，点A(1,3)，若使|PF|PA|最小，则相应P的坐标为_答案(1，)解析由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|PA|最小三、解答题10设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值解析(1)F(1,0)，直
6、线l的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，x1x21.|AB|8.(2)证明：设直线l的方程为xky1，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.OB是一个定值.能力强化训练一、选择题1设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8C8 D16答案B解析如图，kAF，AFO60，|BF|4，|AB|4，即P点的纵坐标为4，(4)28x，x6
7、，|PA|8|PF|，故选B.2(文)已知点M是抛物线y22px(p0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A相交 B相切C相离 D以上三种情形都有可能答案B解析如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MDMF，ONOF，AB，这个圆与y轴相切(理)(2014台州模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：PMN必为直角三角形；PMN不一定为直角三角形；直线PM必与抛物线相切；直线PM不一定与
8、抛物线相切其中正确的命题是()A BC D答案A解析因为|PF|MF|NF|，故FPMFMP，FPNFNP，从而可知MPN90，故正确，错误；令直线PM的方程为yx，代入抛物线方程可得y22pyp20，0，所以直线PM与抛物线相切，故正确，错误二、填空题3(文)已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.答案2解析本题考查抛物线的定义设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，抛物线y24x，焦点为(1,0)，准线为x1.|AF|x1(1)2，所以x11.则AF与x轴垂直，|BF|AF|2.(理)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF
9、|3，则|BF|_.答案解析本题考查抛物线定义、直线与抛物线关系解法1：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可知x113，x12，A(2,2)，则直线斜率为k2，所以AB方程为y2(x1)，由联立消去y得，2x25x20，解之得x12，x2，所以|BF|x211.解法2：利用抛物线的性质由抛物线过焦点的弦的性质知，即1.解得|BF|.4设P是抛物线yx2上的点，若P点到直线2xy40的距离最小，则P点的坐标为_答案(1,1)解析解法1：设P点坐标为(x0，x)，由点到直线的距离公式得d|x2x04|(x01)23|.由上式可知当x01时，dmin.点P的坐标为(1,1
10、)解法2：如图，平移2xy40这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短设P(x0，y0)，y2x.过P点的切线斜率ky|xx02x02.x01，y0x1，故P点坐标为(1,1)三、解答题5已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物物上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解析(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2.抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA，MNFA
11、，kMN.又FA的方程为y(x1)，故MN的方程为y2x，解方程组得x，y，N的坐标为(，)6如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率分析(1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解(2)可考虑“点差法”表示直线AB的斜率解析(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1y4x2，y12(y22)y1y24.由得直线AB的斜率kAB1(x1x2)点评(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1y2可得如下等式：由y2px1y2px2得yy2p(x2x1)，(x1x2)，kAB.
