1、2020-2021学年福建省福州三中高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1若z（1+i）3+i，则z（）A2+iB2iC1+2iD12i2设向量，且，则实数（）A1BCD33如图，则（）A23B2+3C32D3+24在ABC中，BC3，C，ABC的面积为，则AB（）A13BCD5已知，为单位向量，且满足|，则|2|（）ABCD36攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）ABCD7已知O
2、是ABC所在平面内的一点，若，则ABC一定为（）A以BC为底边的等腰三角形BAB为底边的等腰三角形C以BC为斜边的直角三角形D以AB为斜边的直角三角形8已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（）A4，12B4，20C8，20D8，24二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9设zC，则下列命题中正确的是（）A|z|2zB|z1+z2|z1|+|z2|C若z12+z220，则z1z20D若|z|1，则|zi|210在棱长为2的正方体ABCDA1B
3、1C1D1中，M在线段BC1上运动，则下列命题中正确的是（）A多面体BA1C1D是正四面体B多面体BA1C1D的表面积是CA1M+MC的最小值是D多面体BA1C1D外接球的体积是11已知函数，则下列命题中正确的是（）A2是函数f（x）的一个周期Bf（x）的最小值是2Cf（x）在区间单调递增Df（x）的图象关于直线x对称12如图所示，在四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若，u，3（，u0），则（）ABC的最大值为1D的最小值为三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答13已知向量，不共线，若向量和共线，则实
4、数k 14如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC m15某圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ；过该圆锥顶点的截面的面积的最大值为 16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3c23a2+2b2，当tan（CA）取最大值时，tanC 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.17设zC且满足|z|+z1+3i（1）求z；（2）为复数z的共轭复数，若复数（m+i）在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线
5、上，求实数m的值18如图，在四边形ABCD中，BCAD，BC1，AD3，ABC为等边三角形，E为CD的中点，设（1）用a，b表示；（2）求cosEAB19在sinBsinCsin（AC）；cosA+cos2A0；2acosAbcosC+ccosB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_（1）求A；（2）若a2，ABC的面积是，求ABC的周长20在平面四边形ABCD中，ABC，BACDAC，CD4，AB2（1）若BC，求sinADC；（2）若ADC，求AC21乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源为了吸引游客，计划在该
6、公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台（如图所示），其中DC4百米，DA2百米，ABC为正三角形，建成后，BCD将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宣教平台（1）当时，求旅游休闲区域BCD的面积；（2）设ADC，求旅游休闲区域BCD的面积的最大值22设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为f（x）asinx+bcosx称为函数f（x）asinx+bcosx的“相伴向量“（1）设函数，求函数g（x）的相伴向量；（2）记的“相伴函数“为f（x），若方程在区间0，2上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围；（3）已知点M（a，b）满足a24ab+3b20，向量的“相
7、伴函数”f（x）在xx0处取得最大值，当点M运动时，求tan2x0的取值范围参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1若z（1+i）3+i，则z（）A2+iB2iC1+2iD12i解：z,故选：B2设向量，且，则实数（）A1BCD3解：向量，且，（）(2+1）（2+3）0，3，故选：D3如图，则（）A23B2+3C32D3+2解：由题意得：3+，+4，故3+（+4）23，故选：A4在ABC中，BC3，C，ABC的面积为，则AB（）A13BCD解：在ABC中，BC3，C，ABC的面积为，所以利用三角形的面积公式：，解得AC1利用余弦定理：7，故AB故选：C5已知，为单位向量，且满足
8、|，则|2|（）ABCD3解：，为单位向量，且满足|，+22,0,|2|故选：B6攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）ABCD解：如图，底面正方形ABCD的对角线相交于点O，则OP平面ABCD，易知，故选：C7已知O是ABC所在平面内的一点，若，则ABC一定为（）A以BC为底边的等腰三角形BAB为底边的等腰三角形C以BC为斜边的直角三角形D以AB为斜边的直角三角形解：由题意得|，|+|+|，因为，所以|+|，所以
9、2+2+，所以0，所以，即ABAC，所以ABC一定为以BC为斜边的直角三角形故选：C8已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（）A4，12B4，20C8，20D8，24解：建立平面直角坐标系如下，则A(0，2),B(2，0),C(2，0),设D(x,0),x2,2,则(x,2)，(2x,0),(2x,0),(22x)(22x)+4x2+8,x2,2,4x2+88,24故选：D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9设zC，则下列命题中正确的是
10、（）A|z|2zB|z1+z2|z1|+|z2|C若z12+z220，则z1z20D若|z|1，则|zi|2解：对于A，设za+bi，则，|z|2a2+b2，所以|z|2z，故选项A正确；对于B，令z11+i,z21i，则|z1+z2|2，故选项B错误；对于C，当z1i,z21时，z12+z220，但z10，z20，故选项C错误；对于D，若|z|1，则|zi|z|+|i|2，故选项D正确故选：AD10在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M在线段BC1上运动，则下列命题中正确的是（）A多面体BA1C1D是正四面体B多面体BA1C1D的表面积是CA1M+MC的最小值是D多面体BA1C1D
11、外接球的体积是解：对于A，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，因为A1C1A1DC1DBA1BC1BD，所以多面体BA1C1D是正四面体，故选项A正确；对于B，因为面体BA1C1D是棱长为的正四面体，故多面体BA1C1D的表面积是，故选项B正确；对于C，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（2，0，2），C（0，2，0），M（x，2，2x）（0x1），所以A1M+MC，要想A1M+MC最小，则（x2）2+x2取得最小值即可，当x1时，（x2）2+x2取得最小值2，故A1M+MC的最小值为，故选项C错误；对于D，正四面体BA1C1D的外接球即为正方体的外接球，因为正方体的
12、外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为R，则有，所以R，则多面体BA1C1D外接球的体积是，故选项D正确故选：ABD11已知函数，则下列命题中正确的是（）A2是函数f（x）的一个周期Bf（x）的最小值是2Cf（x）在区间单调递增Df（x）的图象关于直线x对称解：函数，f(x+2)cos(x+2)+cosx+f（x），故2是函数f（x）的一个周期，故A正确；当cosx0时，f(x)cosx+0，故B错误；，设cosxt，t(1,0)，则f(t)t+，f(t)随着t增大而减小，当，cosx是单调减小的，由复合函数的单调性可得，f(x)再区间 上单调递增，故C正确，f(x)f(+x)，f
13、（x）的图象关于直线x对称，故D正确，故选：ACD12如图所示，在四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若，u，3（，u0），则（）ABC的最大值为1D的最小值为解：A:因为3，所以3（），整理得+，故A正确,B:过点B作BGFD，交AE于点G，则，所以1，因为，u，3，所以4，所以41，所以，故B正确,C:由B知,4(+)84，当且仅当时等号成立，所以,的最小值为4，故C错误,D:因为，所以（+1），（+1)(+1)，当且仅当时取等号，故D正确故选：ABD三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答13已知向
14、量，不共线，若向量和共线，则实数k解：向量和共线，可设（），于是，k故答案为：14如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC600m解：如图：在RtAMD中，由|MD|400，DAM45，得|AM|MD|400，在AMC中，AMC45+1560，MAC180456075ACM180607545由正弦定理得，解得|AC|400在RtABC中，|BC|AC|sin60400600（m）故山的高度|BC|600m故答案为：60015某圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ；过该圆锥顶点的截面的面积的
15、最大值为 2解：由题意，圆锥的母线长为2，设底面半径为r，则2r，得r，则圆锥的高h该圆锥的体积V；如图，圆锥的母线长为2，底面半径为，则顶角ASB120，设过圆锥顶点的截面为平面SCD，O到截面底边的距离OEx，则0x，连接SE，则SE，CD，则，当x21，即x1时，截面面积有最大值为2故答案为：；216在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3c23a2+2b2，当tan（CA）取最大值时，tanC解：由题意得，由余弦定理得cosC（cosC+sinC），整理得tanC5tanA，tanA0，所以tan（CA），当且仅当5tanA即tanA，此时tanC时取等号故答案为：四、解
16、答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.17设zC且满足|z|+z1+3i（1）求z；（2）为复数z的共轭复数，若复数（m+i）在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求实数m的值解：（1）设za+bi（a，bR），由|z|+z1+3i，得，解得a4，b3z4+3i；（2）由（1）得，则（m+i）（m+i）（43i）（4m+3）+（3m4）i，由题意可得：4m+33m4，即m718如图，在四边形ABCD中，BCAD，BC1，AD3，ABC为等边三角形，E为CD的中点，设（1）用a，b表示；（2）求cosEAB解：（1）B
17、CAD,BC1,AD3,E为CD的中点,（2）根据题意，,19在sinBsinCsin（AC）；cosA+cos2A0；2acosAbcosC+ccosB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_（1）求A；（2）若a2，ABC的面积是，求ABC的周长解：（1）若选择条件，sinBsinCsin（AC），则sin（A+C）sinCsin（AC），2cosAsinCsinC，sinC0，cosA，A（0，），A若选择条件，cosA+cos2A0，则2cos2A+cosA10，解得cosA1，或，A（0，），A若选择条件，2acosA
18、bcosC+ccosB，则 2sinAcosAsinBcosC+sinCcosB，2sinAcosAsin（B+C）sinA，sinA0，cosA，A（0，），A（2）SABCbcsin，bc2，a2，由余弦定理可知a2b2+c22bccos，4（b+c）23bc，b+c，ABC的周长为2+20在平面四边形ABCD中，ABC，BACDAC，CD4，AB2（1）若BC，求sinADC；（2）若ADC，求AC解：（1）ABC中，由余弦定理得AB2+BC2AC22ABBCcosABC，即4+2AC22，所以AC，由正弦定理得，即，所以sinCAB，所以sinDAC，ADC中，由正弦定理得，即，所以s
19、inADC，（2）ADC，由正弦定理得，联立得，BC2，由余弦定理AC24+8+4220，所以AC221乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台（如图所示），其中DC4百米，DA2百米，ABC为正三角形，建成后，BCD将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宣教平台（1）当时，求旅游休闲区域BCD的面积；（2）设ADC，求旅游休闲区域BCD的面积的最大值解：（1）在ACD中，由余弦定理知，AC2AD2+CD22ADCDcos4+1622412，AC2，由正弦定理知，即，sinACD，ADC，ACD（0，）
20、，ACD，BCD，SBCDCDBCCDAC424（2）不妨设ADC，ACD，在ADC中，由余弦定理知，AC2AD2+CD22ADCDcos2016cos，AD2AC2+CD22ACCDcos，cos，由正弦定理知，即，sin，SBCDCDBCsin（ACD+ACB）4ACsin（+）AC（sin+cos）AC（+）2sin2cos+44sin（）+44+4，当且仅当，即时，等号成立，故BCD的面积的最大值为4+422设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为f（x）asinx+bcosx称为函数f（x）asinx+bcosx的“相伴向量“（1）设函数，求函数g（x）的相伴向量；（2）记的“相
21、伴函数“为f（x），若方程在区间0，2上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围；（3）已知点M（a，b）满足a24ab+3b20，向量的“相伴函数”f（x）在xx0处取得最大值，当点M运动时，求tan2x0的取值范围解：（1）g（x）2sin（x）cos（+x）sinx+cosx，所以函数g（x）的相伴向量（，）（2）（0，2）的“相伴函数”f（x）0sinx+2cosx2cosx，方程f（x）k+12|sinx|为2cosxk+12|sinx|，x0，2则方程2cosxk+12|sinx|，x0，2，有四个实数解，所以k2cosx1+2|sinx|，x0，2，有四个实数解，令g（x）2
22、cosx1+2|sinx|，x0，2，当x0，时，g（x）2cosx1+2sinx4sin（x+）1，当x（，2时，g（x）2cosx12sinx4sin（x）1，所以g（x），作出g（x）的图象：所以函数g（x）与yk有四个交点时，实数k的取值范围为1，3）（3）向量的“相伴函数”f（x）asinx+bcosxsin（x+），其中cos，sin，tan，当x+2k+，kZ，即x02k+（kZ）时，f（x）取得最大值，所以tanx0tan（2k+）cot，所以tan2x0，令m（ab），则（3m24m+1）a210，所以4（3m24m+1）0，解得m1，所以tan2x0（m1），因为ym单调递增，所以m，0），所以tan2x0（，