1、湖南省怀化市2020届高三数学下学期4月第一次模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目.2.考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.4.本试题卷共4页，如缺页，考生须声明，否则后果自负.第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1.集合，则（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件分别求出集合和集合，再结合集合的交集定义即可求出答案.【详解】，故选：A【点睛】本题考查了不等式的解法，对数函数的定义域以及集合的交集运算，属于较易题.2.已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据已知条件对算数进行化简得到，再根据算数几何意义即可得到答案.【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限故选：C【点睛】本题考查了复数的运算以及算数的几何意义，考查了学生的运算能力，属于容易题.3.对两个非零向量、，命题：向量与向量的夹角为锐角
3、，命题：，则命题是命题的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的定义即，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】若向量与向量的夹角为锐角即，则成立，即充分性成立；若即，则当时，但为锐角不成立，即必要性不成立；故命题是命题的充分而不必要条件故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的定义以及充分条件、必要条件的判断，属于一般题.4.已知数列中，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2020项，则判断框内可填写的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知条件
4、，执行程序框图，从开始运行，当运行求出的值，然后对判断框进行判断即可.【详解】由已知条件：，可得，.将以上的式子相加得到：，则，由程序框图可知，当判断框内的条件是时，则输出的，综合可得若，若要想输出式的结果，则故选：B【点睛】本题考查了对程序框图中的判断框的判断，属于一般题.5.若满足则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项A，B错；由线性规划易得的取值范围为，故不成立；在B处取得最小，故考点：线性规划6.以下四个命题中：函数关系是一种确定性关系；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；独
5、立性检验中的统计假设就是假设相关事件、相互独立；某项测量结果服从正态分布，且，则.以上命题中，真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】对四个命题一个一个进行判断.【详解】函数关系是一种确定性关系，所以是正确的；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，所以是正确的；独立性检验中的统计假设就是假设相关事件、相互独立，所以是正确的；某项测量结果服从正态分布，由正态分布定义可知它的图像是关于对称，因为，则，所以，所以是正确的；故选：D【点睛】本题考查了对相关关系概念的理解、正态分布的对称性，属于一般题.7.数列为正项等比数列，若，且，
6、则此数列的前5项和等于 （ ）A. B. 41C. D. 【答案】A【解析】因为，所以 ，选A.8.将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 当时，函数为奇函数C. 是函数的一条对称轴D. 函数在区间上的最小值为【答案】C【解析】【分析】根据已知条件先用二倍角公式转化，再利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的图像和性质，判断各个选项是否正确.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，可得，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，则函数的最小正周期，故选项错误；当时，函数为
7、偶函数，故选项错误；函数的对称轴为，故选项正确；函数在区间上的最小值为，故选项错误；故选：C【点睛】本题考查了函数的图像变换规律以及三角函数的性质和图像，属于一般题.9.关于函数，下列说法正确的是（ ）A. 在单调递增B. 有极小值为0，无极大值C. 的值域为D. 的图象关于直线对称【答案】B【解析】【分析】先去绝对值得到分段函数，再利用分段函数的单调性来判断选项是否正确.【详解】，当时，则单调递增；当时，则单调递减；即函数在上单调递减，在单调递增，故选项不正确；当时，函数有极小值，无极大值，故选项正确；因为函数在上单调递减，在单调递增，则函数有最小值，即的值域为，故选项不正确；因为，所以的图
8、象不关于直线对称，故选项不正确；故选：B【点睛】本题考查了利用导数来求函数的单调性以及极值和值域，属于一般题.10.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆方程可得到圆心坐标以及半径，设在圆上，运用向量的加减和数量积运算可得，即实数的取值就是圆上的点到原点的距离的值，即可得到答案.【详解】圆得到即圆心，半径，设在圆上，则，即，所以实数的取值就是圆上的点到原点的距离取值，且，则，因此实数的取值范围为故选：D.【点睛】本题考查了数量积的运算以及圆上的动点到定点的距离的最值的求法，属于一般题.11.为抗击新冠病毒，某部门安排甲、
9、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ）A. 18B. 24C. 30D. 36【答案】C【解析】【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案.【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同
10、一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，所以不同的分配方法种数有：故选：C【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.12.若等边边长为2，边的高为，将沿折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件知三棱锥中有，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，确定三棱柱的外接球的球心，再根据已知的边长大小即可求出外接球的半径，从而可求得外接球的表面积.【详
11、解】由题意可知：三棱锥中有，则二面角的平面角为即有，三棱锥的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱锥的外接球球心为，半径为，则在等腰中有：，且，解得：即的外接圆的半径，因为外接球为三棱柱的外接球，根据对称性可得，所以在中：，即，所以四面体的外接球的表面积故选：C【点睛】本题考查了学生空间想象能力，以及外接球的表面积计算，属于较难题.第卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13.我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡
12、三乡，发役三百人，则北乡应发役_人.【答案】【解析】【分析】根据分层抽样原理计算出抽样比例，从而求出答案.【详解】根据分层抽样原理，抽样比例为，北乡应发役（人）故答案为：【点睛】本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题.14.若数列的前项和，则_.【答案】【解析】【分析】因为已知了数列的前项和，所以令可得，求得，再求的值.【详解】因为数列的前项和，所以令解得，又因为，所以故答案为：【点睛】本题考查了已知数列的前项和求某一项的值，考查了学生的计算能力，属于较易题.15.已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为_【答案】【解析】【分析】结合等边三角形的性质和椭圆
13、的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率.【详解】如图,因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.因为，所以,.因为，所以即，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.16.设函数，则函数的最大值为_；若对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用函数的单调性求出函数的最大值；利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数的最小值为，利用导数的单调性求出的最大值，再利用最值关系进行求解即可.【详解】，由可得，此时函数为增函数；由可得，此时函数为减函数；的最大值为；若对任意，不等式恒成立，则等价为
14、恒成立，当且仅当即时等号成立，即的最小值为，且的最大值为，则的最大值为，则由，得，即故答案为：；【点睛】本题考查了利用导数求函数的最大值、基本不等式求函数的最小值，分离法求参数范围，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB2a+b（1）求角C的大小；（2）若ABC的面积等于，求ab的最小值.【答案】（1）C；（2）最小值为【解析】【分析】（1）由正弦定理，将2ccosB2a+b变形为2
15、sinCcosB2sin(B+C)+sinB，使用两角和的正弦公式化简等式即可求得C的值；（2）由ABC的面积公式得出c与a、b的关系为c=3ab，将其代入余弦定理，并通过基本不等式进行变形，可求得ab的最小值.【详解】（1）由正弦定理可知：2R，a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，其中R为ABC的外接圆半径，由2ccosB2a+b，则2sinCcosB2sin(B+C)+sinB，可得：2sinBcosC+sinB0，由0B，sinB0，cosC，0C，则C；（2）由SabsinCab，则c3ab，又c2a2+b22abcosCa2+b2+ab，由a2+b22ab，当且仅当ab时
16、取等号，可得：2ab+ab9a2b2，即ab，则当ab时，ab取得的最小值为【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，掌握诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用是解题关键，属中档题.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段的中点，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】(1)连接交于，连接，由三角形的中位线得，然后证明平面；(2)以为原点，以向量所在直线为轴，过作的垂线为轴建立空间直角坐标系（如图），求出相关点的坐标，求出平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，利用向量的数量积求解即可.【详解】(1)
17、连接交于，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点，又因为为线段的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；(2) 以为原点，以向量所在直线为轴，过作的垂线为轴建立空间直角坐标系（如图）则,因为，所以，则，在中：可知：，又因为为线段的中点，所以，设平面的法向量为，则即令，则，即，又因为平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查了线面平行的证明以及利用空间向量的方法求面面角，考查了学生的运算能力，属于较难题.19.若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60，且的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴
18、交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.【答案】(1) ；(2) 或【解析】【分析】(1)先设的坐标为，根据向量与轴正方向的夹角为60，可得出，再利用三角形的面积公式可求得的值即可求出抛物线的方程；(2) 先设的坐标为，利用两点间的距离公式分别求出，再利用基本不等式求出取得最大值时点的坐标，即可求出直线的方程.【详解】(1)设的坐标为，(如图)因为向量与轴正方向的夹角为60,，所以，根据抛物线定义得：，即，解得：即，则，解得：即抛物线的方程为：；(2) 设的坐标为，则，因为点在抛物线：上，即有：，所以，因此当且仅当即时等号成立，此时，所以直线的方程为：或【点睛】本题考查了抛物线定义
19、、两点间距离公式以及利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于一般题.20.某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗.为更好地销售树苗，建设生态文明家乡和美好家园，基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别、，且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的.（1）若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同，每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后，每棵树苗当年的成活率都为0.9，对当年没有成活的树苗，第二年需再补种1棵.现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案，方案一：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地需提供一年一次，共计两年的补种服务，且每次补种人
20、工及运输费用平均为800元；方案二：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行负责.若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元，试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少？（2）记为该基地得到三家公司购买合同的个数，若，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】(1)方案一：26770元；方案二：25400元；(2)分布列见解析；【解析】【分析】(1)用购买银杏树苗的收入减去人工费用和运输费用；(2)先利用求出值，再根据题意分别求出，再列出分布列并求出数学期望.【详解】(1)方案一、每棵银杏实生苗
21、的价格为90元，栽种后，且每棵树苗当年的成活率都为0.9，基地需提供一年一次，共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元，则苗木基地的合同收益为：（元）；方案二、公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行负责，则苗木基地的合同收益为：（元）(2)记为该基地得到三家公司购买合同的个数，且公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别、，所以，解得：，可取值为0、1、2、3，则，则随机变量的分布列为0123数学期望【点睛】本题考查了随机变量的分布列以及数学期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.21.已知函数，其中常数.（1）当时，不等
22、式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且，求证：.【答案】(1) ；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先分离参数，再利用导数的单调性求函数的最值即可求出实数的取值范围；(2)利用分析法，再结合(1)的解答，再利用导数的单调性求函数的最值即可证明；【详解】(1)由题意得：函数，即，令，则，所以当时，此时为增函数；当时，此时为减函数；所以的最小值为即；(2)令，若即，则两边同除以得，令，即成立，因为，所以，则在上为增函数，在上为减函数，所以的最大值为，又因为，所以，而的最小值为，所以恒成立，即成立，所以【点睛】本题考查了分离变量求参数的范围以及利用导数证明不等式，属于较难题.（二）选考题：共1
23、0分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线的参数方程为：（为参数），的参数方程为：（为参数）.（1）化、的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若直线的极坐标方程为：，曲线上的点对应的参数，曲线上的点对应的参数，求的中点到直线的距离.【答案】(1) ：；：；以圆心为，半径为1的圆，以坐标原点为中心，焦点在轴的椭圆；(2)【解析】【分析】(1)直接利用参数方程组消去参数即可得到它们普通方程；(2)根据已知条件分别求出、两点坐标以及点坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出.【详解】(1)曲线的参数方程为：（为参数），即，且，则：；的参
24、数方程为：（为参数），即，且，则：；以圆心为，半径为1的圆，以坐标原点为中心，焦点在轴的椭圆；(2)曲线上的点对应的参数，所以，曲线上的点对应的参数，所以，所以的中点的坐标为，因为直线的极坐标方程为：，即直线的普通方程为：，所以的中点到直线的距离【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程转化为普通方程以及点到直线的距离，考查了学生的计算能力，属于较易题.23.已知函数.（1）若，且不等式的解集为，求的值；（2）如果对任意，求的取值范围.【答案】(1) ；(2) 或【解析】【分析】(1)由含两个绝对值转化为分段函数，再根据已知条件即可求出的值；(2)对进行三种情况进行讨论，即可得出的取值范围.【详解】(1)若，则，因为不等式的解集为，所以当时，解得：；(2)当时，则，如果对任意，即的最小值为，解得：；当时，则的最小值为0，不符合条件，舍去；当时，如果对任意，即的最小值为，解得：，综上：的取值范围或【点睛】本题考查了含两个绝对值的不等式，求含两个绝对值的不等式的最值，属于一般题.