1、3.2基本不等式新课程标准解读核心素养1.掌握基本不等式(a0，b0，当且仅当ab时等号成立)逻辑推理2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题数学建模第1课时基本不等式如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？知识点重要不等式与基本不等式1重要不等式对任意实数x和y，有xy，当且仅当xy时，等号成立2基本不等式设a0，b0，有，当且仅当ab时，等号成立其中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值基本不等式又称为均值不等式
2、，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值1不等式a2b22ab与的比较(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是不同的前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a0，b0即可)；(2)两个不等式a2b22ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当ab时，等号成立”2基本不等式的常见变形(1)ab2；(2)ab(其中a0，b0，当且仅当ab时等号成立) 1下列不等式正确的是()Aa2B(a)2Ca22 D(a)22答案：C2不等式(x2y)2成立的前提条件为_解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x2y0，即x2y.答案：x2y对基
3、本不等式的理解例1判断下列推导过程是否正确：(1)aR，a0，a24；(2)x，yR，xy0，22.解(1)由于aR，a0，不符合基本不等式的使用条件，故(1)的推导是错误的(2)由xy0，知，均为负数，在推导过程中，将其转变为正数，后，符合基本不等式的使用条件，故(2)的推导正确应用基本不等式时，注意下列两个常见变形中等号成立的条件：(1)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号；2(a，b异号)，当且仅当ab时取等号；(2)a2(a0)，当且仅当a1时取等号；a2(a0)，当且仅当a1时取等号 跟踪训练1不等式a12(a0)中等号成立的条件是()Aa0BaCa1 Da2答案：C2已知a，bR
4、，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2解析：选D对于A，当ab时，a2b22ab，所以A错误；对于B、C，ab0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B、C错误；对于D，因为ab0，所以0，0，所以2，即2恒成立故选D.应用基本不等式证明不等式例2(链接教科书第27页例4)已知a0，b0，c0，且abc1.求证：8.证明因为a0，b0，c0，且abc1，所以1，同理1，1.上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，得8.当且仅当abc时，等号成立母题探究1(变设问)在本例条件下，求证：9.证明：因为a0，b0，c0，且abc1，所以332
5、229.当且仅当abc时，等号成立2(变条件，变设问)本例条件变为“ab1，a0，b0，”求证9.证明：ab1，a0，b0，52549，当且仅当ab时，等号成立9.利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用 跟踪训练(2019全国卷节选)已知a，b，c为正数
6、，且满足abc1.证明：a2b2c2.证明：因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.1(多选)下列说法中正确的是()Aa2b22ab成立的条件是a0，b0Ba2b22ab成立的条件是a，bRCab2成立的条件是a0，b0Dab2成立的条件是ab0解析：选BC根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.2设a，b为正数，且ab4，则下列各式中正确的是()A.1B.1C.2 D.2解析：选B因为ab4，所以221，当且仅当ab2时等号成立3已知a0，b0，ab1，求证：8.证明：2，ab1，a0，b0，2224，8.