1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养检测九平面向量数量积的坐标表示(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.设向量a=(,1),b=(x,-3),c=(1,-),若bc,则a-b与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选D.因为bc,所以-x=(-3)1,所以x=,所以b=(,-3), a-b=(0,4).所以a-b与b的夹角的余弦值为=-,所以a-b与b的夹角为150.2.已知=(-3,1),=(0,5)
2、,且,(O为坐标原点),则点C的坐标是()A.B.C.D.【解析】选B.设C(x,y),则=(x,y).又=(-3,1),所以=-=(x+3,y-1).因为,所以5(x+3)-0(y-1)=0,所以x=-3.因为=(0,5),所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因为,所以3x+4(y-5)=0,所以y=,所以C点的坐标是.【补偿训练】已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=,则b=()A.B.C.D.(1,0)【解析】选B.方法一:设b=(x,y),其中y0,则ab=x+y=.由解得即b=.方法二:利用排除法.D中,y=0,所以D不符合题意;C中,向量不是单位向量,所
3、以C不符合题意;A中,向量使得ab=2,所以A不符合题意.3.若a=(x,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.x应满足(x,2)(-3,5),且x-,所以x.4.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选A.由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以=28+(-4)4=0,即.所以BAC=90,故ABC是直角三角形.【补偿训练】已知向量=,=,则ABC=()A.30B.45C.60D.120【解析】选A.因为=+=,=1,
4、所以cosABC= =,即ABC=30.5.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),所以=(x- 2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,最小,此时点P的坐标为(3,0).6.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是()A.|a|=|b|B.ab=C.a-b与b垂直D.ab【解析】选ABD.由题意知|a|=1,|b|=,ab=1+0=,(a-b)b=ab-|b|2=-=0,
5、故a-b与b垂直.由题意易得ab错误.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知向量a=(-2,1),b=,且|a+b|=,则=_.【解析】由已知易得a+b=,则(-)2+=,解得=1或=-.答案:1或-8.(双空题)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_.【解析】以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示.则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),设E(1,a)(0a1),所以=(1,a)(1,0)=1,=(1,a)(0,1)=a1,故的最大值为1.答案:11【补偿训练】(2019浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1,当每个i(i=1,
6、2,3,4, 5,6)取遍1时,|1+2+3+4+5+6|的最小值是_,最大值是_.【解析】1+2+3+4+5+6=(1-3+5-6)+(2-4+5+6)要使|1+2+3+4+5+6|的值最小,只需要|1-3+5-6|=|2-4+5+6|=0,此时只需要取1=1,2=-1,3=1,4=1,5=1,6=1,此时|1+2+3+4+5+6|min=0,|1+2+3+4+5+6|2=|(1-3+5-6)+(2-4+5+6)|2=(1-3+5-6)2+(2-4+5+6)2(|1|+|3|+|5-6|)2+(|2|+|4|+|5+6|)2=(2+|5-6|)2+(2+|5+6|)2=8+4(|5-6|+|
7、5+6|)+(5-6)2+(5+6)2=8+4+2+2=12+4=12+4=20,等号成立当且仅当1,-3,5-6均非负或者均非正,并且2,-4,5+6均非负或者均非正.比如1=1,2=1,3=-1,4=-1,5=1,6=1,则|1+2+3+4+5+6|max=2.答案:02三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.【解析】(1)设c=(x,y),因为|c|=2,所以=2,所以x2+y2=20.由ca和|c|=2,可得解得或故c=(2,4)
8、或c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)(2a-b),所以(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=0,所以25+3ab-2=0,整理得ab=-,所以cos =-1.又0,所以=.10.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点M为直线OP上的一个动点.(1)当取得最小值时,求点M的坐标;(2)在点M满足(1)题的条件下,求AMB的余弦值.(提示:建立的目标函数)【解析】(1)设=(x,y).因为点M在直线OP上,所以向量与共线,又=(2,1),所以x=2y,所以=(2y,y),所以=-=(1-2y,7-y),同样,=-=(5-2y,1-y),于是=(1-2y)
9、(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,所以当y=2时,有最小值-8,此时M(4,2).(2)=(-3,5),=(1,-1),所以|=,|=,=-8,所以cosAMB=-.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共15分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)c=,则a与c的夹角大小为()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.设a与c的夹角为,依题意,得a+b=(-1,-2),|a|=.设c=(x,y),因为(a+b)c=,所以x+2y=-.又ac=x
10、+2y,所以cos =-,所以a与c的夹角为120.【补偿训练】已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量b在a方向上的投影为3,则实数m=()A.3B.-3C.D.-3【解析】选C.根据题意得=3,解得m=.2.在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则的取值范围是()A.B.C.D.0,1【解析】选C.以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,设E(x,0),0x1.因为M,C(1,1),所以=,=(1-x,1),所以=(1 -x,1)=(1-x)2+.因为0x1,所以(1-x)2+,即的取值范围是.3.(多选题)已知=(4,2),=(k,-2),若ABC为
11、直角三角形,则k等于()A.1B.6C.2D.3【解析】选AB.=-=(k,-2)-(4,2)=(k-4,-4),若A为直角,则=4k-4=0,所以k=1.若B为直角,则=(-4,-2)(k-4,-4)=-4k+16+8=0,所以k=6.若C为直角,则=0,即(-k,2)(4-k,4)=0,方程无解,综上知k的值为1或6.二、填空题(每小题5分,共25分)4.(2019全国卷)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos (是a,b的夹角)=_.【解析】cos (是a,b的夹角)=-.答案:-5.已知a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45,则实数t=_.【解析】因为
12、a=(4,-3),b=(2,1),所以a+tb=(2t+4,t-3),所以(a+tb)b=5t+5.又|a+tb|=,|b|=,(a+tb)b=|a+tb|b|cos 45,所以5t+5=,整理得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3,经检验知t=-3不成立,故t=1.答案:16.已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为_.【解析】如图所示,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设CD=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,b)(0ba),则=(2,-b),=(1,a-b),所以
13、+3=(5,3a-4b),所以|+3|=5,所以|+3|的最小值为5.答案:57.已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2,点E满足=,点F为CD的中点,若=-2,则=_. 【解析】如图,建立平面直角坐标系,设C(t,0),A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E-t,F,=(t,1),=,=(-t,1),=,因为=-2,所以-t2+=-2,解得t2=5,=-t2+=-7.答案:-78.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|=1,则|+|的最大值是_.【解析】设D(x,y),由=(x-3,y)及|=1知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为
14、以点C为圆心的单位圆.又+=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+),所以|+|=.问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.因为圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,故的最大值为+1.答案:+1三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知向量a=(1,),b=(-2,0).(1)求a-b的坐标以及a-b与a之间的夹角;(2)当t-1,1时,求|a-tb|的取值范围.【解析】(1)因为向量a=(1,),b=(-2,0),所以a-b=(1,)-(-2,0)=(3,),设a-b与a的夹角为,所以cos =.因为0,所以向量a-b与a的夹角为.(2
15、)|a-tb|2=a2-2tab+t2b2=4t2+4t+4=4+3.易知当t-1,1时,|a-tb|23,12,所以|a-tb|的取值范围是,2 .10.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:ABAD;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值.【解析】(1)因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),所以=(1,1),=(-3,3).=1(-3)+13=0,所以,所以ABAD.(2)因为,四边形ABCD为矩形,所以=.设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4).又因为=(1,1),所以解得所以点C的坐标为
16、(0,5).所以=(-2,4).又=(-4,2),所以|=2,|=2,=8+8=16.设与的夹角为,则cos =.11.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.【解析】(1)方法一:由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为4,2.方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E为BC的中点,E(0,1),又E(0,1)为AD的中点,所以D(1,4).故所求的两条对角线的长分别为BC=4,AD=2.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.或者:=t,=(3,5),t=-.关闭Word文档返回原板块