1、2015-2016学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=1，2，3，B=1，3，则AB=（）A2B1，2C1，3D1，2，32设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A2B3C4D63若a为实数且，则a=（）A4B3C3D44某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法5已知抛物线y2=2px（p0）的准线经过点
2、（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）6“x=1”是“x22x+1=0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件7已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）AB5C7D98下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）Ay=sin（2x+）By=cos（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx9执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A1B3C7D1510设f（x）=，则f（f（2）=（）A1BCD11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3B4C2+4D3+
3、412设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（）D（，+）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知x、y为正实数，且xy=2，则x+y的最小值是14函数y=xex在其极值点处的切线方程为15若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为16在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p2=0有两个负根的概率为三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且ABC的面积为，求a+
4、b的值18如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，（1）求三棱锥PAOC的体积；（2）求异面直线PA和OE所成角的余弦值19随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨20如图，椭圆E：
5、 +=1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为22120、已知函数f（x）=（aR），g（x）=（1）求函数g（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间与极值；（3）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e2上有公共点，求实数a的取值范围22在直角坐标系xOy中，直线C1：x=2，圆C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为=（R），设C2
6、与C3的交点为M，N，求C2MN的面积2015-2016学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=1，2，3，B=1，3，则AB=（）A2B1，2C1，3D1，2，3【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可【解答】解：集合A=1，2，3，B=1，3，则AB=1，3故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力2设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A2B3C4D6【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】
7、平面向量及应用【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=26，解得x=3；故选：B【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym3若a为实数且，则a=（）A4B3C3D4【考点】复数相等的充要条件【专题】数系的扩充和复数【分析】根据复数相等的条件进行求解即可【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础4某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三
8、个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法【考点】收集数据的方法【专题】应用题；概率与统计【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题5已知抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）【考点】抛
9、物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），=1，该抛物线焦点坐标为（1，0）故选：B【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础6“x=1”是“x22x+1=0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】充要条件【专题】简易逻辑【分析】先求出方程x22x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案【解答】解：由x22x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x22x+1=0”
10、的充要条件，故选：A【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题7已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）AB5C7D9【考点】等差数列的前n项和【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3再利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1则S5=5a3=5故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）Ay=sin
11、（2x+）By=cos（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx【考点】三角函数的周期性及其求法【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性和周期性得出结论【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y=cos（2x+）=sin2x为奇函数，且周期为，故B满足条件；由于函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y=sinx+cosx=sin（x+）为非奇非偶函数，故排除D，故选：B【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，诱导公式的应用，属于基础
12、题9执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A1B3C7D15【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】算法的功能是求S=1+21+22+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+2k的值，跳出循环的k值为3，输出S=1+2+4=7故选：C【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键10设f（x）=，则f（f（2）=（）A1BCD【考点】分段函数的应用；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可【解答】解：f（x）=，则f（f（2）=f（22）=f
13、（）=1=1=故选：C【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3B4C2+4D3+4【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，该几何体的表面积为S几何体=12+12+22=3+4故选：D【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目12设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）A（，1）B（
14、1，+）C（）D（，+）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质【专题】开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：函数f（x）=ln（1+|x|）为偶函数，且在x0时，f（x）=ln（1+x）导数为f（x）=+0，即有函数f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（2x1）等价为f（|x|）f（|2x1|），即|x|2x1|，平方得3x24x+10，解得x1，所求x的取值范围是（，1）故选A【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键二.填空题：
15、本大题共4小题，每小题5分13已知x、y为正实数，且xy=2，则x+y的最小值是【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得x+y2=2，注意等号成立的条件即可【解答】解：x、y为正实数，且xy=2，x+y2=2，当且仅当x=y=时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题14函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程【解答】解：依题解：依题意得y=ex+xex，令y=0，可得x=1，y=因此函数y=xe
16、x在其极值点处的切线方程为y=故答案为：y=【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题15若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+2y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=21+1=3故答案为：3【点
17、评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法16在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p2=0有两个负根的概率为【考点】几何概型【专题】开放型；概率与统计【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率【解答】解：方程x2+2px+3p2=0有两个负根等价于，解关于p的不等式组可得p1或p2，所求概率P=故答案为：【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在锐角ABC中，a、b、c分别
18、为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值【考点】解三角形【专题】解三角形【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值【解答】解：（1）=2csinA正弦定理得，A锐角，sinA0，又C锐角，（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b22abcosC即7=a2+b2ab，又由ABC的面积得即ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定
19、理的运用考查了学生对三角函数基础知识的综合运用18如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，（1）求三棱锥PAOC的体积；（2）求异面直线PA和OE所成角的余弦值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何【分析】（1）由条件便知PO为三棱锥PAOC的高，底面积SAOC又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积（2）根据条件能够得到OEAC，从而找到异面直线PA，OE所成角为PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PHAC，从而可在RtPAH中求出cosPAC
20、【解答】解：（1）PO=2，OA=1，OCAB，三棱锥PAOC的体积V=；（2）C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，BOE=45，又ACO=45；OEAC；PAC便是异面直线PA和OE所成角；在ACP中，AC=，AP=CP=如图，取AC中点H，连接PH，则PHAC，AH=在RtPAH中，cosPAH=；异面直线PA与OE所成角的余弦值为【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，属于中档题19随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（）西安市某学
21、校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨【考点】概率的应用【专题】应用题；概率与统计【分析】（）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率；（）求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论【解答】解：（）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为
22、；（）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，从而估计运动会期间不下雨的概率为【点评】本题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键20如图，椭圆E： +=1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进
23、而得到椭圆方程；（）由题意设直线PQ的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论【解答】解：（）由题设知， =，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，可得（1+2k2）x24k（k1）x+2k（k2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x20，则x1+x2=，x1x2=，且=16k2（k1）28k（k2）（1+2k2）0，解得k0或k2则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+=+
24、=2k+（2k）（+）=2k+（2k）=2k+（2k）=2k2（k1）=2即有直线AP与AQ斜率之和为2【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题2120、已知函数f（x）=（aR），g（x）=（1）求函数g（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间与极值；（3）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e2上有公共点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；综合题【分析】（1）依题意，可求得g（1）=1，利
25、用直线的点斜式即可求得函数g（x）在x=1处的切线方程；（2）求得f（x）=，由f（x）0，可求得其单调递增区间，由f（x）0，可求其递减区间，从而可求其极值；（3）令F（x）=f（x）g（x）=，利用导数通过分类讨论思想来研究F（x）的单调性与极值，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（1）g（x）=，g（x）=g（1）=1，又g（1）=1，函数g（x）在x=1处的切线方程为y1=（x1），即y=x+2（2）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，令f（x）=0，得x=e1a，当x（0，e1a）时，f（x）0，f（x）在（0，e1a上是增函数；当x（e1a，+）时，f（x）0，f（x）在e
26、1a，+）上是减函数；函数f（x）的单调递增区间为（0，e1a，单调递减区间为e1a，+），极大值为f（x）极大值=f（e1a）=ea1，无极小值（3）令F（x）=f（x）g（x）=，则F（x）=令F（x）=0得x=e2a；令F（x）0，得0xe2a；令F（x）0，得xe2a故函数F（x）在区间（0，e2a上是增函数，在区间e2a，+）上是减函数当e2ae2，即a0时，函数F（x）在区间（0，e2a上是增函数，在区间e2a，e2上是减函数F（x）max=F（e2a）=ea2，又F（e1a）=0，F（e2）=0当0xe1a时，F（x）0；当e1axe2时，F（x）0；此时函数f（x）的图象与函数
27、g（x）的图象在区间（0，e2上有一个公共点当e2ae2，即a0时，函数F（x）在区间（0，e2上是增函数，F（x）max=F（e2）=若F（x）max=F（e2）=0，即1a0时，e1ae2，F（e1a）=0，所以函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e2上有一个公共点；若F（x）max=F（e2）=0，即a1时，函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e2上没有公共点综上，实数a的取值范围是1，+）【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查构造函数思想与等价转化思想、分类讨论思想的综合应用，属于难题22在直角坐标系xO
28、y中，直线C1：x=2，圆C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为=（R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】（）由条件根据x=cos，y=sin求得C1，C2的极坐标方程（）把直线C3的极坐标方程代入23+4=0，求得1和2的值，结合圆的半径可得C2MC2N，从而求得C2MN的面积C2MC2N的值【解答】解：（）由于x=cos，y=sin，C1：x=2 的极坐标方程为 cos=2，故C2：（x1）2+（y2）2=1的极坐标方程为：（cos1）2+（sin2）2=1，化简可得2（2cos+4sin）+4=0（）把直线C3的极坐标方程=（R）代入圆C2：（x1）2+（y2）2=1，可得2（2cos+4sin）+4=0，求得1=2，2=，|MN|=|12|=，由于圆C2的半径为1，C2MC2N，C2MN的面积为C2MC2N=11= 【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题