1、江苏省苏州市常熟市2020届高三数学阶段性抽测三试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】对集合进行化简，先求出，根据集合的交集运算，得到答案.【详解】集合因为集合所以所以.故答案为：.【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.2.若是虚数单位，复数是纯虚数，则实数值为_.【答案】2【解析】【分析】对复数进行化简，然后根据纯虚数的概念，得到的值.详解】复数因为为纯虚数，所以, ，所以.故答案为：【点睛】本题考查复数运算，根据复数的类型求参数的值，属于简单题.3.某高
2、校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为_【答案】【解析】【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丁专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丁专业要抽取的人数【详解】高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生本校共有学生150+150+400+3001000，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取60名学生进行调查每个个体被抽到的概率是 ，丁专业有300人，要抽取30018故答案
3、为18【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，属于常考题4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_【答案】16；【解析】【分析】程序语言表示“当型循环结构”，由值控制循环是否终止，当时，输出的值.【详解】输出.【点睛】阅读程序语言时，要注意循环体执行的次数，何时终止循环是解题的难点.5.将一枚质地均匀且各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为和，则点在直线上的概率为_.【答案】【解析】【分析】列出所有可能的情况，得到满足的情况，根据古典概型的概率公式，得到答案.【详解】根据题意，点可能出现的情况为：，
4、共种，其中满足点在直线上的情况为：，共种.根据古典概型的概率公式，得到所求概率.故答案为：.【点睛】本题考查利用古典概型公式求概率，属于简单题.6.已知为数列的前项和，若，则_.【答案】32【解析】【分析】由结合题意可得，再利用即可得解.【详解】当时，解得；当时，整理得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.故答案为：32.【点睛】本题考查了与关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题.7.阿基米德（公元前287年公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球
5、的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为_.【答案】【解析】【分析】设圆柱的底面半径为，则其母线长为，由圆柱的表面积求出，代入圆柱的体积公式，求出其体积，结合题目中的结论，即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱底面半径为，则其母线长为，因为圆柱的表面积为所以，得到所以圆柱的体积为，根据题意可知圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以该圆柱的内切球的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式，考查对题意的理解和转化，属于中档题.8.已知轴为曲线的切线，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设轴与曲线的切点为，由题
6、意结合导数的几何意义可得，解方程即可得解.【详解】由题意，设轴与曲线的切点为，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.9.如图，已知正方形的边长为2，点是半圆上一点（包括端点，），则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】以为原点建立直角坐标系，得到，将，用坐标表示，然后将转化为关于的函数，从而得到答案.【详解】以为原点，为轴，建立直角坐标系，正方形的边长为，所以半圆的半径为，则，所以，因为，所以，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查向量的坐标表示，向量数量积的坐标运算，正弦型函数的值域，属于中档题.10.已知函数的最小值为（为自然对数的底数），
7、则_.【答案】【解析】【分析】根据的最小值为，得到的值，然后分别计算和的值，得到答案.【详解】函数，当时，单调递减，当时，单调递增，因为最小值为，所以解得，所以即所以，所以故答案：.【点睛】本题考查根据分段函数的最值求参数，求分段函数的值，属于简单题.11.已知正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据，求出的最小值，从而得到关于的不等式，解得的范围.【详解】因为恒成立，所以，而正实数，满足，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查基本不等式中的代换，利用基本不等式求和的最小值和解决恒成立问题，属于中档题.12.已知椭圆：的焦点为，
8、如果椭圆上存在一点，使得，且的面积等于4，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】设，由得到在圆上，根据题意可得，根据的面积等于，得到点纵坐标，将圆与椭圆联立，表示出点纵坐标，从而得到的值，结合，得到的范围，从而求得的范围.【详解】设，因为椭圆上存在一点，使得，所以，即，可得，因为的面积等于，所以，即，椭圆与圆联立，得，所以，即，因为，所以，即，所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的坐标运算，焦点三角形的面积问题，属于中档题.13.如图，把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴，轴的交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于，两点，则
9、的周长的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据，得到圆的半径为，即，从而得到椭圆方程和圆的方程，设，分为，三种情况分别表示出的周长，得到关于的函数，从而得到其取值范围.【详解】圆弧的半径为，所以可得圆弧的半径为，即，所以，所以曲圆的方程为：，设，的周长为，当时，在圆上，在椭圆上，；当时，、都在椭圆上，； 当时，在圆上， 在椭圆上，；所以的周长的周长范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，圆的弦长公式，分段函数求值域，考查分类讨论的思想，属于中档题.14.已知实数，函数在闭区间上最大值为，在闭区间上的最大值为，若，则的值为_.【答案】或【解析】【分析】分，进行
10、讨论，分别研究和的值，利用，得到的值域，根据值域再得到的值.【详解】当，在闭区间上单调递增，所以，则在闭区间上单调递增，则，不满足，当，则，则在闭区间上的最大值为，也不满足；当，在闭区间上的最大值，若要满足，则，即在闭区间上的最大值为，所以，所以可得或解得或故答案为：或【点睛】本题考查正弦函数的性质，根据正弦函数的值域求参数的值，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在三棱柱中，为中点，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连结交于
11、点，连结，得到，从而证明平面.（2）由，得到，由平面平面，得到平面，从而得到，可以得到平面，再得到.【详解】证明：（1）连结交于点，连结.因为是三棱柱，所以是平行四边形，所以为中点.有因为为中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为，为中点，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质，属于简单题.16.已知是锐角三角形，向量，且.（1）求的值；（2）若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先利用向量数量积得，再根据两角差余弦公式得，最后根据
12、范围得（2）已知两角一边，求另一边，应利用正弦定理进行解决：先求所对角的正弦值：，再根据正弦定理，得试题解析：（1）因为，所以又，所以，所以，即；（2）因为，所以所以由正弦定理，得.考点：正弦定理，两角差余弦公式17.在平面直角坐标系中，已知圆：，点，点在圆上，.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于，两点（点在轴上方），点是抛物线上的动点，点为的外心，求线段长度的最大值，并求出当线段长度最大时，外接圆的标准方程.【答案】（1）（2）的最大值为；【解析】【分析】（1）设，根据得到，转化为坐标表示，得到，即，从而得到圆的方程；（2）由得到、的坐标，表示出线段的中垂线，令，得到的外心的坐标，由在抛物
13、线上得，从而得到，再由基本不等式，得到其最大值，确定出点坐标，再求出外接圆的半径，得到所求圆的方程.【详解】解：（1）设，则，因为，所以所以，由上式得：，所以，所以圆的方程为.（2）把代入圆的方程得，所以，作出线段的中垂线，则的外心为直线与轴的交点.直线的方程为：.当时，.因为点在抛物线上，所以所以.由得，所以，.当且仅当时，即时取到最大值.此时点坐标为，所以外接圆的半径，所以外接圆的标准方程为.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，求三角形外接圆的方程，利用基本不等式求最值，属于中档题.18.把一块边长为的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虛线与正六边形的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分），
14、折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设容器的底面边长为.（1）若，且该容器的表面积为时，在该容器内注入水，水深为，若将一根长度为的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于处，另一端置于侧棱上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的长度；（2）求该容器的底面边长的范围，使得该容器的体积始终不大于.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，表示出容器的高，从而可以表示出容器的底面积和侧面积，根据容器的表面积为，得到关于的方程，从而得到的值，设玻璃棒在上的交点为，玻璃棒与水面交点为，过作交于，根据得到的值；（2）表示出容器的体积，根据对恒成立，利用导数求出的最大值，从而
15、得到的范围.【详解】解：（1）由题意，则，设该容器的高为，则.当时，容器底面积，侧面积，所以容器表面积，整理得，得或（舍）.当玻璃棒一个端点置于处，另一端置于侧棱上时，如图，设玻璃棒在上的交点为，玻璃棒与水面交点为.因为为正六棱柱，所以四边形为矩形，在平面中，过作交于，如图所示，因为，则，因为，所以即，所以.（2）设该容器的体积为，.因为该容器的体积始终不大于，所以对恒成立.即对恒成立，令，令得，则随变化的表格如下：+0-增最大值减.所以，得，得.答：该容器底面边长满足时，容器的体积始终不大于.【点睛】本题考查求棱柱的表面积和体积，利用导数求函数的最大值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档
16、题.19.已知数列、中，且，设数列、的前项和分别为和.（1）若数列是等差数列，求和；（2）若数列是公比为2的等比数列.求；是否存在实数，使对任意自然数都成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在；实数【解析】【分析】（1）由题意得到得到等差数列的公差是，从而得到和，再分为奇数和为偶数，分别求出；（2）表由得到，结合是公比为2的等比数列，得到答案；根据题意得到，然后将用中的项表示，从而得到，由，得，从而得到关于的方程，因为对任意自然数都成立，所以得到关于的方程，解出的值.【详解】解：（1）依题意：时，又因数列是等差数列，所以数列的公差是，所以，所以.当是奇数时，当是偶数
17、时，所以（2）.，.由，得，即对任意恒成立，即对任意恒成立，所以解得.即存在实数使对任意恒成立.【点睛】本题考查求等差数列的通项和求和，数列分奇偶求和，由递推关系式求通项公式，数列中多项式恒成立问题，属于中档题.20.已知函数.（1）当时，求函数的单调减区间；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，试问过点可作的几条切线？并说明理由.【答案】（1）单调减区间为（2）（3）当时，切线有一条；当时，切线有两条，详见解析【解析】【分析】（1）对求导得到，令，得到的范围，从而得到的单调区间；（2）令，求导得到，令，分，研究的正负，即的正负，从而得到的单调性，再判断与的关系，从而得到的范围
18、；（3）切点为，利用导数的几何意义表示出过的切线，代入点坐标得到，令，分，讨论的正负，从而得到的单调性，再研究其零点，从而得到切点的个数和切线的条数.【详解】解：（1）时，令，则，所以的单调减区间为.（2）令，令，又，当时，在上恒成立，在上单调递减，成立；当时，在上单调递减，成立；当时，在上有唯一零点，记为，且在上递减，在上递增，当时，不成立.综上：.（3）设过的切线的切点为，则，切线方程为，又切线过，得，即，令，当时，在上递减，由，所以只有一解，即切线只有一条；当时，令，由在上单调递减，在递增，又，所以，一方面：，又，在上有零点；另一方面：由（2）知对恒成立，对恒成立，当时，有，又时，在上有零点，故有两个零点，即切线有两条.综上，当时，切线有一条；当时，切线有两条.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，导数的几何意义求过一点的切线方程，利用导数研究函数的零点个数，属于难题.
