1、湖南省衡阳八中2014-2015学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）1cos45cos15sin45sin15=（）A B C D 2若a、b、cR，ab，则下列不等式一定成立的是（）A B a2b2C 1D a（c2+1）b（c2+1）3已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A 4B 6C 8D 104若ABC的三内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，若a2+c2b2=ac，则B=（）A 30B 60C 120D 1505已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（）A 2n1B （）n1C （）
2、n1D 6设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为 （）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不确定7如图所示，D是ABC的边AB上的中点，记，则向量=（）A B C D 8设xR，记不超过x的最大整数为x，如2.5=2，2.5=3，令x=xx，则，三个数构成的数列（）A 是等比数列但不是等差数列B 是等差数列但不是等比数列C 既是等差数列又是等比数列D 既不是等差数列也不是等比数列9灯塔A和灯塔B与海洋观察站C的距离都是10海里，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东20，则灯塔A和灯塔B的距离为（）A
3、10海里B 20海里C 10海里D 10海里10已知Sn是等差数列annN*的前n项和，且S6S7S5，给出下列五个命题：d0；S110；S120；数列Sn中最大项为S11；|a6|a7|，其中正确命题的个数（）A 5B 4C 3D 1二、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）11已知=（2，），=（3，4），若，则=12已知不等式x2+（m+1）x+m20的解集为R，则实数m的取值范围为13已知，则=14已知等差数列an中，a32+a82+2a3a8=9，且an0，则S10为15已知平面内n（nN+）条直线，任意两条都相交，任意三条不共点，这n条直线将平面分割成an个区域，则an=三、解
4、答题（共6小题，满分55分）16在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60，cos（B+C）=（）求cosC的值；（）若a=5，求ABC的面积17已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）0的解集是（0，5）（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x1，1，不等式f（x）+t2恒成立，求t的范围18若x，y满足，求：（1）z=2x+y的最小值； （2）z=x2+y2的范围（3）z=的最大值19等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和20已知向量，设
5、函数且f（x）的最小正周期为（1）求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上上的取值范围21我们把一系列向量（i=1，2，3，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：=（1，1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn1+yn1）（n2）（1）证明：数列|是等比数列；（2）设n表示向量与间的夹角，若bn=n，对于任意正整数n，不等式+a（a+2）恒成立，求实数a的范围（3）设cn=|log2|，问数列cn中是否存在最小项？若存在，求出最小项
6、；若不存在，请说明理由湖南省衡阳八中2014-2015学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）1cos45cos15sin45sin15=（）A B C D 考点：两角和与差的余弦函数专题：计算题分析：观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值解答：解：cos45cos15sin45sin15=cos（45+15）=cos60=故选A点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键2若a、b、cR，ab，则下列不等式一定成立的是（）A B
7、a2b2C 1D a（c2+1）b（c2+1）考点：不等式的基本性质专题：不等式的解法及应用分析：利用不等式的基本性质即可判断出正误解答：解：A取a=2，b=1，满足ab，但是不成立；B取a=1，b=2，满足ab，但是a2b2不成立；C取a=2，b=1，满足ab，但是1不成立；Dab，c2+10，a（c2+1）b（c2+1），正确故选：D点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题3已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A 4B 6C 8D 10考点：等差数列；等比数列专题：等差数列与等比数列分析：利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求
8、得a2解答：解：a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，a32=a1a4，即（a1+4）2=a1（a1+6），解得a1=8，a2=a1+2=6故选B点评：本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单4若ABC的三内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，若a2+c2b2=ac，则B=（）A 30B 60C 120D 150考点：余弦定理专题：解三角形分析：由题意和余弦定理求出cosB的值，再由内角的范围和特殊角的余弦值求出角B的值解答：解：由题意知，a2+c2b2=ac，则由余弦定理得，cosB=，又0B180，则B=60，故选：B点评：本题考查余弦定理的应用，注意
9、内角的范围，属于基础题5已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（）A 2n1B （）n1C （）n1D 考点：数列的概念及简单表示法专题：等差数列与等比数列分析：由Sn=2an+1，可得Sn=2（Sn+1Sn），化为，利用等比数列的通项公式即可得出解答：解：Sn=2an+1，Sn=2（Sn+1Sn），化为，数列Sn是等比数列，首项是1Sn=故选：B点评：本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式及其前n项和公式，属于基础题6设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为 （）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝
10、角三角形D 不确定考点：三角形的形状判断专题：解三角形分析：根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状解答：解：bcosC+ccosB=asinA，sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，sinA0，sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A点评：本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查7如图所示，D是ABC的边AB上的中点，记，则向量=（）A B C D 考点：向量加减混合运算及其几何意义专题：平面向量及应用分析：由D是AB
11、C的边AB上的中点，可得在BCD中，利用向量的三角形法则可得，代入即可解答：解：D是ABC的边AB上的中点，在BCD中，由向量的三角形法则可得=故选B点评：熟练掌握向量共线定理和向量的三角形法则是解题的关键8设xR，记不超过x的最大整数为x，如2.5=2，2.5=3，令x=xx，则，三个数构成的数列（）A 是等比数列但不是等差数列B 是等差数列但不是等比数列C 既是等差数列又是等比数列D 既不是等差数列也不是等比数列考点：等比关系的确定；等差关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：根据定义分别求出=1，=，然后结合等比数列的定义进行判断即可得到结论解答：解：由题意得=1，=1=，=12，1，成
12、等比数列，不成等差数列，故选：A点评：本题主要考查等比数列的判断，根据定义将条件进行化简是解决本题的关键9灯塔A和灯塔B与海洋观察站C的距离都是10海里，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东20，则灯塔A和灯塔B的距离为（）A 10海里B 20海里C 10海里D 10海里考点：解三角形的实际应用专题：解三角形分析：根据题意确定AC，BC，C的值，利用余弦定理求得答案解答：解：在ABC中，由题意知AC=BC=10，ACB=120，由余弦定理知AB=10（海里）故灯塔A和灯塔B的距离为10（海里）故选：D点评：本题主要考查了余弦定理的应用注重了对学生实际解决问题能力的考查10已知
13、Sn是等差数列annN*的前n项和，且S6S7S5，给出下列五个命题：d0；S110；S120；数列Sn中最大项为S11；|a6|a7|，其中正确命题的个数（）A 5B 4C 3D 1考点：等差数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定解答：解：等差数列an中，S6最大，且S6S7S5，a10，d0，正确；S6S7S5，a60，a70，a1+6d0，a1+5d0，S6最大，不正确；S11=11a1+55d=11（a1+5d）0，S12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7
14、）0，正确，错误故选：C点评：本题考查等差数列的前n项和的最值在等差数列中Sn存在最大值的条件是：a10，d0二、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）11已知=（2，），=（3，4），若，则=考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：利用即=0，代入坐标计算即可解答：解：，=0，又=（2，），=（3，4），（2，）（3，4）=0，即：6+4=0，解得：=，故答案为：点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于基础题12已知不等式x2+（m+1）x+m20的解集为R，则实数m的取值范围为（，）（1，+）考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：不等式
15、恒成立，需0，解出即可解答：解：x2+（m+1）x+m20的解集为R，=（m+1）24m20，解得：m，或m1故答案为：（，）（1，+）点评：本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法，考查转化思想、考查学生解决问题的能力13已知，则=考点：诱导公式的作用；三角函数的化简求值专题：三角函数的求值分析：利用诱导公式化简所给的式子，运算求得的结果解答：解：，故答案为 点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，要特别注意符号的选取，属于中档题14已知等差数列an中，a32+a82+2a3a8=9，且an0，则S10为15考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a3+a8=
16、3，再由等差数列的求和公式和性质可得S10=5（a3+a8），代值计算可得解答：解：等差数列an中a32+a82+2a3a8=9，（a3+a8）2=9，又an0，a3+a8=3，S10=5（a1+a10）=5（a3+a8）=15故答案为：15点评：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题15已知平面内n（nN+）条直线，任意两条都相交，任意三条不共点，这n条直线将平面分割成an个区域，则an=考点：归纳推理专题：等差数列与等比数列；推理和证明分析：因为第n（n2）条直线与前n1条直线都相交且不共点，则它被前n1条直线分割成n段，每一段将它所在的原区域一分为二，即在原区域数上增加了n
17、个，故an=an1+n（n2），利用累加法可得答案解答：解：a1=2，a2=4，a3=7，a4=11，注意到an=an1+n（n2），因为第n（n2）条直线与前n1条直线都相交且不共点，则它被前n1条直线分割成n段，每一段将它所在的原区域一分为二，即在原区域数上增加了n个，故an=an1+n（n2）；则a2=a1+2，a3=a2+3，a4=a3+4，an=an1+n将这n1个式子累加得：an=a1+2+3+n=1+=故答案为：点评：本题考查的知识点是合情推理归纳推理，其中根据已知分析出an满足：an=an1+n（n2），是解答的关键三、解答题（共6小题，满分55分）16在ABC中，角A、B、C
18、的对边分别为a、b、c，已知B=60，cos（B+C）=（）求cosC的值；（）若a=5，求ABC的面积考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数专题：计算题分析：（）由B和C为三角形的内角，得到sin（B+C）大于0，由cos（B+C）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（B+C）的值，然后将C变形为（B+C）B，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（B+C）B后，根据B的度数，利用特殊角的三角函数值求出sinB和cosB的值，将各自的值代入求出cos（B+C）B的值，即为cosC的值；（）由C为三角形的内角及第一问求出的cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由三
19、角形的内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），由sin（B+C）的值得到sinA的值，由sinC，sinA及a的值，利用正弦定理求出c的值，进而由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积解答：（本小题满分12分）解：（）在ABC中，由cos（B+C）=，得sin（B+C）=，又B=60，cosC=cos（B+C）B=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB=+=；（6分）（）cosC=，C为三角形的内角，sin（B+C）=，sinC=，sinA=sin（B+C）=在ABC中，由正弦定理=得：=，c=8，又a=5，sinB=，则ABC的面积为S=
20、acsinB=58=10（12分）点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）0的解集是（0，5）（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x1，1，不等式f（x）+t2恒成立，求t的范围考点：函数恒成立问题；二次函数的性质专题：计算题分析：（1）根据不等式的解集与方程解之间的关系可知2x2+bx+c=0的两根为0，5，从而可求b、c的值，进而可求f（x）的解析式；（2）要使对于任意x1，1，不等式f（x）+t2恒成立，只需f（x）max2
21、t即可，从而可求t的范围解答：解：（1）f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）0的解集是（0，5）2x2+bx+c=0的两根为0，5b=10，c=0f（x）=2x210x；（2）要使对于任意x1，1，不等式f（x）+t2恒成立，只需f（x）max2t即可f（x）=2x210x=2，x1，1，f（x）max=f（1）=12122tt10点评：本题重点考查函数的解析式，考查恒成立问题，解题的关键是利用好不等式的解集与方程解之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决18若x，y满足，求：（1）z=2x+y的最小值； （2）z=x2+y2的范围（3）z=的最大值考点：简单线性规划专题：不等式
22、的解法及应用分析：先根据约束条件画出可行域，再分别利用几何意义求最值解答：解：作出满足已知条件的可行域为ABC内（及边界）区域，如图其中A（1，2），B（2，1），C（3，4）（1）目标函数z=2x+y，表示直线l：y=2x+z，z表示该直线纵截距，当l过点A（1，2）时纵截距有最小值，故zmin=4（2）目标函数z=x2+y2表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O到AB的距离d=且垂足是D（，）在线段AB上，故OD2zOC2，即z，25；（3）目标函数z=1+，则表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即=2，即zmax=3点评：本题考查了线性规划的应用，结合目
23、标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法19等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和考点：等比数列的通项公式；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数
24、列an的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和解答：解：（）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=故数列an的通项式为an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=2（）则+=2（1）+（）+（）=，所以数列的前n项和为点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及
25、等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题20已知向量，设函数且f（x）的最小正周期为（1）求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上上的取值范围考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由数量积的运算和三角函数的公式可得f（x）=sin（2x+）+，由周期可得=1，可得f（x）=sin（2x+）+，把2x+整体放在正弦函数的单调递增区间，解不等式可得；（2）由图
26、象变换的知识可得g（x）=sin（x+），由x的取值范围结合三角函数的运算可得答案解答：解：（1）由题意可得=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，函数的周期T=，=1，故f（x）=sin（2x+）+，由2x+，kZ 解得x，kZ故f（x）的单调递增区间是（6分）（2）由题意可得f（x）=sin（2x+）+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数y=sin（x+）+的图象，再向下g（x）=sin（x+）的图象，故y=g（x）=sin（x+）（9分），（11分），即g（x）的取值范围为（12分）点评：本题考查平面向量数量积的运算，以及正弦函数的单调性和函数
27、图象的变换，属中档题21我们把一系列向量（i=1，2，3，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：=（1，1），=（xn，yn）=（xn1yn1，xn1+yn1）（n2）（1）证明：数列|是等比数列；（2）设n表示向量与间的夹角，若bn=n，对于任意正整数n，不等式+a（a+2）恒成立，求实数a的范围（3）设cn=|log2|，问数列cn中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由考点：数列的应用；平面向量数量积的运算专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过向量模的定义计算可知|=|；（2）通过向量数量积的定义可知cosn=，进而bn=，则问题转化为解不等式1a（
28、a+2），计算即得结论；（3）通过假设数列cn中的第n项最小，找出数列的单调性计算即得结论解答：（1）证明：=（xn，yn）=（xn1yn1，xn1+yn1）（n2），|=|，数列|是等比数列；（2）解：cosn=，n=，bn=n=，不等式+a（a+2）恒成立，即+a（a+2）恒成立，记Tn=+，显然数列Tn单调递增，要使Tna（a+2）成立，只需1a（a+2），解得1a1+，使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围是：（1，1+）；（3）结论：数列cn中存在最小项，最小项是c5=理由如下：=（1，1），即|=，|=，cn=|log2|=，假设数列cn中的第n项最小，c1=，c2=0，0c2c1，当n3时，有cn0，cncn+1，即，整理得：n26n+70，解得：n3+或n3（舍），n5，即有c5c6c7，由cncn+1，得3n5，又0c2c1，c5c4c1，故数列cn中存在最小项，最小项是c5=点评：本题是一道关于数列与向量、不等式的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题