1、磐安县第二中学2020学年第一学期月竞赛高一数学 时间：2020年12月考生须知：1本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟2考生答题前，须将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上3选择题的答案必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净4非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效一、选择题（12题，每题5分，共60分）1已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个
2、2集合的非空真子集个数是（ ）A2 B3 C6 D73下列表示同一个函数的是（ ）A与 B与C与 D与4已知，则（ ）A B C D5已知幂函数的图象经过，则（ ）A3 B C D16函数的定义域是（ ）A B C D7在下列图象中，二次函数及指数函数的图象只可能是（ ）A B C D8下列命题不是存在量词命题的是（ ）A有些实数没有平方根 B能被5整除的数也能被2整除C在实数范围内，有些一元二次方程无解 D有一个m使与异号9若函数的值域是，则函数的值域是（ ）A B C D10当且时，函数的图象一定经过点（ ）A B C D11设函数，则是（ ）A奇函数，且在上是增函数 B奇函数，且在上是减
3、函数C偶函数，且在上是增函数 D偶函数，且在上是减函数12是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）A若，则函数的图象关于原点对称B若，则方程有大于2的实根C若，则方程有两个实根D若，则方程有三个实根二、填空题（4题，每题5分，共20分）13设全集U是实数集R，N为函数的定义域，则图中阴影部分所表示的集合是_14已知是定义域为R的奇函数，当时，写出分段函数的解析式_15已知对数函数的图象过点，则_16若不等式对于满足的一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是_三、解答题（第17题10分，第18-22每题12分，共70分）17求值：（1）求的值；（2）设，求的最
4、大值18已知函数，（1）当时，写出的单调递增区间；（2）当时，若直线与函数的图象交于A，B两点，记，求的最大值19设集合，若，（1）求集合A；（2）求实数a的取值范围20已知函数在区间上有最小值1和最大值4，设（1）求的值；（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围21某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计，另外，年销售x件B产品
5、时需上交万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润，与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案22已知是定义在的奇函数，且，若，且，有恒成立（1）判断在上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式的解集；（3）若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围磐安县第二中学2020学年第一学期月竞赛高一数学参考答案一、选择题（12题，每题5分，共60分）1【解答】解：因为，则，所以正确；，所以不正确；，所以不正确；，所以正确；因此，正确的式子有2个，故答案为：B2【解答】解：时：；时：；时：
6、，故集合共有3个元素，其非空真子集个数是：个，故选：C3【解答】解：A的定义域为R，的定义域为定义域不同，不是同一函数；B的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；C，这两函数的定义域都是，是同一函数，即该选项正确；D与的定义域和对应法则不同，不是同一函数故选：C4【解答】解：，故选：A5【解答】解：设幂函数，它的图象经过，所以，所以幂函数为，所以故选C6【解答】B7【解答】解：根据指数函数可知a，b同号且不相等，则二次函数的对称轴，可排除B与D；选项C，则指数函数单调递增，故C不正确故选：A8【解答】B选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存
7、在量词命题9【解答】解：令，则，则，当且仅当即时取等号，所以y的最小值为2，故选项为B10【解答】解：B11【解答】A由题意可得，函数的定义域为，且，故为奇函数又，易知在上为增函数，故在上为增函数12【解答】解：若，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项A错误；当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加b，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，所以选项B正确；若，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，那么只有1个零点，所以只有1个实根，所以选项C错误；若，则的图象由的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即只有一个实根，所以选项D错误故选B二、填
8、空题（4题，每题5分，共20分）13【解答】解：或，由，得，即，由图象可知阴影部分对应的集合为，；故答案为：14【解答】解：是定义域为的奇函数，若，则，即当时，即，则；故答案为：；15【解答】16【解答】三、解答题（第17题10分，第18-22每题12分，共70分）17【解答】解：（1）原式（2）当且仅当时，取得最大值18【解答】见作业本52页19【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；集合【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，化简集合A即可；（2）化简集合B，根据集合的运算性质，把问题转化为讨论a的取值，解对应不等式的问题【解答】解：（1），
9、故；（2），不等式等价于，当时，解得；当时，则，不满足；当时，则，满足；综上，a的取值范围是：【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，考查了分类讨论思想与转化法的应用问题，是综合性题目20【解答】（1）函数，其中，则其图象开口向上，对称轴方程为，该函数在区间上单调递增，解得，解得（2），不等式等价于，即，要满足不等式在时恒成立，只需满足在时恒成立即可设，当时，21【考点】函数最值的应用【专题】应用题；作差法【分析】（1）利润=年销售收入-固定成本-产品成本-特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润，与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义
10、域；（2）作差法比较年利润，的大小，设确定计相关方案【解答】解：（1），且，且（2）为增函数又，时，生产A产品有最大利润（万美元），时，生产B产品有最大利润460（万美元）当时，当时，当时，当投资A产品200件可获得最大利润当投资B产品100件可获得最大利润生产A产品与B产品均可获得最大年利润【点评】考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题22【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合【专题】分类讨论；函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】（1）直接根据单调性的定义判断和证明该函数为增函数；（2）根据对数函数的图象和性质列出不等式组解出即可；（3）问题转化为，再构造函数并通过分类讨论求范围【解答】解：（1）在上为增函数，证明如下：任取，满足，由为奇函数，又因为，且，都有，所以在上为增函数；（2）原不等式等价于：， ， 综合以上三式得，原不等式解集为：；（3）在递增，则，即对恒成立，记关于a的函数，问题等价为：在上恒成立，当时，满足，当时，递增，令；当时，递减，令，综合以上讨论得，实数m的取值范围为【点评】本题主要考查了抽象函数单调性的判断与证明，对数函数的图象与性质，不等式恒成立问题的解法，属于中档题