1、福建省福州第一中学2020届高三数学下学期开学质检试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知全集，集合, 集合，那么= （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求.【详解】由题得A=x|x0,B=y|y1，所以.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.2.复数的共轭复数是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故其共轭复数是 ，选B3.
2、下列命题中假命题()A. x0R，ln x00B. x(，0)，exx1C. x0,5x3xD. x0(0，)，x0sin x0【答案】D【解析】【详解】x0R，lnx00，的当x（0，1）时，恒成立，所以正确；x（，0），令g（x）exx1，可得g（x）ex10，函数是减函数，g（x）g（0）0，可得x（，0），exx+1恒成立，正确；由指数函数的性质的可知，x0，5x3x正确；令f(x)sin xx(x0)，则f(x)cos x10，所以f(x)在(0，)上为减函数，所以f(x)f(0)，即f(x)0，即sin xx(x0)，故x(0，)，sin xx，所以D为假命题，故选D.4.执行如图
3、所示的程序框图，输出的值为（ ）A. B. C. D. 6【答案】B【解析】【详解】第一次循环，；第二次循环，；以此类推得第七次循环，；结束循环输出，选B.点睛：算法与流程图考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.一次数学考试后，某老师从甲，乙两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则的值为（ ）A. 2B. -2C. 3D. -3【答
4、案】D【解析】 由茎叶图知，解得，所以，故选D.6.中国诗词大会（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A. 288种B. 144种C. 720种D. 360种【答案】B【解析】【分析】根据题意分步进行分析：用倍分法分析将进酒，望岳和另外两首诗词的排法数目；用插空法分析山居秋暝与送杜少府之任蜀州的排法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意分步进行分析：将将进酒，望岳
5、和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序将进酒排在望岳的前面，这首诗词的排法有种，这首诗词排好后，不含最后，有个空位，在个空位中任选个，安排山居秋暝与送杜少府之任蜀州，有种安排方法则后六场的排法有种 故选【点睛】本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待7.在平面直角坐标系中，不等式组 (r为常数)表示的平面区域的面积为，若x，y满足上述约束条件，则z的最小值为( )A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，
6、如图所示，由题意，知，解得因为目标函数表示区域内上的点与点连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为，即，则有，解得或（舍），所以，故选D8.已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】由题意可得： ，由等比数列前n项和的特点可得数列 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式： ，设 ，则： ，解得： ，数列 的通项公式 ，由等比数列求和公式有： ，考查所给的选项： .本题选择D选项.9.双曲线的左、右焦点为，抛物线：的焦点为，点为双曲线与抛物线的一个交点，若线
7、段的中点在轴上，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据抛物线焦点为，求得;再根据线段的中点在轴上，可得点横坐标，分析可知轴.由双曲线通经公式可得，即可由勾股定理及双曲线定义得关系，进而求得离心率.【详解】抛物线：焦点为则抛物线焦点为，所以，即，因为线段的中点在轴上，所以点横坐标为，则轴所以，即则根据双曲线定义可知所以解得故选:B【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，抛物线焦点与双曲线焦点的关系，双曲线的几何意义，中点坐标公式的应用，属于中档题.10.已知函数，若存在满足，且，则的最小值为（ ）A. 6B. 10C. 8D. 12【答案】C【解析】【分
8、析】由辅助角公式先将函数化简，当时取得最小值，由正弦函数的性质即可求得的值即可求解.【详解】函数，根据助辅助角公式化简可得因为所以当时，的取值满足，所以此时的最小值为8故选:C【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质应用，辅助角化简三角函数式的应用，属于中档题.11.如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】在平面BCC1B1上，P到直线C1D1的距离为|PC1|，P到直线BC与直线C1D1的距离相等，点P到点C1的距离与到直线BC的距离相等，轨迹为抛物线,且点C1为焦点，B
9、C为准线；故排除C，D，同理可得，在平面ABB1A1上，点P到点B的距离与到直线C1D1的距离相等，从而排除A，本题选择B选项.12.已知函数，其中，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用f（1）0得出a，b的关系，根据f（x）0有两解可知y2e2x与y2ax+a+1e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a的范围【详解】解：f（1）0，e2a+b10，be2+a+1，f（x）e2xax2+（e2+a+1）x1，f（x）2e2x2axe2+a+1，令f（x）0得2e2x2a
10、xa1+e2，函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点，y2e2x与y2axa1+e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，作出y2e2x与y2axa1+e2a（2x1）+e21函数图象，如图所示：若直线y2axa1+e2经过点（1，2e2），则ae2+1，若直线y2axa1+e2经过点（0，2），则ae23，e23ae2+1故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，
11、然后数形结合求解二、填空题（每小题5分，共20分）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则7288用算筹式可表示为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，分别用横式或纵式表示出7288的各位数字，合并后即可得解.【详解】根据题意， 7288用算筹式
12、表示时:千位需要用横式表示，即7用来表示;百位需要用纵式表示，即2用来表示;十位需要用横式表示，即8用来表示;个位需要用纵式表示，即8用来表示.所以7288用算筹式可表示为；故答案为:.【点睛】本题考查了数学在中国传统文化中的应用，对所给条件分析清晰，进行合理运用，属于基础题.14.若随机变量，且，则展开式中项的系数是_【答案】1620【解析】随机变量，均值是2，且，；又展开式的通项公式为，令，解得，不合题意，舍去；令，解得，对应的系数为；令，解得，不合题意，舍去；展开式中项的系数是，故答案为1620.点睛：本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题；
13、根据正态分布的概率性质求出的值，再化；利用(展开式的通项公式求出含的系数，即可求出对应项的系数.15.已知是圆上一点，且不在坐标轴上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的最小值为_【答案】8【解析】设点，则直线PA的方程：，则 同理，则的最小值为8.16.如图，在中，三内角，的对边分别为，且，为的面积，圆是的外接圆，是圆上一动点，当取得最大值时，的最大值为_.【答案】.【解析】试题分析：，设圆的半径为，则，当时，取得最大值，建立如图直角坐标系，则，设，则，当且仅当时，取最大值.考点：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.平面向量数量积的坐标运算.三、解答题（17，18，19，20，21
14、每题12分，22，23选做一题每题10分，共70分）17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】试题分析: （）求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项与公差的方程组,解出首项与公差再代入通项公式即可,（）涉及符号数列求和,一般方法为分组求和,即按奇偶,项的正负重新组合,利用平方差公式转化为求特殊数列(如等差数列)的和.试题解析: （）设等差数列的公差为，由可得，即，所以，解得 （）由（）可得：. 点睛：本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见
15、类型有分段型（如 ）及本题的符号型（如 ）18.如图，在四边形中，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（）在梯形中，设，题意求得,再由余弦定理求得,满足,得则.再由平面得，由线面垂直的判定可.进一步得到丄平面;（）分别以直线为:轴，轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ,令得到的坐标，求出平面的一法向量.由题意可得平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当时，有最小值为,此时点与点重合.试题解析：（）证明：在梯形中，,设，又,.则.平
16、面,平面，,而,平面.,平面.（）解：分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，令，则，设为平面的一个法向量，由得，取，则，是平面的一个法向量，当时，有最小值为，点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中，（1）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；（2）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声
17、音能量分别是和，且.已知点的声音能量等于声音能量与之和.请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（1）（2）会受到干扰,理由见解析.【解析】【分析】（1）令，建立D与W的线性回归方程，结合所给公式求得.代入样本中心点求得，即可得声音强度关于声音能量的回归方程.（2）由点，结合，利用基本不等式求得点能量的最小值.由（1）得声音强度的预报值，比较大小即可判断.【详解】（1）令，则由表中参考数据可得 将代入可得所以即声音强度关于声音能量的回归方程为（2）已知点的声音能量等于声音能量与之和，所以而，即所
18、以 由（1）可知点的声音强度预报值为所以点会受到噪声污染的干扰【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法，利用线性回归方程进行预报与判断，属于中档题.20.已知在椭圆上，为右焦点，轴，为椭圆上的四个动点，且，交于原点.（1）判断直线与椭圆的位置关系；（2设，满足，判断的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形面积的最大值，否则说明理由.【答案】（1）直线与椭圆相切或相交.（2）的值是定值，；【解析】【分析】（1）将直线变形，可确定直线所过定点的坐标，可得该定点坐标在椭圆上，即可判断出直线与椭圆的位置关系.（2）先根据条件，求得椭圆的标准方程.讨论直线的斜率情况可知当斜率不存在或斜率为0时不满
19、足.进而设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理及等式，化简即可求得的值，确定为定值；由点到直线距离公式求得，利用弦长公式求得，即可用表示出，由二次函数性质求得的最大值，并根据即可求得的最大值.【详解】（1）直线，将直线方程化简变形可得，因为，令，解得 ，所以直线过定点，而由在椭圆上，可知直线与椭圆相切或相交.（2）在椭圆上，轴，由椭圆性质可得 ，则解得 ，所以椭圆的标准方程为，因为，为椭圆上的四个动点且，交于原点.所以，当直线的斜率不存在时，不满足，因而直线的斜率一定存在.当直线斜率存在且为0时，不满足，所以直线的斜率一定存在且不为0.设直线的方程为.则，化简可得，所以，因为，所以，则，整
20、理可得，解得.由题意可知的位置等价，所以不妨设，则，则，即为定值.直线的方程为.即则点到直线的距离为 因为代入可得则由弦长公式可得 所以 当时取等号.而时满足.所以 此时故四边形面积的最大值的最大值为4【点睛】本题考查了直线过定点的求法，直线与椭圆位置关系的判断，椭圆标准方程的求法，韦达定理在求弦长公式中的应用，椭圆中的四边形面积问题综合应用，属于难题.21.已知函数. （1）讨论函数的单调性；（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证:.【答案】(1)见解析；(2) 见解析.【解析】试题分析：(1) 求出，分五种情讨论，分别令得增区间，得减区间；（2）根据导数的几何意义可求出两切线
21、的斜率分别为，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于的两个等式，由其中一个等式求得的范围，再根据另一个等式利用导数求得的范围.试题解析：由已知得，所以.(1). 若，当或时，；当时，所以的单调递增区间为；单调递减区间为. 若，当时，；当时，所以的单调递增区间为；单调递减区间为. 若，当或时，；当时，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.若，故的单调递减区间为.若，当或时，；当时，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递减区间为；当时，单调递增区间为 ；单调递减区间为,
22、；(2),设的方程为，切点为，则，所以.由题意知，所以的方程为，设与的切点为，则.又,即，令，在定义域上，所以上，是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22.已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极
23、坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若曲线与直线有唯一公共点，求实数的值.【答案】（1）, （2）【解析】【分析】（1）由极坐标方程与直角坐标方程转化公式，代入即可得解.（2）将直线参数方程化为普通方程，利用直线与圆相切的性质即可求得的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程为.化为直角坐标方程可得化为标准方程可得，（2）直线（为参数），化为普通方程可得由（1）可知曲线:为圆因为曲线与直线有唯一公共点，由点到直线距离公式可知 解得【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，参数方程化为普通方程，直线与圆的位置关系应用，属于中档题.23.已知，记，（1）求的最大值；（2）若，
24、是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）1 （2）存在,理由见解析.【解析】【分析】（1）将，代入中，配成二次函数形式，结合二次函数性质即可求得最大值.（2）假设存在，使得和同时成立，利用换元法令将方程组化简后再令可得关于的一元二次不等式.结合判别式即可判断是否存在正数解，即可判断是否存在.【详解】（1），记，则当且仅当时取等号所以的最大值为1（2）存在，使得.理由如下:假设存在，使得.则令 则方程组可化为令 将上述方程组化为 则且 所以由正实数根，即存在正数满足方程因此存在使得为正数也就存在，使得，同时成立【点睛】本题考查了方程和不等式的综合应用，由二次函数性质求最值，一元二次方程的根与判别式关系的应用，属于中档题.
