1、6.1概率、统计基础题命题角度1抽样方法高考真题体验对方向1.(2013全国3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是() A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样答案C解析因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.2.(2017江苏3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件
2、进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.答案18解析抽取比例为,故应从丙种型号的产品中抽取300=18(件),答案为18.新题演练提能刷高分1.(2018福建福州3月质检)为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按年龄段分层抽样D.系统抽样答案C解析该地区老、中、青三个年龄段人员的活动情况有较大差异,而男女差异不大,所以按年龄段分层抽样具有代表性,比较合理.2.(
3、2018山东烟台一模)已知某单位有职工120人,男职工有90人,现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本,若已知样本中有18名男职工,则样本容量为()A.20B.24C.30D.40答案B解析设样本容量为n,则,n=24,选B.3.(2018湖南永州三模)现从已编号(150)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法所选取的5位同学的编号可能是()A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5D.2,10,18,26,34答案B解析由系统抽样方法的概念,抽取5位,必须每层都有,则每10个里面有1个,所以符合要
4、求的编号可能是3,13,23,33,43,故选B.4.(2018宁夏银川4月质检)我国古代数学名著九章算术中有如下问题“今有北乡八千七百五十八,西乡七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,何各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数是()A.102B.112C.130D.136答案B解析由题意得,三乡总人数为8 758+7 236+8 356=24 350.共征集378人,需从西乡征集的人数是378112,故选B.5.(2018湖
5、南怀化期末监测)总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314021443199714019832049234493682003623486969387181A.01B.02C.14D.19答案A解析从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的,编号重复的保留前者.可知对应的数值为08,02,14,19,01,则第五个个体的编号为01.故选A.6.(2018吉林百校联盟联考)分层抽样是将总体分成
6、互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法;在九章算术第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付51钱B.乙应付32钱C.丙应付16钱D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少答案B解析依题意,由分层抽样知识可知,100(560+350+180)=,则甲应付560=51钱;乙应付35
7、0=32钱;丙应付180=16钱.故选B.7.(2018广东东莞第二次综合考试)某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查,得到了如下表所示的数据,则=.年级段小学初中高中总人数800xy样本中人数1615z答案37 500解析由分层抽样的特点,得,即x=750,=50,则=37 500.8.(2018重庆二诊)某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组120号,第二组2140号,第五组81100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为.答案64解析设在第一组中抽取的号码为a1
8、,则在各组中抽取的号码满足首项为a1,公差为20的等差数列,即an=a1+(n-1)20,又第二组抽取的号码为24,即a1+20=24,所以a1=4,所以第四组抽取的号码为4+(4-1)20=64.9.(2018山东淄博一模)某校高三年级3个学部共有600名学生,编号为:001,002,600,从001到300在第一学部,从301到495在第二学部,从496到600在第三学部.采用系统抽样的方法从中抽取50名学生进行成绩调查,且随机抽取的号码为003,则第二学部被抽取的人数为.答案17解析由题意得,号码的间隔为=12,则第一组随机抽取的号码为003,则抽取的号码构成一个等差数列,通项公式为3+
9、12(n-1)=12n-9,由30112n-9495,即n,即26n42,共有17人.10.(2018广东中山期末)某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本,若分别采用系统抽样法和分层抽样法,则都不用剔除个体;当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,那么样本容量n为.答案6解析n为18+12+6=36的正约数,因为18126=321,所以n为6的倍数,因此n=6,12,18,24,30,36.因为当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,所以n+1为35的正约数,因此n=
10、6.命题角度2求古典概型的概率高考真题体验对方向1.(2018全国8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.答案C解析不超过30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10个.其中和为30的有7+23,11+19,13+17共3种情况,故P=.2.(2014全国5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.答案D解析(方法
11、一)由题意知基本事件总数为24=16,对4名同学平均分组共有=3(种),对4名同学按1,3分组共有种,所以周六、周日都有同学参加共有3=14(种).由古典概型得所求概率为.(方法二)周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16-2=14(种).故所求概率为.故选D.新题演练提能刷高分1.(2018湖南、江西第一次联考)袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“8”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.
12、答案D解析从球“2”“0”“1”“8”中随机选取三个球有种取法,能成等差数列的取法只有一种,为“0”“1”“2”,即概率为.故选D.2.(2018北京海淀期末)从编号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()A.B.C.D.答案C解析从编号为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,共有=20种不同的取法,恰好有两个小球编号相邻的有:(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(2,3,5),(2,3,6),(3,4,1),(3,4,6),(4,5,1),(4,5,2),(5,6,1),(5,6,2
13、),(5,6,3),共有12种,所以概率为p=,故选C.3.(2018辽宁六校协作体期中)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为()A.B.C.D.答案C解析四个人坐着或站起来的情形共有24=16种.没有相邻的两个人站起来,即硬币的正面不能相邻,有以下几种情况:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,共有7种方法.由古典概型概率公式可得,没有相邻的两个人站起来的概率为.选C.4.(2018湖南益阳4月调研)现有6张牌面分别
14、是2,3,4,5,6,7的扑克牌,从中取出1张,记下牌面上的数字后放回,再取一张记下牌面上的数字,则两次所记数字之和能整除18的概率是()A.B.C.D.答案D解析由题意,试验的情况总数有=66=36,又18=233,即两次所记数字之和能整除18的有:2+4,2+7,3+6,4+5,两次交换顺序共8种,还有3+3,即所求事件个数共有9,所以所求概率为p=.故选D.5.(2018湖北重点高中协作体期中)有4张卡片(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿,从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片,则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为()A.B.C.D.答案C解析有4张卡片(除颜色外无差别),颜色
15、分别为红、黄、蓝、绿.从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片,基本事件总数n=6,取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件个数m=3,取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为p=.故选C.6.(2018安徽马鞍山第二次质量监测)从3名男生,2名女生中选3人参加某活动,则男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动的概率为()A.B.C.D.答案D解析由题意得总的基本事件个数为=10,事件A分三类,第一类:从三名男生中选两名男生和另外一名女生组合,有=3种方法;第二类:选除了甲以外的两名男生和女生乙,有一种方法;第三类:选两名女生,从除了甲以外的两名男生中选一个,有=2种方法,共有6种
16、方法,所以由古典概型的公式得P(A)=,故选D.7.(2018河北唐山二模)甲、乙等4人参加4100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是()A.B.C.D.答案D解析由题意得甲不跑第一棒的总的基本事件有=18种,甲不跑第一棒,乙不跑第二棒的基本事件有=14,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是p=.故选D.8.(2018上海崇明二模)某办公楼前有7个连成一排的车位,现有三辆不同型号的车辆停放,恰有两辆车停放在相邻车位的概率是.答案解析7个车位都排好车辆,共有种方法,满足题意的排法等价于7辆车排列,满足其中三辆中恰有两辆车停放在相邻车位,则首先排列
17、余下的四辆车,有种方法,然后从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑,3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中,共有种方法,由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为p=.9.(2018山西太原一模)某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是.答案解析由题意得共有(1,1,5),(1,5,1),(5,1,1),(1,2,4),(1,4,2),(2,1,4),(2,4,1),(4,1,2),(4,2,1),(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(2,2,3),(2,3,2),(3,
18、2,2)这15种,其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有(5,1,1),(4,1,2),(4,2,1),(3,1,3),(3,3,1),(3,2,2)6种,所以概率为.10.(2018江西重点中学盟校第一次联考)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是.答案解析从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换,基本事件总数为n=9.从中随机抽取2个人进行位置调换,第一次调换后,对调后的位置关系有三种:甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲,第二次调换后甲在乙左边对应的关系有:丙甲乙、甲乙丙;丙甲乙、甲乙
19、丙;甲丙乙、丙甲乙,经过两次这样的调换后,甲在乙左边包含的基本事件个数m=6,故甲在乙左边的概率为p=.命题角度3用几何概型的概率求解高考真题体验对方向1.(2018全国10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案A解析设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为,以AB为
20、直径的圆面积为,以AC为直径的圆面积为.所以S=ab,S=ab=ab,S=ab,所以S=S,由几何概型,知p1=p2.2.(2017全国2)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.答案B解析不妨设正方形边长为2,则圆半径为1,正方形的面积为22=4,圆的面积为12=.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即r2=,所以此点取自黑色部分的概率为.3.(2016全国4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间
21、到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.答案B解析这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为:7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=,故选B.4.(2016全国10)从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.B.C.D.答案C解析利用几何概型求解,由题意可知,所以=.5.
22、(2016山东14)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.答案解析直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即d=3,解得-k,而k-1,1,所以发生的概率为.新题演练提能刷高分1.(2018河北石家庄一模)函数f(x)=2x(x0),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则xD的概率是() A.B.C.D.答案B解析函数f(x)=2x(x0)的值域为(0,1),即D=(0,1),则在区间(-1,2)上随机取一个数x,xD的概率p=.故选B.2.(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考
23、)某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率为()A.B.C.D.答案B解析由题意,此人在50分到整点之间的10分钟内到达,等待时间不多于10分钟,所以概率p=.故选B.3.(2018湖南衡阳二模)“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深,芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为()A.B.C
24、.D.答案B解析设水深为x尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x2+52,解得x=12,可得水深12尺,芦苇长13尺,根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为p=,故选B.4.(2018山东烟台一模)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图,是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自灰色部分的概率是()A.B.C.D.答案B解析不妨设小正方形的边长为1,则两个等腰直角三角形的边长为1,1,一个等腰直角三角形的边长为,2,两个等腰直角三角形的边长为2,2,2,即最大正方形边长为2,所
25、以p=1-,选B.5.(2018山西太原二模)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形,若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形内的概率为,则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()A.B.C.D.答案B解析设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x,1+x,由几何概型可得,解得x=1,x=-2(舍),所以直角三角形边长分别为1,2,直角三角形中较大锐角的正弦值为,选B.6.(2018安徽合肥第二次质检)小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午5:006:00之间送货上门,已知小李下班到家的时间为下午5:306:00.快递
26、员到小李家时,如果小李未到家,则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家,则快递员等小李回来;否则,就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为()A.B.C.D.答案D解析设快递员到小李家的时间为x,小李到家的时间为y,由题意可得所有基本事件构成的平面区域为,设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A,则事件A包含的基本事件构成的平面区域为,如图阴影部分所示的直角梯形.在y-x=中,当y=5.5时,x=;当y=6时,x=.阴影部分的面积为S阴影=,由几何概型概率公式可得P(A)=,即小李需要去快递柜收取商品的概率为.选D.7.(2018江西教学质量监测)在圆C:(x-3)2
27、+y2=3上任取一点P,则锐角COP59,5148,3629,6845,所以在北京这22天的空气质量中,按平均数来考察,最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量,即选项A正确;AQI不低于100的数据有3个:143,225,145,所以在北京这22天的空气质量中,有3天达到污染程度,即选项B正确;因为12月29日的AQI为225,为重度污染,该天的空气质量最差,即选项C错误;AQI在0,50)的数据有6个:36,47,49,48,29,45,即达到空气质量优的天数有6天,即选项D正确.故选C.10.(2018陕西榆林二模)为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况,以及重要商品库存变化的动向
28、,中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查,制定了中国仓储指数.由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数,绘制出如下的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是()A.2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B.2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55C.2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D.2016年1月至4月的仓储指数相对于2017年1月至4月,波动性更大答案D解析2016年各月的仓储指数最大值是在11月份,所以A错误;由题图可知,2017年1月至7月的仓储指数的中位数约为53,所以B错误;2017年4月的仓储指数的平均数为=53,所以C错误;由
29、题图可知,2016年1月至4月的仓储指数比2017年1月至4月的仓储指数波动更大,故选D.命题角度5条件概率、相互独立事件与二项分布、正态分布高考真题体验对方向1.(2015全国4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案A解析由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=0.62(1-0.6)+0.63=0.648.2.(2014全国5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的
30、概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案A解析设某天空气质量为优良为事件A,随后一天空气质量为优良为事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率为P(B|A)=0.8,故选A.3.(2015湖南7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2 386B.2 718C.3 413D.4 772附:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4.答案C解析由于曲线C为
31、正态分布N(0,1)的密度曲线,所以P(-1X1)=0.682 6,由正态分布密度曲线的对称性知P(0X1)=0.341 3,即图中阴影部分的面积为0.341 3.由几何概型知点落入阴影部分的概率P=0.341 3.因此,落入阴影部分的点的个数的估计值为10 0000.341 3=3 413.故选C.新题演练提能刷高分1.(2018贵州贵阳模拟)某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”,若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为,两户是否获得扶持资金相互独立,则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为()A.B.C.D.答案C解析两户中至少有一户获得扶持资金的概率p=.2.(2018河北邯郸一模)某电视
32、台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.56B.0.336C.0.32D.0.224答案D解析该选手只闯过前两关的概率为0.80.7(1-0.6)=0.224,选D.3.(2018山东济南期末)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(0,2),若在(-,-1)内取值的概率为0.1,则在(0,1)内取值的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1答案B解析服从正态分布N(0,2),曲线的对称轴是直线x=0,P(1)=0.1,在区间(0,1)内取值的概率为0.
33、5-0.1=0.4,故选B.4.(2018江西新余二模)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A=“第一次取到的是奇数”,B=“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)=()A.B.C.D.答案A解析由题意得P(A)=,P(AB)=,P(B|A)=.选A.5.(2018四川德阳二诊)为弘扬我国优秀的传统文化,市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试,经过大数据分析,发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16).试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为()A.0.13%B.1.3%C.3%D.3.3%答案A解析由题意,=78,=4,在区
34、间(66,90)的概率为0.997 4,成绩不小于90的学生所占的百分比为(1-0.997 4)=0.13%,故选A.6.(2018青海西宁一模)先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且xy”,则概率P(B|A)=()A.B.C.D.答案A解析设事件A为“x+y为偶数”中包含的基本事件为(1,3),(1,5),(1,1),(3,3),(5,5),(3,1),(5,1),(5,3)(3,5),(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(
35、4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共18个,事件A中含有的B事件为(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4),共有6个,所以P(B|A)=,故选A.7.(2018湖北荆州第三次质检)已知随机变量N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形OABC中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()注:P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%.A.6 038B.6 587C.7 028D.7 539答案B解析随机变量N(1,1),P(01)=P(-+)=34.13%,S阴影=12-0.341 3=0.658 7,落入阴影
36、部分的点的个数的估计值为10 0000.658 7=6 587(个).选B.8.(2018安徽合肥第一次质检)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在98,104内的产品估计有()(附:若X服从N(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4)A.3 413件B.4 772件C.6 826件D.8 185件答案D解析由题意可得,该正态分布的对称轴为x=100,且=2,则质量在96,104内的产品的概率为P(-2X+2)=0.954 4,而质量在98,102内的产品的概率为P(
37、-X+)=0.682 6,结合对称性可知,质量在98,104内的产品估计有0.682 6+=0.818 5,据此估计产品的数量为10 0000.818 5=8 185件.故选D.9.(2018山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且XN(800,502).记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为(参考数据:若XN(,2),有P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,P(-3X+3)=0.997 4)()A.0.977 2B.0.682 6C.0.997 4D.0.954 4答案A解析随机变量X服从正态分布N(800,502),
38、=800,=50,P(700X900)=0.954 4,根据正态分布的对称性可得p0=P(X900)=P(X800)+P(800X900)=P(700X900)=0.954 4=0.977 2,故选A.命题角度6期望与方差的求解高考真题体验对方向1.(2018全国8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B解析由题意,得DX=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,p(1-p)=0.24,由p(X=4)p(X=6)知p4(
39、1-p)6(1-p)2,p0.5,p=0.6(其中p=0.4舍去).2.(2017全国13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.答案1.96解析由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则D(X)=np(1-p)=1000.020.98=1.96.3.(2016四川12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(
40、反反),所以试验一次成功的概率为1-.所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,其中P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以在2次试验中成功次数X的均值是E(X)=0+1+2.新题演练提能刷高分1.(2018江西师大附中模拟)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则n,p分别等于()A.n=45,p=B.n=45,p=C.n=90,p=D.n=90,p=答案C解析随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得np=30,np(1-p)=20,解得p=,n=90,故选C.2
41、.(2018浙江宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(nN*)个黑球.现从中有放回地摸取4次,每次都是随机摸取一球,设摸得白球个数为X,若D(X)=1,则E(X)=()A.1B.2C.3D.4答案B解析由题意,XB(4,p),D(X)=4p(1-p)=1,p=,E(X)=4p=4=2,故选B.3.(2018广东深圳模拟)位摊主在一个旅游景点设摊,在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则为:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值
42、是()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案A解析游客摸出的2个小球同色的概率为,所以摊主从每次游戏中获得的利润分布列为X-11P因此E(X)=-1+1=0.2.4.(2018广东茂名第二次联考)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球,现从中逐个不放回地摸出小球,直到取出所有红球为止,则摸取次数X的数学期望是()A.B.C.D.答案D解析当X=k时,第k次取出必然是红球,而前k-1次中,有且只有1次取出的是红球,其余次数取出的皆为黑球,故P(X=k)=,于是得到X的分布列为X234567P故E(X)=2+3+4+5+6+7,故选D.5.(2018广东肇庆三模)已知5台机器
43、中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出这2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为()A.3 200B.3 400C.3 500D.3 600答案C解析设检测的机器的台数为X,则X的所有可能取值为2,3,4.P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=1-,所以E(X)=2+3+4=3.5,所以所需的检测费用的均值为1 0003.5=3 500.故选C.6.(2018安徽淮北二模)已知随机变量X的分布列如下表,又随机变量Y=2X+3,则Y的均值是.X-101Pa答案解析由已知a=1-,X的均值为E(X)=-1+1=-,故Y的均值为2+3=.7.(2018重庆模拟)已知随机变量XB,且随机变量Y=3X+1,则Y的方差D(Y)=.答案12解析由随机变量XB6,则随机变量的方差为D(X)=np(1-p)=6,又因为Y=3X+1,所以随机变量Y的方差为D(Y)=32D(X)=32=12.
