1、基础达标检测一、选择题1(文)已知向量 a(1，1)，b(2，x)，若 ab1，则 x()A1 B12C.12D1答案 D解析 本题考查了平面向量的坐标运算由 ab1 得，121x1，得 x1.(理)已知两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()AabBabC|a|b|Dabab答案 B解析 本题考查向量的运算由题意知|ab|ab|，|ab|2|ab|2，即 a22abb2a22abb2，ab0，ab.2(2014东北三校联考)已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a 在向量 b 方向上的投影是()A4 B4C2 D2答案 A解析 设 a 与 b 的夹角为，ab 为向量
2、 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投影的乘积，而 cos ab|a|b|23，|a|cos6(23)4.3在ABC 中，(BCBA)AC|AC|2，则ABC 的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案 C解析 由(BCBA)AC|AC|2 得(BCBA)AC|AC|20，即AC(BCBAAC)0，即AC(2BA)0，故有ACBA.4(2014湖南十二校联考)设ABC 的三个内角为 A，B，C，向量 m(3sinA，sinB)，n(cosB，3cosA)，若 mn1cos(AB)，则 C()A.6B.3C.23D.56答案 C解析 mn 3sinAcosB
3、3cosAsinB 3sin(AB)1cos(AB)即 3sinC1cosC，所以 sin(C6)12，又因为 C 为ABC 的内角，所以 C656，即 C23.5(2013湖北高考)已知点 A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.3 22B.3 152C3 22D3 152答案 A解析 AB(2,1)，CD(5,5)，AB CD251515，|CD|52，所求投影为|AB|cosABCD|CD|155 23 22，故选 A.6(2013福建高考)在四边形 ABCD 中，AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为()A.5B2 5C
4、5 D10答案 C解析 本题考查了平面向量的运算AC(1,2)，BD(4,2)，ACBD，又|AC|5，|BD|2 5，S12 52 55.二、填空题7设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)，若(ac)b，则|a|_.答案 2解析 本题考查平面向量的垂直充要条件、数量积、模等ac(3,3m)，(ac)b，(ac)b0，即(3,3m)(m1,1)0，3(m1)3m0,6m30，m12，a(1，1)，|a|2.8(文)(2013安徽高考)若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_答案 13解析 本题主要考查了向量运算及夹角公式运用|a|3|b|a
5、2b|，|a|29|b|2(a2b)2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosa，b ab|a|b|b|23|b|b|13.(理)(2013新课标)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b，若 bc0，则 t_.答案 2解析|a|b|1，a，b60，ab12，|b|21，bctab(1t)b212t(1t)112t0，t2.9(2014晋江调研)已知平面向量 a，b 满足|a|1，|b|2，a 与b 的夹角为3.以 a，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_答案 3解析|ab|2|ab|24ab4|a|b|cos340，|ab|ab|，
6、又|ab|2a2b22ab3，|ab|3.三、解答题10在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABACBABCk(kR)(1)判断ABC 的形状；(2)若 c 2，求 k 的值解析(1)ABACcbcosA，BABCcacosB，又ABACBABC，bccosAaccosB，sinBcosAsinAcosB，即 sinAcosBsinBcosA0，sin(AB)0，AB，AB，即ABC 为等腰三角形(2)由(1)知，ABACbccosAbc b2c2a22bcc22k，c 2，k1.能力强化训练一、选择题1(文)已知两单位向量 a，b 的夹角为 60，则两向量 p2ab与
7、q3a2b 的夹角为()A60 B120C30 D150答案 B分析 本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法解析 pq(2ab)(3a2b)6a2ab2b26a2|a|b|cos602b272，|p|2ab|2ab2 4a24abb2 4a24|a|b|cos60b2 7，|q|3a2b|3a2b2 9a212ab4b2 9a212|a|b|cos604b2 7，而 cosp，q pq|p|q|12.即 p 与 q 的夹角为 120.(理)已知两点 A(1,0)为，B(1，3)，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且AOC120，设OC2OAOB，(R)，则 等于(
8、)A1 B2C1 D2答案 C解析 由条件知，OA(1,0)，OB(1，3)，OC(2，3)，AOC120，cosAOC OAOC|OA|OC|22232，2223212，解之得 1，故选 C.2已知点 B(2，0)，点 O 为坐标原点且点 A 在圆(x 2)2(y 2)21 上，则OA与OB夹角 的最大值与最小值分别是()A.4，0 B.512，4C.512，12D.2，512答案 C解析 如图，当直线 OA 与圆 C 相切时，OA与OB夹角最小或最大；由于 C(2，2)BOC4又由于|OC|2，r1.AOC6；因此OA与OB夹角的最大值、最小值分别为512，12，故选 C.二、填空题3(2
9、013重庆高考)若 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA(3,1)，OB(2，k)，则实数 k_.答案 4解析 本题考查向量的数量积及坐标运算OA(3,1)，OB(2，k)，ABOBOA(1，k1)由题意知OAAB，OAAB0，即(3,1)(1，k1)0.3k10，k4.4(文)已知 a(cosx，sinx)，b(cosx，sinx)，则函数 yab的最小正周期为_答案 解析 yabcos2xsin2xcos2x，T22.(理)在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，BC10，则ABAC_.答案 16 解析 本题考查向量的数量积运算如图ABAC(AMMB)(AMMC)|AM|2|MB|
10、2325216.三、解答题5(2013江苏高考)已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|2，求证：ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求，的值解析(1)由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为 a2b2|a|2|b|21，所以 22ab2，即 ab0，故 ab.(2)因为 ab(coscos，sinsin)(0,1)，所以coscos0，sinsin1，由此得，coscos()，由 0，得 0，又 0，所以 56，6.6(2014南通模拟)已知向量 m(3sinx4，1)，n(cosx4，cos2x4)(1)若 mn1，求 cos(23
11、 x)的值；(2)记 f(x)mn，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数 f(A)的取值范围解析(1)mn 3sinx4cosx4cos2x4 32 sinx21cosx22sin(x26)12，mn1，sin(x26)12.cos(x3)12sin2(x26)12，cos(23 x)cos(x3)12.(2)(2ac)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosBsinBcosC.2sinAcosBsin(BC)ABC，sin(BC)sinA0.cosB12，0B，B3.0A23.6A262，sinA26 12，1.又f(x)sin(x26)12.f(A)sin(A26)12.故函数 f(A)的取值范围是(1，32)