1、51函数的概念和图象新课程标准解读核心素养1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念数学抽象2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用数学抽象3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域数学抽象、数学运算第一课时函数的概念微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生活不可缺少的一部分大部分同学都有微信号，这样微信号与同学之间就有对
2、应关系，即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)问题你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？知识点一函数的有关概念1定义：给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数2记法：yf(x)，xA.3定义域：叫作自变量，集合叫作函数的定义域4值域：若A是函数yf(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应我们将所有输出值y组成的集合y|yf(x)，xA称为函数的值域对函数概念的3点说
3、明(1)当A，B为非空数集时，符号f：AB表示从集合A到集合B的一个函数；(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性；(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样1有人认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？提示：这种看法不对符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”在研究函数时，除用符号f(x
4、)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数2f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)3x4，当x8时，f(8)38428是一个常数1下图中能表示函数关系的是_解析：由于中的2与1和3同时对应，故不是函数答案：2函数f(x)的定义域是_解析：由4x0，解得x4，所以原函数的定义域为x|x4答案：x|x43已知f(x)x21，则f(1)_解析：f(x)x21，f(1)(1)212.答案：2知识点二同一个
5、函数由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数1函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可2定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是_(填序号)f(x)x，g(x)；f(x)2x1，g(x)2x1；f(x)x，g(x).解析：两函数的定义域不同，f(x)与g(x)不是
6、同一个函数；两函数的解析式不同(对应关系不同)，f(x)与g(x)不是同一个函数；f(x)与g(x)不但定义域相同，而且对应关系也相同，故f(x)与g(x)是同一个函数答案：函数概念的辨析例1(多选)(链接教科书第99页例1)下列对应关系是实数集R上的函数的是()Af：把x对应到3x1 Bg：把x对应到|x|1Ch：把x对应到 Dr：把x对应到解析A是实数集R上的一个函数它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一xR，3x1都有唯一确定的值与之对应，如x1，则3x12与之对应；同理B也是实数集R上的一个函数；C不是实数集R上的函数因为当x0时，的值不存在；D不是实数集R上的函数因为当x1，且x
7、1，所以这个函数的定义域为x|x1，且x1.求函数值和值域例4(1)已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)，则f(2)_，f(g(2)_(2)求下列函数的值域：f(x)2x2x，x1，2，3；f(x)x22x；f(x)2x1，x1，2)y；y2x.(1)解析f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226，f(g(2)f(6).答案(2)解函数的定义域为1，2，3，因为f(1)21211，f(2)22226，f(3)232315.所以该函数的值域为1，6，15函数的定义域为R，因为x22x(x1)211，所以该函数的值域为1，)函数的定义域为1，2)，32x15，所以该函数
8、的值域为3，5)y2，显然0，所以y2.故函数的值域为(，2)(2，)令t，则xt21，且t0，所以y2(t21)t2，由t0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.1函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代
9、换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换元法 跟踪训练1已知函数f(x)1，且f(a)3，则a_解析：因为f(x)1，所以f(a)1.又因为f(a)3，所以13，a16.答案：162求下列函数的值域：(1)y1；(2)y.解：(1)因为0，所以11，即所求函数的值域为1，)(2)因为y1，又函数的定义域为R，所以x211，所以00)的定义域思路点拨由f(x)的定义域为0，1可知对应关系f作用的范围为0，1，而f(xm)f(xm)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使xm，xm都在0，1这个区间内，从而使f(
10、xm)f(xm)有意义解由题意得m0，mm，1m1m，而m与1m的大小不确定，对m与1m的大小讨论若m1m，即m，则xm；若m1m，即0m1m，即m，则x，与题意不符，故m不可能大于.综上所述，当0m时，函数g(x)的定义域为x|mx1m1函数y的定义域为()Ax|x1 Bx|x0Cx|x1或x0 Dx|0x1解析：选D由题意可知解得0x1.2(多选)(2021扬州大学附属中学月考)下列图形中，表示函数图象的是()解析：选AB根据函数的定义，可知A、B是函数图象；C、D不是3函数f(x)x1，x1，0，1的值域为_，函数g(x)x1，x1，1的值域为_解析：f(1)0，f(0)1，f(1)2，
11、函数f(x)的值域为0，1，2又1x1，0x12，函数g(x)的值域为0，2答案：0，1，20，24已知函数f(x)x2mxn，且f(1)1，f(n)m，则ff(1)_，ff(x)_解析：由题意知解得所以f(x)x2x1，故f(1)1.f(f(1)1，f(f(x)f(x2x1)(x2x1)2(x2x1)1x42x32x23x1.答案：1x42x32x23x15(2021无锡市高一月考)已知函数f(x)x22ax5的定义域和值域都是1，a，则a_解析：因为f(x)(xa)25a2，且f(x)的定义域和值域均为1，a，f(x)的对称轴为xa，所以f(x)在1，a函数图象如图所示所以即解得a2.答案：2