1、解直角三角形一、锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中,C=900,设BC=a,CA=b,AB=c,锐角A的四个三角函数是: (1) 正弦定义:在直角三角形中ABC,锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即sin A = , (2)余弦的定义:在直角三角行ABC,锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦,记作cosA,即cos A = ,(3)正切的定义:在直角三角形ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切,记作tanA,即 tan A = ,(4)锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作cotA即锐角A的正弦、余弦,正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。这种对
2、锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件:(1)锐角A必须在直角三角形中,且C=900; (2)在直角三角形 ABC 中,每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则,不存在上述关系注意:锐角三角函数的定义应明确(1) , , 四个比值的大小同ABC的三边的大小无关,只与锐角的大小有关,即当锐角A 取固定值时,它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积,它是一个比值,是三角函数记号,是一个整体,其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质,如同角三角函数关系,互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系:
3、(2)倒数关系:tan cota=1(3)商数关系:注意:(1)这些关系式都是恒等式,正反均可运用,同事还要注意它们的变形公式。(2)的简写,读作“ 的平方”,不能将前者是a的正弦值的平方,后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字,上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同,如,而就不一定成立。(4)同角三角函数关系用于化简三角函数式。(三)余角的函数关系式任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值,任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即sinA=cos(90-A) cosA=sin(90-A)tanA=cot(90-A
4、) cotA=tan(90-A)注意:此关系涉及的两角必须互余,左右两边的函数名称不同,其主要作用就是改变函数名称。(四)特殊角的三角函数值0030045060090sin01cos10tan01不存在在在cot不存在10(五)三角函数值的变化规律及范围1.当角度在090之间变化时:正弦值岁角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随角度的增大(或减小)而减小(或增大);正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余切值随角度的增大(或减小)而减小(或增大);2、当0a90时,0sina1,0cona1,3.遇到求锐角余切值时,可利用关系式cotA=tan(90-A)或tan cota=
5、1二、解直角三角形(一)三角函数的概念RTABC中,sin A = , cos A = , tan A = ,(二)解直角三角形 在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形(三)解直角三角形的依据在RtABC中,C=90,A,B,C所对的边分别是a,b,c1. 三边之间的关系:2. 锐角之间的关系:A+B=903.边角关系:sin A = , cos A = , tan A = ,4.面积关系:(四)直角三角形的可解条件1.已知两边可解直角三角形2.已知一边及一锐角可解直角三角形说明:已知两个角不能接直
6、角三角形,因为有两个角对应相等的两个三角形相似,不一定全等,因此起边的大小不确定。(五)解直角三角形的基本类型已知求解备注A已知一条直角边和一个锐角C a B(如a,A)B=90-A,C=b=acosA(或a=)(1)RtABC中,C=90,A,B,C所对的边分别是a,b,cA已知斜边和一个锐角(如c,A)aC BB=90-Aa=csinA,b=CconA(或a=)(2)方法要灵活,选择关系式时,尽量考虑能用原始数据,减少误差已知两个直角边啊a, bAbC a BC=由tanA=求AB=90-AA已知斜边和一条直角边(如a和c)CC a Bb=由sinA= 求A, B=90-A三、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切。