1、13交集、并集新课程标准解读核心素养1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集数学抽象、数学运算2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用数学运算、直观想象3.会用集合的语言简洁、准确地表达数学的研究对象，在观察、分析、抽象、类比得到集合的数学知识的过程中提升学生的思维能力数学抽象、逻辑推理某班级有两个微信群，文学群成员有：梅、兰、竹、桂、松、柳，他们组成的集合用A表示；数学群成员有：梅、竹、松、枫、杨、桦，他们组成的集合用B表示，若S表示两个群都加入的同学组成的集合问题集合S与集合A，B有怎样的关系？知识点一交集文字语言由所有属于集合A属于集合B的
2、元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)符号语言ABx|xA，且xB图形语言运算性质ABBA，AA，AA，A(UA)，(AB)A，(AB)B，ABABA对交集概念的理解(1)运算结果：AB是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成；(2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于AB”；(3)情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB.1已知集合Ax|2x1，集合Nx|2x1，则MN()Ax|2x1 Bx|1x1 Dx|x2解析：选B已知集合Mx|x1，集合Nx
3、|2x1，则MNx|1x1故选B.知识点二并集文字语言由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)符号语言ABx|xA，或xB图形语言运算性质ABBA，AA，AA，A(UA)U，A(AB)，B(AB)，ABABB1对并集概念的理解(1)运算结果：AB仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成，公共元素只能算一次(元素的互异性)；(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“xA，或xB”包含三种情况：“xA，但xB”；“xB，但xA”；“xA，且xB”2交、并、补集的运算性质A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；UU，UU
4、；ABUBUA，BAUAUB；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)1集合AB的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？提示：不一定，AB的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和2若x(AB)，则x(AB)吗？反之，若x(AB)，则x(AB)吗？提示：若x(AB)，则x(AB)成立；反之，若x(AB)，则x(AB)不一定成立3若ABA，则A与B有何关系？若ABA，则A与B又有什么关系？提示：若ABA，则AB；若ABA，则BA.1(2020新高考全国卷)设集合Ax|1x3，Bx|2x4，则AB()Ax|2x3 Bx|2x3Cx|1x4 Dx|1x4解析：选CAx|1x3
5、，Bx|2x4，则ABx|1x4，故选C.2(2020全国卷)已知集合U2，1，0，1，2，3，A1，0，1，B1，2，则U(AB)()A2，3 B2，2，3C2，1，0，3 D2，1，0，2，3解析：选A由题意，得AB1，0，1，2，所以U(AB)2，3，故选A.知识点三区间及相关概念1区间的概念及记法设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb左闭右开区间a，b)x|aa(a，)x|xb(，bx|xb(，b)1区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合0就不能用
6、区间表示2“”是数吗？以“”或“”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？提示：“”读作“无穷大”，是一个符号，不是数以“”或“”作为区间一端时，这一端必须是小括号用区间表示下列数集：(1)x|x1_；(2)x|2x3_；(3)x|x1且x2_；(4)R_；(5)x|x1x|5x2_；(6)x|x9x|9x20_答案：(1)1，)(2)(2，3(3)(1，2)(2，)(4)(，)(5)5，1(6)(，9)(9，20)并集的运算例1(链接教科书第13页例1)(1)设集合Mx|x22x0，xR，Nx|x22x0，xR，则MN()A0 B0，2C2，0 D2，0，2(2)已知集合Mx|3x5，Nx|x
7、5，则MN()Ax|x3 Bx|5x5Cx|3x5 Dx|x5解析(1)Mx|x22x0，xR0，2，Nx|x22x0，xR0，2，故MN2，0，2，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，可知MNx|x3故选A.答案(1)D(2)A求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解跟踪训练1(多选)若P1，2，3，m，Qm2，3，且满足PQP，则m的值为()A1B.C D0解析：选ABCD由PQP，可知QP，m21或m22或m2m.解得m1或m或m0.经检验m1时不满足集合中
8、元素的互异性，舍去m1或m或m0.2若集合A(1，)，B(2，2)，则AB_解析：画出数轴如图所示，故AB(2，)答案：(2，)交集的运算例2(1)设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则AB()Ax|0x2 Bx|1x2Cx|0x4 Dx|1x4(2)已知集合Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为()A5 B4C3 D2解析(1)在数轴上表示出集合A与B，如图则由交集的定义得，ABx|0x2(2)集合A中元素满足x3n2，nN，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.答案(1)A(2)D求两个集合交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，
9、逐个挑出两个集合的公共元素即可；(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍跟踪训练1设集合U1，2，3，4，M1，2，3，N2，3，4，则U(MN)()A1，2 B2，3C2，4 D1，4解析：选D因为MN2，3，所以U(MN)1，42已知M(x，y)|xy2，N(x，y)|xy4，则MN()Ax3，y1 B(3，1) C3，1 D(3，1)解析：选D由得故MN(3，1)3已知A，B均为集合U1，3，5，7，9的子集，且AB3，(UB)A9，则A_解析：由AB3，依据交集的概念可知3A.又(UB)A9，所以
10、9A.若5A，则5B(否则5(AB)，从而5UB，则(UB)A5，9，与已知条件矛盾，故5A.同理1，7A，故A3，9答案：3，9交集、并集、补集的综合运算例3(1)若全集U1，2，3，4，集合Mx|x24x30，Nx|x25x60，则U(MN)()A4 B1，2C1，2，4 D1，3，4(2)已知全集UR，集合Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0 Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x1解析(1)M1，3，N2，3，MN3，U(MN)1，2，4，故选C.(2)由已知，得ABx|x0，或x1，故U(AB)x|0x1，故选D.答案(1)C(2)D解决集合交、并、补运算的技巧(1)如
11、果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解在解答过程中常常借助于Venn图来求解；(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算解答过程中要注意边界问题跟踪训练1已知集合A，B均为全集U1，2，3，4的子集，且U(AB)4，B1，2，则A(UB)等于()A3 B4C3，4 D解析：选AU1，2，3，4，U(AB)4，AB1，2，3又B1，2，3A1，2，3又UB3，4，A(UB)32(多选)已知全集UR，集合Ax|1x3或4x6，集合Bx|2x5，则下列集合运算正确的是()AUBx|x2或x5
12、BA(UB)x|1x2或5x6C(UA)Bx|x1或2x6DU(UB)x|2x5解析：选ABD因为Bx|2x5，所以UBx|x2或x5，故A正确；由UBx|x2或x5可得，A(UB)x|1x2或5x6，故B正确；由UAx|x1或3x4或x6可得，(UA)Bx|x1或2x5或x6，故C错误；由U(UB)Bx|2x5可得D正确，故选A、B、D.由集合的并集、交集求参数例4已知集合Ax|32k1时，k2，满足ABA.(2)当B时，要使ABA，只需解得2k.综合(1)(2)可知，k的取值范围是.母题探究1(变条件)把本例条件“ABA”改为“ABA”，试求k的取值范围解：由ABA可知AB.所以即所以k.
13、所以k的取值范围为.2(变条件)把本例条件“ABA”改为“ABx|3x5”，求k的值解：由题意可知解得k3.所以k的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到ABA，ABB等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如ABAAB，ABBAB等，解答时应灵活处理；(2)当集合BA时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B的情况，切不可漏掉跟踪训练设集合Ax|x23x20；Bx|x22(a1)x(a25)0(1)若AB2，求实数a的值；(2)若ABA，求实数a的取值范围解：(1)由题可知：Ax|x
14、23x201，2，AB2，2B，将x2代入方程x22(a1)x(a25)0得：44(a1)(a25)0，解得：a5或a1.当a5时，集合B2，10，符合题意；当a1时，集合B2，2，符合题意综上所述：a5或a1.(2)若ABA，则BA，A1，2，B或B1或2或1，2若B，则4(a1)24(a25)248a3；若B1或2，则0，即a3，而当a3时，x24x40，得x2，不合题意；若B1，2，则即此时也不成立综上，a的取值范围是(3，)集合运算中的新定义问题(新情境型)我们知道，如果集合AS，那么S的子集A相对于全集S的补集为SA，即SAx|xS，且xA类似地，对于集合A，B，我们把集合x|xA，
15、且xB叫做集合A与B的差集，记作AB.例如，A1，2，3，4，5，B4，5，6，7，8，则有AB1，2，3，BA6，7，8问题探究1若S是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班全体女同学组成的集合，求SA及SA.提示：SAx|xS，且xASA高一(1)班男同学2在下列各图中用阴影表示集合AB.提示：A中去掉B的部分，得到下列图3如果AB，那么集合A与B之间具有怎样的关系？提示：AB说明集合x|xA，且xB中无元素，即A中的元素都在B中，所以AB.4现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C(AB)可用下列图中阴影部分表示的为()提示：ABx|xA，且xB，即AB是集合A中的元素去掉
16、AB中的元素，记作集合D.如图所示：集合C(AB)就是C中的元素去掉集合CD中的元素故选A.迁移应用由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足MNQ，MN，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割(M，N)，下列选项中，可能成立的是_(填序号)M没有最大元
17、素，N有一个最小元素；M没有最大元素，N也没有最小元素；M有一个最大元素，N有一个最小元素；M有一个最大元素，N没有最小元素解析：若Mx|x0，xQ，Nx|x0，xQ，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故可能成立；若Mx|x，xQ，Nx|x，xQ，则M没有最大元素，N也没有最小元素，故可能成立；若Mx|x0，xQ，Nx|x0，xQ，则M有一个最大元素，N没有最小元素，故可能成立；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能成立，因为这样就会至少有一个有理数不存在于M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数集矛盾，故不可能成立答案：1设集合A1，2，B1，2，3，C2，3，4，则(AB)C等
18、于()A1，2，3 B1，2，4C2，3，4 D1，2，3，4解析：选D因为A1，2，B1，2，3，所以AB1，2又C2，3，4，所以(AB)C1，22，3，41，2，3，42(多选)已知集合Ax|12DA(RB)x|2x3解析：选BDAx|1x3，Bx|x|2x|2x2，ABx|1x3x|2x2x|1x2，A不正确；ABx|1x3x|2x2x|2x3，B正确；RBx|x2，A(R B)x|1x3x|x2x|x1，C不正确；A(RB)x|1x3x|x2x|2x3，D正确3设集合A(x，y)|yax1，B(x，y)|yxb，且AB(2，5)，则( )Aa3，b2 Ba2，b3Ca3，b2 Da2
19、，b3解析：选BAB(2，5)，解得故选B.4已知Ax|axa8，Bx|x5若ABR，则a的取值范围为_解析：由aa8，又Bx|x5，在数轴上标出集合A，B，如图要使ABR，则解得3a1.综上，可知a的取值范围为a|3a1答案：a|3a15已知全集Ux|x是不大于9的正整数，A，B都是U的子集，(UA)B1，3，(UB)A2，4，8，(UA)(UB)6，9，求集合A，B.解：法一：Ux|x是不大于9的正整数1，2，3，4，5，6，7，8，9(UA)B1，3，(UB)A2，4，8，1，3B，2，4，8A.(UA)(UB)U(AB)6，9，AB1，2，3，4，5，7，8若5A，则5UA，5B，此时(UA)B1，3，5，不合题意，故5A.同理，7A，5B，7B.A2，4，5，7，8，B1，3，5，7法二：Ux|x是不大于9的正整数1，2，3，4，5，6，7，8，9，且(UA)B1，3，(UB)A2，4，8，(UA)(UB)U(AB)6，9，Venn图如图，由图可知A2，4，5，7，8，B1，3，5，7