1、题组层级快练(四十五)(第一次作业)1(2016合肥一检)已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A60B45C30 D90答案B解析连接A1D，DC1，A1C1，E，F为A1D，A1C1中点，EFC1D.EF和CD所成角即为C1DC45.2若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案B解析间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D平面ACD，B1DDC，故B1DC为直角三角形设棱长为1，则有AD，B1D，DC
2、，SB1DC.设A到平面B1DC的距离为h，则有VAB1DCVB1ADC，hSB1DCB1DSADC.h，h.设直线AD与平面B1DC所成的角为，则sin.向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系设各棱长为2，则有A(0，1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(，0，2)设n(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有n(0，2，1)sin，n.3(2016皖南八校联考)四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角VABC的余弦值的大小为()A. B.C. D.答案B解析如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足
3、为O，连接OE，根据题意可知，VEO是二面角VABC的平面角因为OE1，VE2，所以cosVEO，故选B.4过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A30 B45C60 D90答案B解析以A点为坐标原点，AP，AB，AD分别为x，y，z轴建系且设AB1，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)设面CDP的法向量为n(x，y，z)令y1，n(0，1，1)又为面ABP的一个法向量，cosn，.二面角为45.5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A
4、. B.C. D.答案D解析方法一：由VB1ABFVFABB1可得解方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B1(1，1，0)设F(0，0，)，E(，1，1)，B(1，1，1)，(0，1，0)(，0，1)，(1，0，)(1，0，)(，0，1)0，.又，平面ABF.平面ABF的法向量为(，0，1)，(0，1，1)B1到平面ABF的距离为.6如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO
5、.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.所以AB平面EOD.因为ED平面EOD，所以ABED.(2)方法一：因为平面ABE平面ABCD，且ABBC，所以BC平面ABE.则CEB即为直线EC与平面ABE所成的角设BCa，则AB2a，BEa，所以CEa.则在直角三角形CBE中，sinCEB，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.方法二：因为平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA
6、OBODOE.设OB1，则O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)所以(1，1，1)，平面ABE的一个法向量为(0，1，0)设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin|cos，|.即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.7(2016河南内黄一中摸底)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC.(1)求证：ACBB1；(2)若ABACA1B2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角PABA1的平面角的余弦值为.答案(1)略(2)P为棱B1C1的中点时满足题意解析(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为A
7、1B平面ABC，A1B平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面ABC.因为平面ABB1A1平面ABCAB，ABAC，所以AC平面ABB1A1，所以ACBB1.(2)如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，(2，2，0)设(2，2，0)，0，1，则P(2，42，2)设平面PAB的一个法向量为n1(x，y，z)，因为(2，42，2)，(0，2，0)，所以即所以令x1，得n1(1，0，)而平面ABA1的一个法向量是n2(1，0，0)，所以|cosn1，n2|，解得，即P为棱B1C1的中点8. (2015安徽理)如
8、图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EFB1C；(2)求二面角EA1DB1的余弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：由正方形的性质可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1CA1D.又A1D平面A1DE，B1C平面A1DE，于是B1C平面A1DE.又B1C平面B1CD1，平面A1DE平面B1CD1EF，所以EFB1C.(2)因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1AB
9、AD，以A为原点，分别以，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为(0.5，0.5，1)设平面A1DE的法向量n1(r1，s1，t1)，而该面上向量(0.5，0.5，0)，(0，1，1)，由n1，n1得(1，1，1)为其一组解，所以可取n1(1，1，1)设平面A1B1CD的法向量n2(r2，s2，t2)，而该面上向量(1，0，0)，(0，1，1)，由此同理可得n2(0，1，1)所以结合图形知二面角EA1DB1的余
10、弦值为.9. (2016杭州学军中学模拟)在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDCDBC2AD，ADBC，BCD90.(1)求证：BCPC；(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值；(3)线段PB上是否存在点E，使AE平面PBC？说明理由答案(1)略(2)(3)E为PB中点时，AE平面PBC解析(1)证明：在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC.BCD90，BCCD.PDDCD，BC平面PCD.PC平面PCD，BCPC.(2)如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.不妨设AD1，则PDCDBC2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(2，2，0)，C(0
11、，2，0)，P(0，0，2)，(1，0，2)，(2，2，2)，(0，2，2)设平面PBC的法向量n(x，y，z)所以即令y1，则x0，z1，n(0，1，1)，cos，n，PA与平面PBC所成角的正弦值为.(3)方法一：当E为线段PB的中点时，AE平面PBC.如图，分别取PB，PC的中点为E，F，连接AE，DF，EF，EFBC，且EFBC.ADBC，且ADBC，ADEF，且ADEF.四边形AEFD是平行四边形，AEDF.PDCD，三角形PCD是等腰三角形，DFPC.BC平面PCD，DFBC.PCBCC，DF平面PBC.AE平面PBC，即在线段PB上存在点E，使AE平面PBC.方法二：设在线段PB
12、上存在点E，当(01)时，AE平面PBC.设E(x0，y0，z0)，则(x0，y0，z02)，(x0，y0，z02)(2，2，2)，即x02，y02，z022.E(2，2，22)，(21，2，22)由(2)可知平面PBC的法向量n(0，1，1)若AE平面PBC，则n，即n.解得，1，当，即E为PB中点时，AE平面PBC.10(2014陕西理)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)由该四面体的三视图可知，BDD
13、C，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG.四边形EFGH是平行四边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC.ADBC，EFFG.四边形EFGH是矩形(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，(0，0，1)，(2，2，0)，(2，0，1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0.取n(1，1，0)sin|cos，n|.方法二：如图，以D为
14、坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)E是AB的中点，F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1，0，0)，G(0，1，0)，(1，1，0).(2，0，1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1，1，0)，sin|cos，n|.题组层级快练(四十六)(第二次作业)1(2016皖南十校联考)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为()A120B30C90 D60答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0，0)，B(0，0)，C(0，0，)，D
15、(0，0)，(，0)，(0，)|2，|2，2.cos，.异面直线AD，BC所成的角为60.2已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案B解析由题意设棱长为2，如图所示，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心D，连接AD，则DA.由勾股定理得A1D.以D为坐标原点，AD,DA1所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,- ,0),B(1, ,0), A1(0,0, ),=+(0，)+(1, ,0)=(1, ,).又平面ABC的法向量n=(0,0,1)，设与
16、底面所成角为,则sin=|cos|=.3(2016湖南长沙一模)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_答案解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A1(0，0，1)，E(1，0，)，F(，1，0)，D1(0，1，1)(1，0，)，(0，1，0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1，0，2)又(，1，1)，点F到平面A1D1E的距离为d.4(2016河南洛阳模拟)如图(1)所示，在ABC中，BC3，AC6，C90，且DEBC，将ADE
17、沿DE折起到A1DE的位置，使A1DCD，如图(2)所示(1)求证：BC平面A1DC；(2)若CD2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：DEAD，DEBC，BCAD，BCA1D.又BCCD，A1DCDD，BC平面A1DC.(2)以D为原点，分别以，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，垂足为F，则EF2，BF1，BC3.B(3，0，2)，E(2，0，0)，C(0，0，2)，A1(0，4，0)(1，0，2)，(0，4，2)，(3，4，2)设平面A1BC的法向量为m(x，y，z)，则解得令y1，则m(0，1，2)
18、设BE与平面A1BC所成角为，则sin.5(2016河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，PDAB2，E为PC中点(1)求证：DE平面PCB；(2)求点C到平面DEB的距离；(3)求二面角EBDP的余弦值答案(1)略(2)(3)解析(1)证明：PD平面ABCD，PDBC.又正方形ABCD中，CDBC，PDCDD，BC平面PCD.DE平面PCD，BCDE.PDCD，E是PC的中点，DEPC.又PCBCC，DE平面PCB.(2)如图所示，过点C作CMBE于点M，由(1)知平面DEB平面PCB，平面DEB平面PCBBE，CM平面DEB.线段CM的长
19、度就是点C到平面DEB的距离PDABCD2，PDC90，PC2，EC，BC2.BE.CM.(3)以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，(2，2，0)，(0，1，1)设平面BDE的法向量为n1(x，y，z)，则令z1，得y1，x1.平面BDE的一个法向量为n1(1，1，1)又C(0，2，0)，A(2，0，0)，(2，2，0)，且AC平面PDB，平面PDB的一个法向量为n2(1，1，0)设二面角EBDP的平面角为，则cos.二面角EBDP的余弦值为.6(2016石家庄质检
20、)四棱锥ABCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BFCM，请说明理由；(2)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45.求直线AD与平面ABE所成角的正弦值答案(1)总有BFCM(2)解析(1)由俯视图可知平面ABC平面EBCD.BC2，O为BC中点，BE1，CD2.ABC为等边三角形，F为AC中点，BFAC.又平面ABC平面EBCD，且DCBC，DC平面ABC，DCBF.又ACCDC，BF平面ACD.BFCM.(2)以O为原点，为x轴，为z轴建系B(1，0，0)，C(1，0，0)，E(1，1，0)，D(
21、1，2，0)设A(0，0，a)，由题意可知平面ABC的法向量为(0，1，0)设平面ADE法向量n(x，y，z)(2，1，0)，(1，1，a)，令x1，y2，z.n(1，2，)，解得a.(1，2，)，(0，1，0)，(1，1，)设平面ABE的法向量为m(x1，y1，z1)，令z11，m(，0，1)设AD与平面ABE所成角为，则有sin|cos，m|.直线AD与平面ABE所成角的正弦值为.7.如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦
22、值；(3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由答案(1)略(2)(3)存在点E解析方法一：(1)PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，DEBC.又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP为等腰直角三角形ADAB.在RtABC中，ABC60.BCAB.RtADE中，sinDAE.cosDAE.(3)DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的
23、平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时，AEP90.故存在点E使得二面角ADEP是直二面角方法二：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz.设PAa，由已知可得A(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)(1)(0，0，a)，(a，0，0)，0，BCAP.又BCA90，BCAC.又APACA，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点D(a，a，a)，E(0，a，a)又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角(a，a，a)，(0，a，a)，cosDA
24、E.(3)同方法一8(2015新课标全国理)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值答案(1)略(2)解析(1)连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB1，由ABC120，可得AGGC，由BE平面ABCD，ABBC可知AEEC，又AEEC，EG，EGAC.在RtEBG中，可得BE，DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF可得EF.EG2FG2EF2，EGFG，A
25、CFGG，EG平面AFC.EG面AEC，平面AFC平面AEC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，0)，E(1，0，)，F(1，0，)，C(0，0)，(1，)，(1，)故cos.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.(2015浙江理)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值解析(1)设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE.由题意得A1E平面ABC，所
26、以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A.所以A1AED为平行四边形故A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)方法一：作A1FBD且A1FBDF，连接B1F.由AEEB，A1EAA1EB90，得A1BA1A4.由A1DB1D，A1BB1B，得A1DB与B1DB全等由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1为二面角A1BDB1的平面角由A1D，A1B4，DA1B90，得BD3，A1FB1F.由余弦定理得cosA1FB1.方法二：以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示由题意知各点坐标如下：A1(0，0，)，B(0，0)，D(，0，)，B1(，)因此(0，)，(，)，(0，0)设平面A1BD的法向量为m(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n(x2，y2，z2)由即可取m(0，1)由即可取n(，0，1)于是|cos|.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1BDB1的平面角的余弦值为.