1、陕西省安康市2019-2020学年第一学期高三阶段性考试数学试题（理科）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的性质直接求解即可.【详解】因为,故.故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.2.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用列举法写出B集合，再求交集【详解】，故选D【点睛】集合的运算-交集：取两个集合共同的元素3.西游记三国演义水浒传红楼梦是我国古典小说四大名著.
2、若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到红楼梦的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求红楼梦被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到红楼梦的概率【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有红楼梦的共有种，所以任取2种进行阅读，则取到红楼梦的概率为故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题4.若是第二象限角，且，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据角的范围可确定，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果.【详解】是第二象限角 本题正确选项：【点睛】本题考查同角三角函数值的求解问题，属于基础题.
3、5.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值和可得到所处的大致范围，从而得到结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.已知满足不等式组，则的最大值为（ ）A. 2B. -2C. 1D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域,再分析的截距的最大值即可.【详解】画出可行域为阴影部分,易得在即处取最大值,代入有故选：D【点睛】本题主要考查了线性规划的一般问题,属于基础题型.7.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.
4、 【答案】B【解析】【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况【详解】，故奇函数，四个图像均符合当时，排除C、D当时，排除A故选B【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值8.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. 32B. 33C. 31D. 34【答案】B【解析】【分析】将利用累加改写赋值表达式,再分析当的情况即可.【详解】由图即.故当有.当时, ,下一步得.此时满足下一步,下一步得.不满足退出.此时.故选：B【点睛】本题主要考查了框图与对数运算的综合问题,可将类的累加求和改写成和的结果的形式分析即可.
5、属于中等题型.9.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间【详解】，求导解得，则当时，则的单调递增区间是故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率已知两点坐标也可求斜率本题还考察了导数在研究函数性质中的应用10.等比数列的前项和为，若，则（ ）A. 5B. 10C. 15D. -20【答案】C【解析】【分析】根据等比数列分段求和的性质求解即可.【详解】由题有等比数列的前项和满足成等比数列.设的公比为则,故.故,即.因为故.又故,故.故选：C【点睛】本
6、题主要考查了等比数列前项和的分段求和成等比数列的性质,属于中等题型.11.向量，且，则与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】分析】将两边平方,再利用得出即可得模长与夹角的关系,再求与所成角的余弦值即可.【详解】两边平方有.又有设夹角为则,故.因为,故且夹角.不妨设.故设与所成角为则 故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算,若已知模长关系与角度关系,可以直接利用向量的坐标表示进行计算从而简化运算量.属于中等题型.12.设函数的定义域为，若满足：在内是单调增函数；存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（且）是定义域为的“成功函数”，则的
7、取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用成功函数的定义以及对数函数的单调性可构造,再换元利用方程有两个正根进行列式求解即可.【详解】因为（且）是定义域为的“成功函数”,所以为增函数,且在上的值域为,故.即有两个不相同的实数根.又,即.令,即有两个不同的正数根,由零点存在性定理列式得 .解得故选：A【点睛】不同在于考查了新定义的函数问题以及零点的分布问题,同时也考查了与二次函数相关的复合函数问题,属于中等题型.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，则_.【答案】1【解析】分析】根据定积分的运算，得到，代入即可求解【
8、详解】由，解得故答案为【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题14.某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_.【答案】220【解析】【分析】根据先由总频率为1计算出a的值，再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率，再乘总人数即可【详解】根据频率分布直方图知：；计算出数学成绩不低于100分的频率为：；所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为人【点睛】本题考查频率分布直方图，需要注意的是频率分布直方图的纵坐标
9、为频率组距属于基础题15.在中，内角所对的边分别为，若，则_【答案】【解析】【分析】由题已知角度的关系可求得,再根据正弦定理求即可.【详解】由且可求得,.故.又由正弦定理 .故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.16.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，第个五角形数记作，已知，
10、则前个五角形数中，实心点的总数为_.参考公式：【答案】【解析】【分析】由题意得再累加求得即可得出第个五角形数.再进行求和即可.【详解】由题得.故前个五角形数中,实心点的总数故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法求数列的通项公式方法以及数列求和的内容,属于中等题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知：函数在上是增函数，：，若是真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】本题是组合命题真值判断，先分别求解P真和q真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联
11、结词判断p，q的真假进而求参数取值范围【详解】解：真时，真时，为真时，或，为真，与都为真，即【点睛】且命题：全真为真，一假即假非命题：与原命题真值相反18.已知，.（1）若，求的值；（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求及的最小正周期.【答案】（1）1；（2），周期【解析】【分析】(1)利用计算可得,再根据同角三角函数的关系的齐次式方法求解即可.(2)计算,利用辅助角公式求得再根据平移求得即可.【详解】（1）由得,则.（2）周期：【点睛】本题主要考查了平面向量平行的用法以及三角函数中的同角关系与辅助角公式和图像平移的方法等.属于基础题型.19.在平面直角坐标系中，设的内角所
12、对的边分别为，且，.（1）求；（2）设，且，与的夹角为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.(2)将(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.【详解】（1）由正弦定理得根据余弦定理得：（2）由（1）知,代入已知,并结合正弦定理得,解得或（舍去）所以,而【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.20.已知数列为等差数列.（1）求证：；（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用等差数列
13、的性质,再根据基本不等式即可证明.(2)由等差数列的求和公式求解,再由裂项相消的缩放法求证即可.【详解】证明：（1）因为数列为等差数列,所以即,故结论成立.或：设数列的公差为,则即,故结论成立.（2） 时：时：时：.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,同时也考查了等差数列求和以及缩放证明数列不等式的问题,属于中等题型.21.已知函数.（1）若，试判断函数是否存在零点，并说明理由；（2）若，对，恒成立，求的最大值.【答案】（1）当时，只有一个零点. 时函数存在零点.（2）.【解析】【分析】(1)分与两种情况,结合函数图像与零点存在定理进行分析即可.(2) 化简得 ,构造函数求导求解函数的单
14、调性,再构造函数求的最值即可.【详解】（1）由得令,当时,结合函数图象知,显然只有一个零点.当时,由于时,而时,所以时,函数存在零点.（2）时,即令当时,由由在上单调递减,在上单调递增.时,则令则设由由在上单调递增,在上单调递减.当时,综上得当,时取最大值为.【点睛】本题主要考查了零点的存在定理以及利用导函数分析函数单调性,从而解决恒成立问题等.构造函数分析单调性是重点,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极
15、坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若、是直线上的动点，且，求的面积.【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）.【解析】【分析】(1)根据参数方程与极坐标的运算化简即可.(2)求出到的距离再利用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）,两式平方相加后可得曲线的方程为,直线的方程可化为,即,故,即直线的直角坐标方程为.（2）直线方程：到的距离.【点睛】本题主要考查了坐标系与参数方程的互化,同时也考查了点到直线的距离公式,属于基础题型.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：当，时，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)分,三种情况进行分情况分段讨论即可.(2)根据,即可对去绝对值.再分与两种情况讨论即可.【详解】（1）时,或或或所以,原不等式的解集为.（2）由题意得：在是减函数,在是增函数.,成立.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及参数讨论的方法等.属于中等题型.