1、学科网（北京）股份有限公司2022-2023 学年度下学期武汉市重点中学 5G 联合体期末考试高一数学试卷命题学校：湖北省水果湖高级中学命题教师：陈龙、罗超审题教师：肖佳考试时间：2023 年 6 月 28 日试卷满分：150 分祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考
2、试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 3i1 i=+（）A.1 2i+B.1 i C.1 2i D.1 i+2.设m 为直线，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（）A.m，且mm B.m，m C.，且mm D.，且m 与 相交m与 相交 3.在正四面体 ABCD 中，点 E，F，G 分别为棱 BC，CD，AC 的中点，则异面直线 AE，FG 所成角的余弦值为（）A.33 B.33 C.63 D.63 4.某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了 10 名运动员参加比赛，甲校运
3、动员的得分分别为 8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示.学科网（北京）股份有限公司 则以下结论中，正确的是（）A.甲校运动员得分的中位数为 7.5 B.乙校运动员得分的 75%分位数为 10 C.甲校运动员得分的平均数大于 8 D.甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差 5.在ABC中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，若2a=，6b=，30A=，则边c=（）A.2 B.2 2 或6 C.2 或 2 2 D.2 2 6.如图所示，三棱柱111ABCA B C中，若 E、F 分别为 AB，AC 靠近
4、点 A 的三等分点，平面11EB C F 将三棱柱分成左右两部分体积为1V 和2V，那么21:V V=（）A.7:5 B.14:13 C.5:7 D.13:14 7.如图，圆锥 PO 的底面直径和高均是 4，过 PO 的中点1O 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（）A.()74 5+B.()84 5+C.()94 5+D.()64 5+8.在ABC中，6A=，2B=，1BC=，D 为 AC 中点，若将BCD沿着直线 BD 翻折至BC D，学科网（北京）股份有限公司使得四面体CABD外接球半径为 1，则直线 BC 与平面 ABD 所成角正弦值是（）A.63
5、B.23 C.53 D.33二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知互不相同的 9 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的 7 个数据与原 9 个数据相比，下列数字特征中不变的是（）A.中位数 B.平均数 C.第 41 百分位数 D.方差 10.已知向量()1,3a=，()()cos,sin0b=，则下列说法正确的是（）.A.若ab，则 tan3=B.若ab，的值为 56 C.a b 的取值范围为3,2 D.存在，使得 abab=+11.在ABC中，内
6、角 A，B，C 所对的边分别a，b，c，22sinabcA=，下列说法正确的是（）A.若1a=，则14ABCS=B.ABC外接圆的半径为 bca C.cbbc+取得最小值时，3A=D.4A=时，cbbc+值为2 2 12.如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，E，F 分别是棱 BD，CD 上的点，且 BEDFt=，()0,1t，则（）A.不存在t，使得 BC平面 AEF B.直线 AC 与直线 EF 异面 C.不存在t，使得平面 AEF 平面 BCD D.三棱锥 ADEF体积的最大值为224三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.双空题第一空 2 分，第二空 3 分.13
7、.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站C 的距离都等于 3km，灯塔 A 在观察站C 的北偏东 40，灯塔 B 在观察站C 的南偏东 20，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为_km.学科网（北京）股份有限公司14.已知()2,2 3a=，e为单位向量，向量 a，e的夹角为 3，则向量a在向量e上的投影向量为_.15.如图，在ABC中，3BAC=，2ADDB=，P 为CD 上一点，且满足()1R2APmACAB m=+，若2AC=，4AB=，则 AP CD 的值为_.16.已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 3，动点 P 在1AB C内，满足114D P=，则点 P 的轨迹长度为_
8、.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题 10 分）（1）设 zC，在复平面内 z 对应的点为 Z，那么求满足条件：23z.（1）求角 A 的大小；（2）设 M 为 BC 的中点，且72AM=，BAC的平分线交 BC 于 N，求线段 MN 的长度.22.（本题 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，90ADC=，22ABADBC=，PADBAD.（1）M 为 PC 上一点，且 PMMC=，当 PA平面 DMB 时，求实数 的值；学科网（北京）股份有限公司（2）设平面 PAD 与平面 PBC 的交线
9、为l，证明l面 ABCD；（3）当平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小为 45时，求 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.2022-2023 学年度下学期武汉市重点中学 5G 联合体期末考试高一数学试卷参考答案及评分标准选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B C D B A AC AB ABD BC 填空题：13.3 14.2e 15.3 16.2 8.6A=，2B=，1BC=，2AC=，又 D 为 AC 中点，1ADCDBD=，则1BCC DBD=，即BC D为等边三角形，设BC D的外接圆圆心为G，ABD的外接圆圆心为O，
10、取 BD 中点 H，连接 C H，OH，OG，OB，OC，OD，6A=，1BD=，112 sinBDOBA=，即ABD外接圆半径为 1，又四面体CABD的外接球半径为 1，O 为四面体CABD外接球的球心，由球的性质可知：OG 平面 BC D，又C H 平面 BC D，OGC H，2333C GCH=，1OC=，63OG=；设点C 到平面 ABD 的距离为d，由COBDO C BDVV=得：1133OBDC BDSdSOG=，又OBD与C BD均为边长为 1 的等边三角形，63dOG=，学科网（北京）股份有限公司直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为63dBC=.12.因为直线 AC 与
11、平面 BCD 交于点C，EF 平面 BCD，且不经过点C，所以直线 AC 与直线 EF 异面，故 B 正确.当12t=时，E，F 分别是棱 BD，CD 的中点，此时 BCEF，因为 EF 平面 AEF，BC 平面 AEF，所以 BC平面 AEF，故 A 错误.设O 为BCD的中心，连接 AO，因为经过点 A 有且只有一条直线 AO 垂直于平面 BCD，所以经过点 A且垂直于平面 BCD 的平面一定经过直线 AO，即当且仅当 E，O，F 三点共线时，平面 AEF 平面 BCD，因为1DEt=，DFt=，所以11DBDEt=，1DCDFt=，设 BC 的中点为 M，连接 DM，则()2111133
12、3 1DODMDBDCDEDFtt=+=+，因为 E，O，F 三点共线，所以11113 1 tt+=，整理得23310tt+=，因为30=，所以此方程无解，所以不存在()0,1t，使得平面 AEF 平面 BCD，故 C 正确.易知22222161333AOADDOADDM=，在DEF中 1DEt=，DFt=，所以DEF的面积()()211331sin234216ttStt+=，当且仅当12t=时等号成立，所以三棱推 ADEF体积的最大值为 1362316348=.故 D 错误.16.在正方体1111ABCDA B C D中，如图，学科网（北京）股份有限公司1DD 平面 ABCD，AC 平面 A
13、BCD，则1DDAC，而 BDAC，1DDBDD=，1DD，BD 平面1BDD，于是 AC 平面1BDD，又1BD 平面1BDD，则1ACBD，同理11ABBD，而1ACABA=，AC，1AB 平面1AB C，因此1BD 平面1AB C，令1BD 交平面1AB C 于点 E，由11B AB CBABCVV=，得111133AB CABCSBESBB=，即()2331242ABBEAB=，解得133BEAB=，而133 3BDAB=，于是12 3D E=，因为点 P 在1AB C内，满足114D P=，则22112EPD PD E=，因此点 P 的轨迹是以点 E 为圆心，2 为半径的圆在1AB
14、C内的圆弧，而1AB C为正三角形，则三棱锥1BAB C必为正三棱锥，E 为正1AB C的中心，于是正1AB C的内切圆半径1313163223232EHAB=，则3cos2HEF=，即6HEF=，3FEG=，所以圆在1AB C内的圆弧为圆周长的 12，即点 P 的轨迹长度为 1 2222=解答题：17.（10 分）解：（1）由复数的几何意义知：所表示的图形为圆环，面积为22325=5 分（2）由题知：()224i0 xmxm+=，所以mx=，2240 xx+=，得到 224xx=，mR xR故 当1x=时，有最小值为 5.所以 范围为)5,+.10 分 学科网（北京）股份有限公司18.（12
15、 分）（1）由()sinsinsinABCB=得，()()sinsinsinABABB=+，所以()()sinsinsin2cossinBABABAB=+=，又0B，所以1cos2A=，因为0A，所以3c=，2b=，由余弦定理可得：2222cos1361919abcbcAa=+=+=，11sinsin22ANCSAN bCANANCAN=，1sinsin2BANSAN cBANANBAN=，又CANBAN=，所以23ANCBANCNSSBN=，又19CNBNa+=，所以2 195CN=，所以1192 191922510MNCMCNaCN=.12 分 22.（12 分）（1）如图连接 AC 交
16、BD 于点 N，连接 MN，PA平面 BDM，PA 平面 PAC，平面 PAC 平面 BDMMN=，PAMN，在梯形 ABCD 中，BCAD，ADNCBN，12CNCBANAD=，PAMN，2PMANMCCN=，2=4 分 学科网（北京）股份有限公司（2）设：面 PAD 面 PBCl=BCAD BC面 PAD，又 BC 面 PBC，面 PBC 面 PADl=BCl 又l 面 ABCD，BC 面 ABCD l面 ABCD.7 分（3）取 AD 的中点O，连接OP，OB，O 为 AD 的中点，且 BCAD，2ADBC=，ODBC且ODBC=，四边形OBCD 为平行四边形，CDOB，90ADC=，9
17、0BOD=，ADOB，又 ABAD=，ABD为等边三角形，又PADBAD，PAD为等边三角形，ADOP OPOBO=，OP 平面 POB，OB 平面 POB，AD 平面 POB，BP 平面 POB，ADBP，过点 P 作lAD，由 ADBC，则lBC，l 平面 PAD，l 平面 PBC，即平面 PAD 平面 PBCl=，lOP，lBP，BPO为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角，45BPO=.又由3OPOB=，45OBP=，90BOP=，POOB，ADPO，ADOBO=，AD 平面 ABCD，OB 平面 ABCD，PO 平面 ABCD，PCO为 PC 与平面 ABCD 所成的角，227PCPOCO=+=，321sin77POPCHPC=，因此，PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值为217.12 分学科网（北京）股份有限公司